高中物理奧賽講座第8部分：靜電場(chǎng)

1、第八部分 靜電場(chǎng)第一講 基本知識(shí)介紹在奧賽考綱中，靜電學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)目不算多，總數(shù)和高考考綱基本相同，但在個(gè)別知識(shí)點(diǎn)上，奧賽的要求顯然更加深化了：如非勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)的計(jì)算、電容器的連接和靜電能計(jì)算、電介質(zhì)的極化等。在處理物理問(wèn)題的方法上，對(duì)無(wú)限分割和疊加原理提出了更高的要求。如果把靜電場(chǎng)的問(wèn)題分為兩部分，那就是電場(chǎng)本身的問(wèn)題、和對(duì)場(chǎng)中帶電體的研究，高考考綱比較注重第二部分中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，而奧賽考綱更注重第一部分和第二部分中的靜態(tài)問(wèn)題。也就是說(shuō)，奧賽關(guān)注的是電場(chǎng)中更本質(zhì)的內(nèi)容，關(guān)注的是縱向的深化和而非橫向的綜合。一、電場(chǎng)強(qiáng)度1、實(shí)驗(yàn)定律a、庫(kù)侖定律內(nèi)容；條件：點(diǎn)電荷，真空，點(diǎn)電荷靜止或相對(duì)靜止

2、。事實(shí)上，條件和均不能視為對(duì)庫(kù)侖定律的限制，因?yàn)榀B加原理可以將點(diǎn)電荷之間的靜電力應(yīng)用到一般帶電體，非真空介質(zhì)可以通過(guò)介電常數(shù)將k進(jìn)行修正（如果介質(zhì)分布是均勻和“充分寬廣”的，一般認(rèn)為k= k /r）。只有條件，它才是靜電學(xué)的基本前提和出發(fā)點(diǎn)（但這一點(diǎn)又是常常被忽視和被不恰當(dāng)?shù)亍熬C合應(yīng)用”的）。b、電荷守恒定律c、疊加原理2、電場(chǎng)強(qiáng)度a、電場(chǎng)強(qiáng)度的定義電場(chǎng)的概念；試探電荷（檢驗(yàn)電荷）；定義意味著一種適用于任何電場(chǎng)的對(duì)電場(chǎng)的檢測(cè)手段；電場(chǎng)線(xiàn)是抽象而直觀地描述電場(chǎng)有效工具（電場(chǎng)線(xiàn)的基本屬性）。b、不同電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算決定電場(chǎng)強(qiáng)弱的因素有兩個(gè)：場(chǎng)源（帶電量和帶電體的形狀）和空間位置。這可以從不同電場(chǎng)的

3、場(chǎng)強(qiáng)決定式看出點(diǎn)電荷：E = k結(jié)合點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)和疊加原理，我們可以求出任何電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，如均勻帶電環(huán)，垂直環(huán)面軸線(xiàn)上的某點(diǎn)P：E = ，其中r和R的意義見(jiàn)圖7-1。均勻帶電球殼內(nèi)部：E內(nèi) = 0外部：E外 = k ，其中r指考察點(diǎn)到球心的距離如果球殼是有厚度的的（內(nèi)徑R1 、外徑R2），在殼體中（R1rR2）：E = ，其中為電荷體密度。這個(gè)式子的物理意義可以參照萬(wàn)有引力定律當(dāng)中（條件部分）的“剝皮法則”理解即為圖7-2中虛線(xiàn)以?xún)?nèi)部分的總電量。無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)（電荷線(xiàn)密度為）：E = 無(wú)限大均勻帶電平面（電荷面密度為）：E = 2k二、電勢(shì)1、電勢(shì)：把一電荷從P點(diǎn)移到參考點(diǎn)P0時(shí)電場(chǎng)力所做的

