二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法及例題

1、一、 f(x)Pm(x)ex型二、f(x)exPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型12.9 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 方程y+py+qyf(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 其中p、q是常數(shù) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解yY(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解yy*(x)之和 yY(x)+y*(x) 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)exQ(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 設(shè)方程y+py+qyPm

2、(x)ex 特解形式為 下頁(yè)Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()則得 Q(x)ex+Q(x)ex+qQ(x)ex y*+py*+qy* 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示 此時(shí)2+p+q0 要使()式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式 Qm(x)b0 xm+b1xm1+ +bm1x+bm (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 則 y*Qm(x)ex 下頁(yè)一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 設(shè)方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式為 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()則得 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示 此時(shí)2+p+q0

3、但2+p0 要使()式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1次多項(xiàng)式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0 xm +b1xm1+ +bm1x+bm (2)如果是特征方程r2+pr+q0的單根 則y*xQm(x)ex 下頁(yè) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 則 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 設(shè)方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式為 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()則得 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示 此時(shí)2+p+q0 2+p0 要使()式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為m+2次多項(xiàng)式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0

4、xm+b1xm1+ +bm1x+bm (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 則y*x2Qm(x)ex 下頁(yè) (2)如果是特征方程r2+pr+q0的單根 則y*xQm(x)ex (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 則 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 設(shè)方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式為 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ()則得 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v結(jié)論 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y+py+qyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式 而k按不是特征

5、方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示 因?yàn)閒(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*b0 x+b1 把它代入所給方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x+1的一個(gè)特解 解 齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30 比較兩端 x 同次冪的系數(shù) 得 b01 因此所給方程的特解為31*+ xy b0 x+b12b0 x+b13b0 x+b13b0 x2b03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x+1 提示 3b03 2b03b11 x 同次冪的系數(shù) 得 b01 311b 特解形

6、式上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齊次方程y5y+6y0的特征方程為r25r +60 其根為r12 r23 提示齊次方程y5y+6y0的通解為YC1e2x+C2e3x 因?yàn)閒(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的單根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*x(b0 x+b1)e2x 把它代入所給方程 得 2b0 x+2b0b1x 比較系數(shù) 得 b11 故xexxy2) 121(* 系數(shù) 得210b b11 故提示 2b01 2b0b10 特解形式上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)首頁(yè) 例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齊次方程y5y+6y0的特征方程為

7、r25r +60 其根為r12 r23 2b0 x+2b0b1x 比較系數(shù) 得210b b11 故 b11 故xexxy2) 121(* 因此所給方程的通解為 xxxexxeCeCy223221)2(21+ 因?yàn)閒(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的單根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*x(b0 x+b1)e2x 把它代入所給方程 得特解形式上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y+py+qyexPl(x)coswx+Pn(x)sinwx有形如 y*xkexR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式 mmaxl n 而k按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1 二、f(x)exPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型下頁(yè) v結(jié)論 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解 結(jié)束特解形式 例3 求微分方程y+yxcos2x的一個(gè)特解 因?yàn)閒(x)exPl(x)coswx+Pn(x)sinwxxcos2x +iw2i不是特征方程的根 所以所給方程的特解應(yīng)設(shè)為齊次方程y+y0的特征方程為r2+10 把它代入所給方程 得