數(shù)學(xué)模型第八章

1、第八章第八章 離散模型離散模型8.1 層次分析模型層次分析模型8.2 循環(huán)比賽的名次循環(huán)比賽的名次8.3 社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程8.4 公平的席位分配公平的席位分配8.5 存在公正的選舉規(guī)則嗎存在公正的選舉規(guī)則嗎8.6 價格指數(shù)價格指數(shù)離散模型離散模型 離散模型：離散模型：代數(shù)方程與代數(shù)方程與差分方程（第差分方程（第6章）、整數(shù)規(guī)劃（第章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、論、網(wǎng)絡(luò)流、 應(yīng)用較廣應(yīng)用較廣, ,是分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具是分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具. . 只用到代數(shù)、集合及只用到代數(shù)、集合及( (少許少許) )圖論的知識圖論的知識

2、. .8.1 層次分析模型層次分析模型背背景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題. 涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素. 作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大 的作用，各因素的重要性難以量化的作用，各因素的重要性難以量化. Saaty于于20世紀(jì)世紀(jì)70年代提出層次分析法年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結(jié)合的、定性與定量相結(jié)合的、 系統(tǒng)化、層次化系統(tǒng)化、層次化的分析方法的分析方法目標(biāo)層目標(biāo)層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2黃山黃山P1桂林桂林P3北戴河

3、北戴河準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費用費用C4飲食飲食C5旅途旅途一一. . 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟例例. . 選擇旅游地選擇旅游地如何在如何在3 3個目的地中按照景色、個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇費用、居住條件等因素選擇. .“選擇旅游地選擇旅游地”思維過程的歸思維過程的歸納納 將決策問題分為將決策問題分為3個個層次層次：目標(biāo)層：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層，準(zhǔn)則層C， 方案層方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系各層元素間的關(guān)系 用相連的直線表示用相連的直線表示. 通過通過相互比較相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的確定各準(zhǔn)則對目

4、標(biāo)的權(quán)重權(quán)重，及各方，及各方 案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重. 將上述兩組權(quán)重進(jìn)行將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合綜合，確定各方案對目標(biāo)的，確定各方案對目標(biāo)的 權(quán)重權(quán)重.層次分析法將層次分析法將定性分析與定量分析定性分析與定量分析結(jié)合起來結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果.1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟成對比較陣成對比較陣和權(quán)向量和權(quán)向量 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度 設(shè)要

5、比較各準(zhǔn)則設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,Cn對目標(biāo)對目標(biāo)O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對比較陣成對比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1,Cn對對O的權(quán)向量的權(quán)向量選選擇擇旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成對比較的不一致情況成對比較的不一致情況):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況nwwwW,)(211 jiijwwa/令權(quán)向量),(Tnwwww

6、21成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量不一致不一致nnnnnwwwwwwwwwwwwA2112111成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij,21滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對應(yīng)于的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量的歸一化特征向量可作為權(quán)向量一致陣一致陣性質(zhì)性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量對于不一致對于不一致( (但在允許范圍內(nèi)但在允許范圍內(nèi)) )的成對比較陣的成對比較陣A, ,建議用對應(yīng)于最大特征根建議用對應(yīng)

7、于最大特征根 的特征向量作為權(quán)的特征向量作為權(quán)向量向量w ，即，即wAw 2 4 6 8比較尺度比較尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度, 即即aij 取值取值1,2,9及其互反數(shù)及其互反數(shù)1,1/2, ,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍強稍強 強強 明顯強明顯強 絕對強絕對強的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個個. 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)

8、等等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)尺度較優(yōu). 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量一致性檢驗一致性檢驗對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍已知：已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最大特征根 n, 且且 =n時為一致陣時為一致陣1nnCI定義一致性指標(biāo)定義一致性指標(biāo):CI 越大，不一致越嚴(yán)重越大，不一致越嚴(yán)重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.

9、24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入隨機一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo) RI隨機隨機模擬得到模擬得到aij , 形成形成A，計算，計算CI 即得即得RI.定義一致性比率定義一致性比率CR = CI/RI當(dāng)當(dāng)CR0.1時通過一致性檢驗時通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下的結(jié)果如下“選擇旅游地選擇旅游地”中中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗向量及一致性檢驗1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準(zhǔn)則層對目標(biāo)的準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣成對比較陣最大特征

10、根最大特征根 =5.073權(quán)向量權(quán)向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)個頂點的雙向連通競賽圖，存在個頂點的雙向連通競賽圖，存在 正整數(shù)正整數(shù)r，使鄰接矩陣，使鄰接矩陣A 滿足滿足Ar 0，A稱稱素陣素陣.eAAsskkk ) 1()(0001100011000110A排名為排名為1，2，4，3sskk)(,)(歸一化后T1.4,(0.323,0.280,0.16

11、7,0.230)s用用s排名排名1234(4)1, 2, 3, 4? 素陣素陣A的最大特征根為正單的最大特征根為正單 根根 ，對應(yīng)正特征向量，對應(yīng)正特征向量s，且且seAkkk lim000100100100110000001010111000111010A(1)T(4,3,3,2,2,1) ,s1234566支球隊比賽結(jié)果支球隊比賽結(jié)果T2.232,(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)s排名次序為排名次序為1，3， 2，5，4，632, 4 5排名排名 132456?(3)T(15,10,16,7,12,9) ,s(2)T(8,5,9,3,4,3) ,s