4、功W與該電荷電量q的比值，即U = 參考點(diǎn)即電勢(shì)為零的點(diǎn)，通常取無(wú)窮遠(yuǎn)或大地為參考點(diǎn)。和場(chǎng)強(qiáng)一樣，電勢(shì)是屬于場(chǎng)本身的物理量。W則為電荷的電勢(shì)能。2、典型電場(chǎng)的電勢(shì)a、點(diǎn)電荷以無(wú)窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，U = kb、均勻帶電球殼以無(wú)窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，U外 = k ，U內(nèi) = k3、電勢(shì)的疊加由于電勢(shì)的是標(biāo)量，所以電勢(shì)的疊加服從代數(shù)加法。很顯然，有了點(diǎn)電荷電勢(shì)的表達(dá)式和疊加原理，我們可以求出任何電場(chǎng)的電勢(shì)分布。4、電場(chǎng)力對(duì)電荷做功WAB = q（UA UB）= qUAB 三、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電感應(yīng)靜電平衡（狹義和廣義）靜電屏蔽1、靜電平衡的特征可以總結(jié)為以下三層含義a、導(dǎo)體內(nèi)部的合場(chǎng)強(qiáng)為零；表面的合場(chǎng)強(qiáng)不為零且

5、一般各處不等，表面的合場(chǎng)強(qiáng)方向總是垂直導(dǎo)體表面。b、導(dǎo)體是等勢(shì)體，表面是等勢(shì)面。c、導(dǎo)體內(nèi)部沒(méi)有凈電荷；孤立導(dǎo)體的凈電荷在表面的分布情況取決于導(dǎo)體表面的曲率。2、靜電屏蔽導(dǎo)體殼（網(wǎng)罩）不接地時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽，但不能實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽；導(dǎo)體殼（網(wǎng)罩）接地后，既可實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽，也可實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽。四、電容1、電容器孤立導(dǎo)體電容器一般電容器2、電容a、定義式 C = b、決定式。決定電容器電容的因素是：導(dǎo)體的形狀和位置關(guān)系、絕緣介質(zhì)的種類(lèi)，所以不同電容器有不同的電容平行板電容器 C = = ，其中為絕對(duì)介電常數(shù)（真空中0 = ，其它介質(zhì)中= ），r則為相對(duì)介電常數(shù)，r =

6、 。柱形電容器：C = 球形電容器：C = 3、電容器的連接a、串聯(lián) = + +b、并聯(lián) C = C1 + C2 + C3 + + Cn 4、電容器的能量用圖7-3表征電容器的充電過(guò)程，“搬運(yùn)”電荷做功W就是圖中陰影的面積，這也就是電容器的儲(chǔ)能E ，所以E = q0U0 = C = 電場(chǎng)的能量。電容器儲(chǔ)存的能量究竟是屬于電荷還是屬于電場(chǎng)？正確答案是后者，因此，我們可以將電容器的能量用場(chǎng)強(qiáng)E表示。對(duì)平行板電容器 E總 = E2 認(rèn)為電場(chǎng)能均勻分布在電場(chǎng)中，則單位體積的電場(chǎng)儲(chǔ)能 w = E2 。而且，這以結(jié)論適用于非勻強(qiáng)電場(chǎng)。五、電介質(zhì)的極化1、電介質(zhì)的極化a、電介質(zhì)分為兩類(lèi)：無(wú)極分子和有極分子，

7、前者是指在沒(méi)有外電場(chǎng)時(shí)每個(gè)分子的正、負(fù)電荷“重心”彼此重合（如氣態(tài)的H2 、O2 、N2和CO2），后者則反之（如氣態(tài)的H2O 、SO2和液態(tài)的水硝基笨）b、電介質(zhì)的極化：當(dāng)介質(zhì)中存在外電場(chǎng)時(shí)，無(wú)極分子會(huì)變?yōu)橛袠O分子，有極分子會(huì)由原來(lái)的雜亂排列變成規(guī)則排列，如圖7-4所示。2、束縛電荷、自由電荷、極化電荷與宏觀過(guò)剩電荷a、束縛電荷與自由電荷：在圖7-4中，電介質(zhì)左右兩端分別顯現(xiàn)負(fù)電和正電，但這些電荷并不能自由移動(dòng)，因此稱(chēng)為束縛電荷，除了電介質(zhì)，導(dǎo)體中的原子核和內(nèi)層電子也是束縛電荷；反之，能夠自由移動(dòng)的電荷稱(chēng)為自由電荷。事實(shí)上，導(dǎo)體中存在束縛電荷與自由電荷，絕緣體中也存在束縛電荷和自由電荷，只是

