小學(xué)奧數(shù)立體圖形(共7頁)

1、第11講 立體圖形 各種涉及長方體、立方體、圓柱、圓錐等立體圖形表面積與體積的計算問題，解題時考慮沿某個方向的投影常能發(fā)揮明顯的作用.較為復(fù)雜的是與剪切、拼接、染色等相關(guān)聯(lián)的立體幾何問題.第六屆：“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽第12 題（略有改動） 1用棱長是1厘米的立方塊拼成如圖11-1所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米?【分析與解】顯然，圖11-1的圖形朝上的面與朝下的面的面積相等，都等于3×3=9個小正方形的面積，朝左的面和朝右的面的面積也相等，等于7個小正方形的面積；朝前的面和朝后的面的面積也相等，都等于7個小正方形的面積，因此，該圖形的表面積等于(9+7+7)

2、×2=46個小正方形的面積，而每個小正方形面積為l平方厘米，所以該圖形表面積是46平方厘米 2如圖11-2，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5，3，2的長方體，那么它的表面積減少了百分之幾?【分析與解】 原來正方體的表面積為5 ×5×6=150 現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個面向我們的側(cè)面，它們的面積為(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8即表面積減少了百分之八 3如圖11-3，一個正方體形狀的木塊，棱長l米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊那么，這

3、60塊長方體表面積的和是多少平方米?【分析與解】 我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個面的面積 現(xiàn)在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方體一個面的面積1×l=1(平方米)，所以表面積增加了9×2×1=18(平方米)原來正方體的表面積為6×1=6(平方米)，所以現(xiàn)在的這些小長方體的表積之和為6+18=24(平方米)4圖11-4中是一個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長l厘米的正方體，做成一種玩具它的表面積是多少平方厘米?【分析與解】原正方體的表面積是4×4×6=96

4、(平方厘米)每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分總的來看，每一個面都增加了4個邊長是1厘米的正方形 從而，它的表面積是96+4×6=120平方厘米 5圖11-5是一個邊長為2厘米的正方體在正方體的上面的正中向下挖一個邊長為1厘米的正方體小間；接著在小洞的底面正中再向下挖一個邊長為厘米的小洞；第三個小洞的挖法與前兩個相同，邊長為厘米那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米? 【分析與解】 因為每挖一次，都在原來的基礎(chǔ)上，少了1個面，多出了5個面，即增加了4個面 所以，最后得到的立體圖形的表面積是：2×2&#

5、215;6+1×l×4+×××4+××4=29.25(平方厘米)6有大、中、小3個正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是6米、3米、2米把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個水池的水面分別升高了6厘米和4米如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米·【分析與解】 放在中水池里的碎石的體積為3×3×0.06：0.54立方米； 放在小水池里的碎石的體積為2×2×0.04=0.16立方米； 則兩堆碎石的體積和為0.54+0.16=0.7立方米，現(xiàn)在放到底面積為6&

6、#215;6=36平方米的大水池中，則使大水池的水面升高0.7÷36=米=厘米=厘米 7如圖11-6，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器這個容器的體積是多少立方厘米?【分析與解】 容器的底面積是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高為2 厘米，所以容器得體積為：45×2=90(立方厘米) 8今有一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個正方體問剩下的體積是多少

7、立方厘米?【分析與解】 本題首先要確定三次切下的正方體的棱長，因為21：15：12=7：5：4，為了敘述方便，我們先考慮長、寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的長方體. 易知第一次切下的正方體的棱長應(yīng)為4厘米，第二次切下的正方體棱長為3厘米時符合要求，第三次切下的正方體的棱長為2厘米時符合要求于是，在長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方體中，第一、二、三次切下的正方體的棱長為12厘米、9厘米、6厘米 所以剩下的體積應(yīng)為：21×15×12-()=1107(立方厘米) 9如圖11-7，有一個圓柱和一個圓錐，它們的高和底面直徑都標(biāo)在圖上，單位是厘米那么，圓錐體積與圓

