論初中數(shù)學(xué)建模教學(xué) 邢義永

1、論初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容提要：數(shù)學(xué)建模理念已越來(lái)越受到數(shù)學(xué)教學(xué)一線老師的青睞，它的重要意義以及模型在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中已倍受關(guān)注，更引起了教師探索的興趣。結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，從初中數(shù)學(xué)教學(xué)的各種不同方式來(lái)論述怎樣培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。關(guān)鍵詞 ： 數(shù)學(xué)建模教學(xué) 意義 模型 方式 隨著數(shù)學(xué)教育界中數(shù)學(xué)建模理念地不斷深化，提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)勢(shì)在必行。通過(guò)數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，既能使學(xué)生可以從熟悉的情境中引入數(shù)學(xué)問(wèn)題，拉近數(shù)學(xué)與生活、生產(chǎn)的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；既能使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。這正是新課程改革和數(shù)學(xué)教育的目的

2、。一、初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重要意義1、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，總之，它拉近了學(xué)生與日常喜聞樂(lè)見(jiàn)的生活的距離，又因?yàn)樗哂袘?yīng)用價(jià)值，顯而易見(jiàn)有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)過(guò)去，不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)是繁、難，在生活中應(yīng)用太少，這是走入純數(shù)學(xué)誤區(qū)，未能真正把數(shù)學(xué)學(xué)活。其實(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展本來(lái)就是與生產(chǎn)、生活發(fā)展同步的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是為了更好地提高生產(chǎn)效率和生活質(zhì)量。隨著數(shù)學(xué)

3、教育界中“數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”教育的不斷深入，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用性的教育迫在眉睫。數(shù)學(xué)應(yīng)用性包括兩個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法；二是數(shù)學(xué)建模。而通過(guò)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)方法，又可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3、數(shù)學(xué)建模教學(xué)改善了教和學(xué)的方式教師要建立以人為本的學(xué)生主體觀，要為學(xué)生提供一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境和動(dòng)腦、動(dòng)手并充分表達(dá)自己的想法的機(jī)會(huì)，教學(xué)中注意對(duì)原始問(wèn)題分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過(guò)程；數(shù)學(xué)工具、方法、模型的選擇和分析過(guò)程；模型的求解、驗(yàn)證、再分析、修改假設(shè)、再求解的循環(huán)過(guò)程。教師為學(xué)生提供充足的自學(xué)實(shí)踐時(shí)間，使學(xué)生在親歷

4、這些過(guò)程中展開(kāi)思維，收集、處理各種信息，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程，教學(xué)過(guò)程由以教為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)為主，支持學(xué)生大膽提出各種突破常規(guī)，超越習(xí)慣的想法，充分肯定學(xué)生的正確的、獨(dú)特的見(jiàn)解，珍惜了學(xué)生的創(chuàng)新成果和失敗價(jià)值，使他們保持敢于作出各種新穎、大膽嘗試的熱情。二、初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)常見(jiàn)的幾種模型1、方程（組）模型方程（組）是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)模型，求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：針對(duì)給出的實(shí)際問(wèn)題，設(shè)定合適的未知數(shù)，找出相等關(guān)系，但要注意驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際問(wèn)題的意義。例：學(xué)校準(zhǔn)備在東南角的場(chǎng)地邊上建一個(gè)面積為50平方米的長(zhǎng)方形自行車

5、棚，一邊利用圍墻，并利用已有的總長(zhǎng)為25米的鐵圍欄，請(qǐng)你設(shè)計(jì)，如何搭建比較合理？ 簡(jiǎn)析：設(shè)與墻面垂直的邊長(zhǎng)為x米，可得方程x(25-2x)=50。解方程可得答案。2、不等式模型現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系是普遍存在的，許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題很難確定（有時(shí)也不需要確定）具體的數(shù)值。但可以求出或確定這一問(wèn)題中某個(gè)量的變化范圍，從而對(duì)所有研究問(wèn)題的面貌有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí)。例：某報(bào)紙每份0.25元，。每次發(fā)行12萬(wàn)份，設(shè)每份提價(jià)0.01元，發(fā)行量就減少4千份，要使銷售總收入不低于3萬(wàn)元，求每份報(bào)紙的最高提價(jià)？ 簡(jiǎn)析：設(shè)最高提價(jià)元，可得方程。解不等式可得答案。3、幾何模型諸如臺(tái)風(fēng)、航海、三角測(cè)量、邊角余料加工、工程定位、