8、它們的比例差異較大而已。b、極化電荷是更嚴(yán)格意義上的束縛電荷，就是指圖7-4中電介質(zhì)兩端顯現(xiàn)的電荷。而宏觀過(guò)剩電荷是相對(duì)極化電荷來(lái)說(shuō)的，它是指可以自由移動(dòng)的凈電荷。宏觀過(guò)剩電荷與極化電荷的重要區(qū)別是：前者能夠用來(lái)沖放電，也能用儀表測(cè)量，但后者卻不能。第二講 重要模型與專(zhuān)題一、場(chǎng)強(qiáng)和電場(chǎng)力【物理情形1】試證明：均勻帶電球殼內(nèi)部任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均為零。【模型分析】這是一個(gè)疊加原理應(yīng)用的基本事例。如圖7-5所示，在球殼內(nèi)取一點(diǎn)P ，以P為頂點(diǎn)做兩個(gè)對(duì)頂?shù)?、頂角很小的錐體，錐體與球面相交得到球面上的兩個(gè)面元S1和S2 ，設(shè)球面的電荷面密度為，則這兩個(gè)面元在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分別為E1 = kE2 = k為了

9、弄清E1和E2的大小關(guān)系，引進(jìn)錐體頂部的立體角 ，顯然 = = 所以 E1 = k ，E2 = k ，即：E1 = E2 ，而它們的方向是相反的，故在P點(diǎn)激發(fā)的合場(chǎng)強(qiáng)為零。同理，其它各個(gè)相對(duì)的面元S3和S4 、S5和S6 激發(fā)的合場(chǎng)強(qiáng)均為零。原命題得證。【模型變換】半徑為R的均勻帶電球面，電荷的面密度為，試求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度?！窘馕觥咳鐖D7-6所示，在球面上的P處取一極小的面元S ，它在球心O點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E = k ，方向由P指向O點(diǎn)。無(wú)窮多個(gè)這樣的面元激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)大小和S激發(fā)的完全相同，但方向各不相同，它們矢量合成的效果怎樣呢？這里我們要大膽地預(yù)見(jiàn)由于由于在x方向、y方向上的對(duì)稱(chēng)性， =

10、 = 0 ，最后的E = Ez ，所以先求Ez = Ecos= k ，而且Scos為面元在xoy平面的投影，設(shè)為S所以 Ez = S而 S= R2 【答案】E = k ，方向垂直邊界線(xiàn)所在的平面。學(xué)員思考如果這個(gè)半球面在yoz平面的兩邊均勻帶有異種電荷，面密度仍為，那么，球心處的場(chǎng)強(qiáng)又是多少？推薦解法將半球面看成4個(gè)球面，每個(gè)球面在x、y、z三個(gè)方向上分量均為 k，能夠?qū)ΨQ(chēng)抵消的將是y、z兩個(gè)方向上的分量，因此E = Ex 答案大小為k，方向沿x軸方向（由帶正電的一方指向帶負(fù)電的一方）?！疚锢砬樾?】有一個(gè)均勻的帶電球體，球心在O點(diǎn)，半徑為R ，電荷體密度為 ，球體內(nèi)有一個(gè)球形空腔，空腔球心在

11、O點(diǎn)，半徑為R，= a ，如圖7-7所示，試求空腔中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)?！灸Ｐ头治觥窟@里涉及兩個(gè)知識(shí)的應(yīng)用：一是均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)定式（它也是來(lái)自疊加原理，這里具體用到的是球體內(nèi)部的結(jié)論，即“剝皮法則”），二是填補(bǔ)法。將球體和空腔看成完整的帶正電的大球和帶負(fù)電（電荷體密度相等）的小球的集合，對(duì)于空腔中任意一點(diǎn)P ，設(shè) = r1 ， = r2 ，則大球激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為E1 = k = kr1 ，方向由O指向P“小球”激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為E2 = k = kr2 ，方向由P指向OE1和E2的矢量合成遵從平行四邊形法則，E的方向如圖。又由于矢量三角形PE1E和空間位置三角形OP O是相似的，E的大小和方向就不難確定了。