8、柱體積的比是多少?【分析與解】 圓錐的體積是，圓柱的體積是所以，圓錐體積與圓柱體積的比是. 10張大爺去年用長2米、寬1米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤今年改用長3米寬2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍?【分析與解】底面周長是3，半徑是，所以今年糧囤底面積是，高是2 同理，去年糧囤底面積是，高是1因此，今年糧囤容積是去年糧囤容積的4.5倍 11一個盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米今將一個底面半徑為2厘米，高為18厘米的鐵圓柱垂直放人容器中求這時容器的水深是多少厘米?【分析與解】若鐵圓柱體能完全浸入水中，則水深與

9、容積底面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：（厘米）；它比鐵圓柱體的高度要小，那么鐵圓柱體沒有完全浸入水中此時容器與鐵圓柱組成一個類似于下圖的立體圖形 底面積為，水的體積保持不變?yōu)?所以有水深為(厘米)，小于容器的高度20厘米，顯然水沒有溢出于是厘米即為所求的水深 12如圖ll-8，用高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的3個圓柱組成一個物體問這個物體的表面積是多少平方米?(取314)【分析與解】 物體的表面積恰好等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積，即 即這個物體的表面積是32.97平方米 13某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，并用尼龍

10、編織條如圖11-9所示在三個方向上加固所用尼龍編織條的長分別為365厘米、405厘米、485厘米若每個尼龍條加固時接頭處都重疊5厘米，則這個長方體包裝箱的體積是多少立方米?【分析與解】 長方體中，高+寬=+(365-5)=180，高+長=(405-5)=200，長+寬=(485-5)=240，-得 長-寬=20，+得 長=130，則寬=110，代入得高=70，所以長方體得體積為：70×110×30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)14有甲、乙、丙3種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長是乙的棱長的，乙的棱長是丙的棱長的如果用甲、乙、丙3種木塊拼成一個體積盡可能

11、小的大正體，每種至少用一塊，那么最少需要這3種木塊一共多少塊?【分析與解】設(shè)甲的棱長為1，則乙的棱長為2，丙的棱長為3顯然，大正方體棱長不可能是4，否則無法放下乙和丙各一個 于是，大正方體的棱長至少是5事實上，用甲、乙、丙三種木塊可以拼成棱長為5的大正方體，其中丙種木塊只能用1塊；乙種木塊至多用7塊(使總的塊數(shù)盡可能少)；甲種木塊需用：5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(塊)因此，用甲、乙、丙三種木塊拼成體積最小的大正方體，至少需要這三種木塊一共1+7+42=50(塊)15有6個相同的棱長分別是3厘米

12、、4厘米、5厘米的長方體，把它們的某劃面染上紅色，使得有的長方體只有1個面是紅色的，有的長方體恰有2個面是紅色的，有的長方體恰有3個面是紅色的，有的長方體恰有4個面是紅色的，有的長方體恰有5個面是紅色的，還有一個長方體6個面都是紅色的，染色后把所有長；方體分割成棱長為1厘米的小正方體分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體；最多有多少個? 【分析與解】一面染紅的長方體，顯然應(yīng)將4×5的長方體染紅，這時產(chǎn)生20個一面染成紅色的小正方體，個數(shù)最多 二面染紅的長方體，顯然應(yīng)將兩個4×5的長方體染紅，這時產(chǎn)生40個一面染成紅色的小正方體，個數(shù)最多 三面染紅的長方體，顯然應(yīng)將4×5，4×5，4×3的面染紅，于是產(chǎn)生4×(5+5+3-4)=36個一面染成紅色的小正方體，其他方法得出的一面染成紅色的正方體均少于36個 四面染紅的長方體，顯然應(yīng)將4×5，4×5，4×3，4×3的面染紅，產(chǎn)生4×(5+5+3+3-2×4)=32個一面染成紅色的正方體，其他方法得到的一面染成紅色的小正方體均少于32個 五面染紅的長方體，應(yīng)只留一個3×5的面不染，這時就產(chǎn)生(3-2)×