6、拱橋計(jì)算、皮帶傳動(dòng)、坡比計(jì)算，作物栽培等傳統(tǒng)的應(yīng)用問(wèn)題，涉及一定圓形的性質(zhì)，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問(wèn)題求解。圖1例：（臺(tái)風(fēng)）某次臺(tái)風(fēng)中心在O地，臺(tái)風(fēng)中心以25千米/時(shí)的速度向西北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心240千米的范圍內(nèi)都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，某A市在O地的正面方向320千米處，問(wèn)A市是否會(huì)受此次臺(tái)風(fēng)的影響？若會(huì)，將持續(xù)幾個(gè)小時(shí)？簡(jiǎn)析：這是綜合解直角三角形的問(wèn)題，畫出示意圖：如圖1，先計(jì)算出AB的長(zhǎng)，比較得：AB240，確定會(huì)受此次臺(tái)風(fēng)影響，而后計(jì)算出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而就可求出持續(xù)的時(shí)間。4、函數(shù)模型新課標(biāo)提出，能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系變化，結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的

7、分析，嘗試對(duì)變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測(cè)，能用一次函數(shù)，二次函數(shù)等來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。在學(xué)習(xí)了正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，學(xué)生的頭腦中已經(jīng)有了這些函數(shù)的模型。因此，一些實(shí)際問(wèn)題就可以通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)解決。例：某商人開(kāi)始時(shí)將進(jìn)價(jià)為每?jī)r(jià)8元的某種商品按10元出售，每天可出售100件，他想采用提高售價(jià)的辦法來(lái)增加利潤(rùn)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種商品每提高1元，則每天的銷售量就會(huì)減少10件。 （1）寫出售價(jià)x元/件與每天所得利潤(rùn)y元之間的函數(shù)關(guān)系式。 （2）每件售價(jià)為多少元時(shí)，才能使一天利潤(rùn)最大。 簡(jiǎn)析：（1）由題意得（2）利用二次函數(shù)的最值，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。5、統(tǒng)計(jì)模型在當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)生活中，統(tǒng)計(jì)知識(shí)

8、的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。而數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的研究得到很好的體現(xiàn)。如新課標(biāo)明確提出：體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想。統(tǒng)計(jì)與概率是數(shù)學(xué)在生活，生產(chǎn)中應(yīng)用的重要方面。在教學(xué)中應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活，自然等領(lǐng)域的聯(lián)系。 例：在某樹(shù)林中100m2的面積上統(tǒng)計(jì)有8棵紅楓樹(shù)，整個(gè)樹(shù)林面積為10000m2，你能估計(jì)整個(gè)樹(shù)林共有多少棵楓樹(shù)嗎？ 三、初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方式數(shù)學(xué)建模應(yīng)結(jié)合平常的教學(xué)內(nèi)容切入，把培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)落實(shí)到教學(xué)過(guò)程中，使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)建模的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。 1、以課本知識(shí)為基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程。因此，從七年級(jí)開(kāi)始，就應(yīng)有意識(shí)地逐步滲透

9、建模思想。課本每章開(kāi)始都配有反映實(shí)際問(wèn)題的插圖，抽象出各章主要的數(shù)學(xué)模型，并且概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，一般也是由實(shí)際問(wèn)題出發(fā)抽象出來(lái)的，反映了數(shù)學(xué)建模思想。作為一種思想方法，數(shù)學(xué)建模思想可以與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)相依隨，經(jīng)常滲透，逐漸升華。因此，教學(xué)時(shí)要充分利用課本知識(shí)的特點(diǎn)，重視展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、抽象、概括和應(yīng)用過(guò)程。 教師應(yīng)研究在各個(gè)教學(xué)章節(jié)中可引入哪些模型問(wèn)題，要經(jīng)常滲透建模意識(shí)，這樣通過(guò)教師的潛移默化，學(xué)生可以從各類大量的建模問(wèn)題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生去研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建模的能力。2、以課堂教學(xué)為平臺(tái)，培養(yǎng)數(shù)

10、學(xué)建模能力在課堂教學(xué)中想培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力不是簡(jiǎn)單把實(shí)際問(wèn)題引入，而應(yīng)根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，在教學(xué)中適時(shí)地進(jìn)行培養(yǎng)。（1）課堂教學(xué)中還學(xué)生以動(dòng)手能力新課程的教材中有大量讓學(xué)生動(dòng)手操作、制作的問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中就應(yīng)該讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，能讓學(xué)生做的、操作的，就給學(xué)生動(dòng)手的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生動(dòng)手做一做，操作著試一試。科技革命常以工具變革開(kāi)始，同樣，工具也是數(shù)學(xué)建模的基本手段，我們不但要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、制作、操作教材所介紹的工具，有條件的活，還應(yīng)該讓學(xué)生見(jiàn)識(shí)一些現(xiàn)代工具，增加微機(jī)操作的實(shí)際訓(xùn)練。（2）課堂教學(xué)中組織適當(dāng)?shù)挠懻?。課堂討論常常需要教師給出一個(gè)中心議題或所要解決的問(wèn)題，學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)