12、【答案】恒為ka ，方向均沿O O，空腔里的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。學(xué)員思考如果在模型2中的OO連線(xiàn)上O一側(cè)距離O為b（bR）的地方放一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷，它受到的電場(chǎng)力將為多大？解說(shuō)上面解法的按部就班應(yīng)用答kq。二、電勢(shì)、電量與電場(chǎng)力的功【物理情形1】如圖7-8所示，半徑為R的圓環(huán)均勻帶電，電荷線(xiàn)密度為，圓心在O點(diǎn)，過(guò)圓心跟環(huán)面垂直的軸線(xiàn)上有P點(diǎn)， = r ，以無(wú)窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，試求P點(diǎn)的電勢(shì)UP ?！灸Ｐ头治觥窟@是一個(gè)電勢(shì)標(biāo)量疊加的簡(jiǎn)單模型。先在圓環(huán)上取一個(gè)元段L ，它在P點(diǎn)形成的電勢(shì)U = k環(huán)共有段，各段在P點(diǎn)形成的電勢(shì)相同，而且它們是標(biāo)量疊加?！敬鸢浮縐P = 思考如果上題中知道的是環(huán)的總電量

13、Q ，則UP的結(jié)論為多少？如果這個(gè)總電量的分布不是均勻的，結(jié)論會(huì)改變嗎？答UP = ；結(jié)論不會(huì)改變。再思考將環(huán)換成半徑為R的薄球殼，總電量仍為Q ，試問(wèn)：（1）當(dāng)電量均勻分布時(shí)，球心電勢(shì)為多少？球內(nèi)（包括表面）各點(diǎn)電勢(shì)為多少？（2）當(dāng)電量不均勻分布時(shí)，球心電勢(shì)為多少？球內(nèi)（包括表面）各點(diǎn)電勢(shì)為多少？解說(shuō)（1）球心電勢(shì)的求解從略；球內(nèi)任一點(diǎn)的求解參看圖7-5U1 = k= k·= kU2 = k它們代數(shù)疊加成 U = U1 + U2 = k而 r1 + r2 = 2Rcos所以 U = 2Rk所有面元形成電勢(shì)的疊加 U = 2Rk注意：一個(gè)完整球面的 = 4（單位：球面度sr），但作為

14、對(duì)頂?shù)腻F角，只能是2 ，所以U = 4Rk= k（2）球心電勢(shì)的求解和思考相同；球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)求解可以從（1）問(wèn)的求解過(guò)程得到結(jié)論的反證。答（1）球心、球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)均為k ；（2）球心電勢(shì)仍為k ，但其它各點(diǎn)的電勢(shì)將隨電量的分布情況的不同而不同（內(nèi)部不再是等勢(shì)體，球面不再是等勢(shì)面）?！鞠嚓P(guān)應(yīng)用】如圖7-9所示，球形導(dǎo)體空腔內(nèi)、外壁的半徑分別為R1和R2 ，帶有凈電量+q ，現(xiàn)在其內(nèi)部距球心為r的地方放一個(gè)電量為+Q的點(diǎn)電荷，試求球心處的電勢(shì)。【解析】由于靜電感應(yīng)，球殼的內(nèi)、外壁形成兩個(gè)帶電球殼。球心電勢(shì)是兩個(gè)球殼形成電勢(shì)、點(diǎn)電荷形成電勢(shì)的合效果。根據(jù)靜電感應(yīng)的嘗試，內(nèi)壁的電荷量為Q ，外

15、壁的電荷量為+Q+q ，雖然內(nèi)壁的帶電是不均勻的，根據(jù)上面的結(jié)論，其在球心形成的電勢(shì)仍可以應(yīng)用定式，所以【答案】Uo = k k + k 。反饋練習(xí)如圖7-10所示，兩個(gè)極薄的同心導(dǎo)體球殼A和B，半徑分別為RA和RB ，現(xiàn)讓A殼接地，而在B殼的外部距球心d的地方放一個(gè)電量為+q的點(diǎn)電荷。試求：（1）A球殼的感應(yīng)電荷量；（2）外球殼的電勢(shì)。解說(shuō)這是一個(gè)更為復(fù)雜的靜電感應(yīng)情形，B殼將形成圖示的感應(yīng)電荷分布（但沒(méi)有凈電量），A殼的情形未畫(huà)出（有凈電量），它們的感應(yīng)電荷分布都是不均勻的。此外，我們還要用到一個(gè)重要的常識(shí)：接地導(dǎo)體（A殼）的電勢(shì)為零。但值得注意的是，這里的“為零”是一個(gè)合效果，它是點(diǎn)電荷

16、q 、A殼、B殼（帶同樣電荷時(shí)）單獨(dú)存在時(shí)在A中形成的的電勢(shì)的代數(shù)和，所以，當(dāng)我們以球心O點(diǎn)為對(duì)象，有UO = k + k + k = 0QB應(yīng)指B球殼上的凈電荷量，故 QB = 0所以 QA = q學(xué)員討論：A殼的各處電勢(shì)均為零，我們的方程能不能針對(duì)A殼表面上的某點(diǎn)去列？（答：不能，非均勻帶電球殼的球心以外的點(diǎn)不能應(yīng)用定式?。┗趧偛诺挠懻?，求B的電勢(shì)時(shí)也只能求B的球心的電勢(shì)（獨(dú)立的B殼是等勢(shì)體，球心電勢(shì)即為所求）UB = k + k答（1）QA = q ；（2）UB = k(1) ?！疚锢砬樾?】圖7-11中，三根實(shí)線(xiàn)表示三根首尾相連的等長(zhǎng)絕緣細(xì)棒，每根棒上的電荷分布情況與絕緣棒都換成導(dǎo)體

17、棒時(shí)完全相同。點(diǎn)A是abc的中心，點(diǎn)B則與A相對(duì)bc棒對(duì)稱(chēng)，且已測(cè)得它們的電勢(shì)分別為UA和UB 。試問(wèn)：若將ab棒取走，A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)將變?yōu)槎嗌伲俊灸Ｐ头治觥坑捎诩?xì)棒上的電荷分布既不均勻、三根細(xì)棒也沒(méi)有構(gòu)成環(huán)形，故前面的定式不能直接應(yīng)用。若用元段分割疊加，也具有相當(dāng)?shù)睦щy。所以這里介紹另一種求電勢(shì)的方法。每根細(xì)棒的電荷分布雖然復(fù)雜，但相對(duì)各自的中點(diǎn)必然是對(duì)稱(chēng)的，而且三根棒的總電量、分布情況彼此必然相同。這就意味著：三棒對(duì)A點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)都相同（可設(shè)為U1）；ab棒、ac棒對(duì)B點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)相同（可設(shè)為U2）；bc棒對(duì)A、B兩點(diǎn)的貢獻(xiàn)相同（為U1）。所以，取走ab前 3U1 = UA 2U2 +

18、U1 = UB取走ab后，因三棒是絕緣體，電荷分布不變，故電勢(shì)貢獻(xiàn)不變，所以 UA= 2U1 UB= U1 + U2【答案】UA= UA ；UB= UA + UB 。模型變換正四面體盒子由彼此絕緣的四塊導(dǎo)體板構(gòu)成，各導(dǎo)體板帶電且電勢(shì)分別為U1 、U2 、U3和U4 ，則盒子中心點(diǎn)O的電勢(shì)U等于多少？解說(shuō)此處的四塊板子雖然位置相對(duì)O點(diǎn)具有對(duì)稱(chēng)性，但電量各不相同，因此對(duì)O點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)也不相同，所以應(yīng)該想一點(diǎn)辦法我們用“填補(bǔ)法”將電量不對(duì)稱(chēng)的情形加以改觀：先將每一塊導(dǎo)體板復(fù)制三塊，作成一個(gè)正四面體盒子，然后將這四個(gè)盒子位置重合地放置構(gòu)成一個(gè)有四層壁的新盒子。在這個(gè)新盒子中，每個(gè)壁的電量將是完全相同的