11、上，以小組或班級(jí)的形式圍繞議題發(fā)表見(jiàn)解、互相討論。實(shí)踐證明，課堂討論為師生之間、同學(xué)之間的多向交流提供了一個(gè)很好的環(huán)境。例如：有一池塘，要測(cè)量池塘的兩端AB的距離，直接測(cè)量有障礙，能有什么方法測(cè)出AB的長(zhǎng)度？（圖2）充分讓學(xué)生在課堂中討論，從而就可以得到很多建模的方法。建模一：構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題，求出AB。圖2建模二：構(gòu)造等腰三角形或等邊三角形，求出AB。建模三：構(gòu)造三角形及其中位線，利用中位線的性質(zhì)求出AB。建模四：構(gòu)造兩個(gè)三角形，利用全等或相似性質(zhì)來(lái)求出AB。在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出自己的建模方法，然后再補(bǔ)充。當(dāng)學(xué)生自己找到建模方法后，就會(huì)獲得成功的滿足，產(chǎn)生愉快

12、的學(xué)習(xí)情緒。3、以生活性問(wèn)題為基點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力數(shù)學(xué)就是生活，生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也不能和生活分離?！皶r(shí)時(shí)有數(shù)學(xué)，事事有數(shù)學(xué)?！薄鞍焉钊趨R到學(xué)校數(shù)學(xué)教育中，是現(xiàn)代教育的一個(gè)趨勢(shì) ”大量與日常生活相聯(lián)系(如投資買賣、銀行儲(chǔ)蓄、測(cè)量、乘車、運(yùn)動(dòng)等方面)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，大多可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型加以解決。例如：某商店如將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，問(wèn)應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)簡(jiǎn)析：設(shè)每件售價(jià)提高x元，則每件得利潤(rùn)(2x)元，每天銷售量變?yōu)?20020x

13、)件，所獲利潤(rùn)故當(dāng)x4時(shí)，即售價(jià)定為14元時(shí)，每天可獲最大利潤(rùn)720元。只要結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生考慮生活中的數(shù)學(xué)，會(huì)加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)貙⑵淙谌胝n堂教學(xué)活動(dòng)中，會(huì)增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的信心，獲得必要的應(yīng)用技能。4、以實(shí)踐活動(dòng)為媒介，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，使學(xué)生從自身的生活背景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，培養(yǎng)建模應(yīng)用能力。例如我曾經(jīng)讓學(xué)生分組做這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：找5根長(zhǎng)短不等的木棒，在有太陽(yáng)的時(shí)候同時(shí)測(cè)量這5根木棒的長(zhǎng)度以及直立時(shí)它們的陰影的長(zhǎng)度，同時(shí)測(cè)量出一座建筑物的高度，通過(guò)研究找出物體高度與它們的陰影的長(zhǎng)度之間的關(guān)系，并計(jì)算出建筑物的高度，寫

14、一篇實(shí)驗(yàn)小論文。這個(gè)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生非常感興趣，激起了學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，不用老師強(qiáng)制要求，學(xué)生們紛紛做起了實(shí)驗(yàn)，并得出了規(guī)律寫出了實(shí)驗(yàn)小論文。從這個(gè)例子可以看出，教師在教學(xué)中如果注意聯(lián)系身邊的事物，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)，并嘗到成功的樂(lè)趣，對(duì)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是非常重要的。 5、以相關(guān)學(xué)科為鏈接，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力由于數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)以至社會(huì)科學(xué)的工具而且其它學(xué)科與數(shù)學(xué)的聯(lián)系是相當(dāng)密切的。因此我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)注意與其它學(xué)科的呼應(yīng)，這不但可以幫助學(xué)生加深對(duì)其它學(xué)科的理解，也是培養(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)的一個(gè)不可忽視的途徑。這樣的模型意識(shí)不僅僅是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且將對(duì)他們學(xué)習(xí)其它學(xué)

15、科的知識(shí)以及將來(lái)用數(shù)學(xué)建模知識(shí)探討各種邊緣學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。例如：新人教版八年級(jí)下冊(cè)教材第58頁(yè)的例3和例4都需要用到物理知識(shí)，教材在例題前已給出了相關(guān)的基本公式，其中的數(shù)量關(guān)系具有反比例關(guān)系，通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的分析和解決，不但能復(fù)習(xí)鞏固反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。新的課程標(biāo)準(zhǔn)提出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面而持續(xù)、和諧地發(fā)展，不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題構(gòu)成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程、進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)在思維能力，情感、態(tài)度，價(jià)值觀方面得到進(jìn)步和發(fā)展。因此，在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生為主體，充分引導(dǎo)學(xué)生注意觀察生活中的各種現(xiàn)象，充分利用教材的優(yōu)勢(shì)，創(chuàng)造性使用教材，努力創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，讓學(xué)生投入到解決問(wèn)題的實(shí)踐活動(dòng)中，自己去探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，初步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)模型的思想和方法，增