19、（為原來(lái)四塊板的電量之和）、電勢(shì)也完全相同（為U1 + U2 + U3 + U4），新盒子表面就構(gòu)成了一個(gè)等勢(shì)面、整個(gè)盒子也是一個(gè)等勢(shì)體，故新盒子的中心電勢(shì)為U= U1 + U2 + U3 + U4 最后回到原來(lái)的單層盒子，中心電勢(shì)必為 U = U答U = （U1 + U2 + U3 + U4）。學(xué)員討論：剛才的這種解題思想是否適用于“物理情形2”？（答：不行，因?yàn)槿切胃鬟吷想妱?shì)雖然相等，但中點(diǎn)的電勢(shì)和邊上的并不相等。）反饋練習(xí)電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面半徑為R ，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)C和球心O的軸線(xiàn)，如圖7-12所示。P、Q為CD軸線(xiàn)上相對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，已知P點(diǎn)的電勢(shì)為UP ，試

20、求Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ 。解說(shuō)這又是一個(gè)填補(bǔ)法的應(yīng)用。將半球面補(bǔ)成完整球面，并令右邊內(nèi)、外層均勻地帶上電量為q的電荷，如圖7-12所示。從電量的角度看，右半球面可以看作不存在，故這時(shí)P、Q的電勢(shì)不會(huì)有任何改變。而換一個(gè)角度看，P、Q的電勢(shì)可以看成是兩者的疊加：帶電量為2q的完整球面；帶電量為q的半球面?？疾镻點(diǎn)，UP = k + U半球面其中 U半球面顯然和為填補(bǔ)時(shí)Q點(diǎn)的電勢(shì)大小相等、符號(hào)相反，即 U半球面= UQ 以上的兩個(gè)關(guān)系已經(jīng)足以解題了。答UQ = k UP ?！疚锢砬樾?】如圖7-13所示，A、B兩點(diǎn)相距2L ，圓弧是以B為圓心、L為半徑的半圓。A處放有電量為q的電荷，B處放有電量為q的點(diǎn)

21、電荷。試問(wèn)：（1）將單位正電荷從O點(diǎn)沿移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力對(duì)它做了多少功？（2）將單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長(zhǎng)線(xiàn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處去，電場(chǎng)力對(duì)它做多少功？【模型分析】電勢(shì)疊加和關(guān)系WAB = q（UA UB）= qUAB的基本應(yīng)用。UO = k + k = 0UD = k + k = U = 0再用功與電勢(shì)的關(guān)系即可?！敬鸢浮浚?）；（2）。 【相關(guān)應(yīng)用】在不計(jì)重力空間，有A、B兩個(gè)帶電小球，電量分別為q1和q2 ，質(zhì)量分別為m1和m2 ，被固定在相距L的兩點(diǎn)。試問(wèn)：（1）若解除A球的固定，它能獲得的最大動(dòng)能是多少？（2）若同時(shí)解除兩球的固定，它們各自的獲得的最大動(dòng)能是多少？（3）未解除固定時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)

22、的靜電勢(shì)能是多少？【解說(shuō)】第（1）問(wèn)甚間；第（2）問(wèn)在能量方面類(lèi)比反沖裝置的能量計(jì)算，另啟用動(dòng)量守恒關(guān)系；第（3）問(wèn)是在前兩問(wèn)基礎(chǔ)上得出的必然結(jié)論（這里就回到了一個(gè)基本的觀念斧正：勢(shì)能是屬于場(chǎng)和場(chǎng)中物體的系統(tǒng)，而非單純屬于場(chǎng)中物體這在過(guò)去一直是被忽視的。在兩個(gè)點(diǎn)電荷的環(huán)境中，我們通常說(shuō)“兩個(gè)點(diǎn)電荷的勢(shì)能”是多少。）【答】（1）k；（2）Ek1 = k ，Ek2 = k；（3）k 。思考設(shè)三個(gè)點(diǎn)電荷的電量分別為q1 、q2和q3 ，兩兩相距為r12 、r23和r31 ，則這個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電勢(shì)能是多少？解略。答k（+）。反饋應(yīng)用如圖7-14所示，三個(gè)帶同種電荷的相同金屬小球，每個(gè)球的質(zhì)量均為m

23、、電量均為q ，用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的三根絕緣輕繩連接著，系統(tǒng)放在光滑、絕緣的水平面上?，F(xiàn)將其中的一根繩子剪斷，三個(gè)球?qū)㈤_(kāi)始運(yùn)動(dòng)起來(lái)，試求中間這個(gè)小球的最大速度。解設(shè)剪斷的是1、3之間的繩子，動(dòng)力學(xué)分析易知，2球獲得最大動(dòng)能時(shí)，1、2之間的繩子與2、3之間的繩子剛好應(yīng)該在一條直線(xiàn)上。而且由動(dòng)量守恒知，三球不可能有沿繩子方向的速度。設(shè)2球的速度為v ，1球和3球的速度為v，則動(dòng)量關(guān)系 mv + 2m v= 0能量關(guān)系 3k = 2 k + k + mv2 + 2m解以上兩式即可的v值。答v = q 。三、電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)【物理情形】?jī)蓧K平行放置的很大的金屬薄板A和B，面積都是S ，間距為d（d遠(yuǎn)小于金

24、屬板的線(xiàn)度），已知A板帶凈電量+Q1 ，B板帶盡電量+Q2 ，且Q2Q1 ，試求：（1）兩板內(nèi)外表面的電量分別是多少；（2）空間各處的場(chǎng)強(qiáng)；（3）兩板間的電勢(shì)差?！灸Ｐ头治觥坑捎陟o電感應(yīng)，A、B兩板的四個(gè)平面的電量將呈現(xiàn)一定規(guī)律的分布（金屬板雖然很薄，但內(nèi)部合場(chǎng)強(qiáng)為零的結(jié)論還是存在的）；這里應(yīng)注意金屬板“很大”的前提條件，它事實(shí)上是指物理無(wú)窮大，因此，可以應(yīng)用無(wú)限大平板的場(chǎng)強(qiáng)定式。為方便解題，做圖7-15，忽略邊緣效應(yīng)，四個(gè)面的電荷分布應(yīng)是均勻的，設(shè)四個(gè)面的電荷面密度分別為1 、2 、3和4 ，顯然（1 + 2）S = Q1 （3 + 4）S = Q2 A板內(nèi)部空間場(chǎng)強(qiáng)為零，有 2k（1 2

25、3 4）= 0A板內(nèi)部空間場(chǎng)強(qiáng)為零，有 2k（1 + 2 + 3 4）= 0解以上四式易得 1 = 4 = 2 = 3 = 有了四個(gè)面的電荷密度，、空間的場(chǎng)強(qiáng)就好求了如E =2k（1 + 2 3 4）= 2k。最后，UAB = Ed【答案】（1）A板外側(cè)電量、A板內(nèi)側(cè)電量，B板內(nèi)側(cè)電量、B板外側(cè)電量；（2）A板外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)2k，方向垂直A板向外，A、B板之間空間場(chǎng)強(qiáng)2k，方向由A垂直指向B，B板外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)2k，方向垂直B板向外；（3）A、B兩板的電勢(shì)差為2kd，A板電勢(shì)高。學(xué)員思考如果兩板帶等量異號(hào)的凈電荷，兩板的外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)等于多少？（答：為零。）學(xué)員討論（原模型中）作為一個(gè)電容器，它的“

26、電量”是多少（答：）？如果在板間充滿(mǎn)相對(duì)介電常數(shù)為r的電介質(zhì)，是否會(huì)影響四個(gè)面的電荷分布（答：不會(huì)）？是否會(huì)影響三個(gè)空間的場(chǎng)強(qiáng)（答：只會(huì)影響空間的場(chǎng)強(qiáng)）？學(xué)員討論（原模型中）我們是否可以求出A、B兩板之間的靜電力？答：可以；以A為對(duì)象，外側(cè)受力·（方向相左），內(nèi)側(cè)受力·（方向向右），它們合成即可，結(jié)論為F = Q1Q2 ，排斥力。【模型變換】如圖7-16所示，一平行板電容器，極板面積為S ，其上半部為真空，而下半部充滿(mǎn)相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，當(dāng)兩極板分別帶上+Q和Q的電量后，試求：（1）板上自由電荷的分布；（2）兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)；（3）介質(zhì)表面的極化電荷。【解說(shuō)】電介質(zhì)

27、的充入雖然不能改變內(nèi)表面的電量總數(shù)，但由于改變了場(chǎng)強(qiáng)，故對(duì)電荷的分布情況肯定有影響。設(shè)真空部分電量為Q1 ，介質(zhì)部分電量為Q2 ，顯然有Q1 + Q2 = Q兩板分別為等勢(shì)體，將電容器看成上下兩個(gè)電容器的并聯(lián)，必有U1 = U2 即 = ，即 = 解以上兩式即可得Q1和Q2 。場(chǎng)強(qiáng)可以根據(jù)E = 關(guān)系求解，比較常規(guī)（上下部分的場(chǎng)強(qiáng)相等）。上下部分的電量是不等的，但場(chǎng)強(qiáng)居然相等，這怎么解釋?zhuān)繌墓降慕嵌瓤矗珽 = 2k（單面平板），當(dāng)k 、同時(shí)改變，可以保持E不變，但這是一種結(jié)論所展示的表象。從內(nèi)在的角度看，k的改變正是由于極化電荷的出現(xiàn)所致，也就是說(shuō)，極化電荷的存在相當(dāng)于在真空中形成了一個(gè)新的

28、電場(chǎng)，正是這個(gè)電場(chǎng)與自由電荷（在真空中）形成的電場(chǎng)疊加成為E2 ，所以E2 = 4k（ ）= 4k（ ）請(qǐng)注意：這里的和Q是指極化電荷的面密度和總量； E = 4k的關(guān)系是由兩個(gè)帶電面疊加的合效果?！敬鸢浮浚?）真空部分的電量為Q ，介質(zhì)部分的電量為Q ；（2）整個(gè)空間的場(chǎng)強(qiáng)均為 ；（3）Q 。思考應(yīng)用一個(gè)帶電量為Q的金屬小球，周?chē)錆M(mǎn)相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，試求與與導(dǎo)體表面接觸的介質(zhì)表面的極化電荷量。解略。答Q= Q 。四、電容器的相關(guān)計(jì)算【物理情形1】由許多個(gè)電容為C的電容器組成一個(gè)如圖7-17所示的多級(jí)網(wǎng)絡(luò)，試問(wèn)：（1）在最后一級(jí)的右邊并聯(lián)一個(gè)多大電容C，可使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的A、B兩端電

29、容也為C？（2）不接C，但無(wú)限地增加網(wǎng)絡(luò)的級(jí)數(shù)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)A、B兩端的總電容是多少？【模型分析】這是一個(gè)練習(xí)電容電路簡(jiǎn)化基本事例。第（1）問(wèn)中，未給出具體級(jí)數(shù)，一般結(jié)論應(yīng)適用特殊情形：令級(jí)數(shù)為1 ，于是 + = 解C即可。第（2）問(wèn)中，因?yàn)椤盁o(wú)限”，所以“無(wú)限加一級(jí)后仍為無(wú)限”，不難得出方程 + = 【答案】（1）C ；（2）C ?！鞠嚓P(guān)模型】在圖7-18所示的電路中，已知C1 = C2 = C3 = C9 = 1F ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2F ，C8 = C10 = 3F ，試求A、B之間的等效電容?！窘庹f(shuō)】對(duì)于既非串聯(lián)也非并聯(lián)的電路，需要用到一種“Y型變換”，參見(jiàn)圖7-19，根據(jù)