12、(4)T(38, 28,32, 21, 25,16)s1:4分分; 2,3:3分分; 4,5:2分分; 6:1分分.v1能源利用量能源利用量, v2能源價格能源價格,v3能源生產(chǎn)率能源生產(chǎn)率, v4環(huán)境質(zhì)量環(huán)境質(zhì)量,v5工業(yè)產(chǎn)值工業(yè)產(chǎn)值, v6就業(yè)機會就業(yè)機會,v7人口總數(shù)人口總數(shù).8.3 社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程系統(tǒng)的元素系統(tǒng)的元素圖的頂點圖的頂點元素間的直接影響元素間的直接影響有方向的弧有方向的弧正面影響正面影響弧旁的弧旁的+號；負(fù)面影響號；負(fù)面影響弧旁的弧旁的號號帶符號的有向圖帶符號的有向圖符號、符號、 客觀規(guī)律；客觀規(guī)律；方針政策方針政策例例 能源利用系統(tǒng)的預(yù)測能源

13、利用系統(tǒng)的預(yù)測+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5Evvvvvvajijijiij若，為若為若，0, 110000001100000001000011000000001001000000010001110A帶符號有向圖帶符號有向圖G1=(V,E)的鄰接矩陣的鄰接矩陣AV頂點集頂點集 , E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某時段某時段vi 增加導(dǎo)致增加導(dǎo)致下時段下時段vj 增加增加(減少減少)帶符號的有向圖帶符號的有向圖G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v50000005 . 1100000005 . 100002 . 13 . 000000000100200000007 .

14、00002 . 18 . 05 . 00W加權(quán)有向圖加權(quán)有向圖G2及其鄰接矩陣及其鄰接矩陣W定量模型定量模型某時段某時段vi 增加增加1單位導(dǎo)致單位導(dǎo)致下時段下時段vj 增加增加wij單位單位jwivvij的特例視為 WAv70.311.5-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加權(quán)有向圖加權(quán)有向圖G2, 2 , 1 , 0, 2 , 1),1()() 1(tnitptvtviiininiiijjiijjtpatptpwtp11)()1(),()1(或) 1()() 1(tptvtv沖量過程沖量過程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi變化引起的

15、系統(tǒng)的演變過程變化引起的系統(tǒng)的演變過程 vi(t) vi在時段在時段t 的的值值； pi(t) vi在時段在時段t 的的改變量改變量(沖量沖量)(),(),()(),(,),(),()(2121tptptptptvtvtvtvnnjwivvij沖量過程模型沖量過程模型Wtptp)()1(Atptp)()1(或或能源利用系統(tǒng)的預(yù)測能源利用系統(tǒng)的預(yù)測簡單沖量過程簡單沖量過程初始沖量初始沖量p(0)中中某個分量為某個分量為1，其余為，其余為0的沖量過程的沖量過程.若開始時能源利用量有突然增加，預(yù)測系統(tǒng)的演變?nèi)糸_始時能源利用量有突然增加，預(yù)測系統(tǒng)的演變.)0()0(pv) 1()() 1(tptvtv

16、Atptp)() 1(設(shè)設(shè)能源利用系統(tǒng)的能源利用系統(tǒng)的 p(t)和和v(t)-110-11-100011-10000t4p3p5p6p7p2p4v3v2v1v5v6v7v01000000100000001p231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1簡單沖量過程簡單沖量過程S的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 任意時段任意時段S的各元素的值和沖量是否為有限的各元素的值和沖量是否為有限(穩(wěn)定穩(wěn)定)? S不穩(wěn)定時如何改變可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定不穩(wěn)定時如何改變可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定? S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定對任意對任意 i,t, | pi(t) |有界有界 S值穩(wěn)定值穩(wěn)定對任意

17、對任意 i,t, | vi(t) |有界有界值穩(wěn)定值穩(wěn)定沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定) 1()() 1(tptvtvWtptp)()1(tWptp)0()(S的穩(wěn)定性取決于的穩(wěn)定性取決于W的特征根的特征根記記W的的非零非零特征根為特征根為 S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 | | 1 S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 | | 1且均為單根且均為單根 S值穩(wěn)定值穩(wěn)定 S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定且且 不等于不等于10000001100000001000011000000001001000000010001110A對于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣對于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣A2532( )(1)f特征多項式特征多項式76)2(, 2) 1 (ff) 2

18、, 1 (能源利用系統(tǒng)存在能源利用系統(tǒng)存在沖量沖量不穩(wěn)定不穩(wěn)定的簡單沖量過程的簡單沖量過程簡單沖量過程簡單沖量過程S的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 簡單沖量過程的穩(wěn)定性簡單沖量過程的穩(wěn)定性 改進(jìn)的玫瑰形圖改進(jìn)的玫瑰形圖S* 帶符號的帶符號的有向圖雙向連通，且存在一個有向圖雙向連通，且存在一個位于所有回路上的中心頂點位于所有回路上的中心頂點.回路長度回路長度 構(gòu)成回路的邊數(shù)構(gòu)成回路的邊數(shù).回路符號回路符號 構(gòu)成回路的各有向邊符號構(gòu)成回路的各有向邊符號+1或或-1之乘積之乘積.ak長度為長度為k的回路符號和的回路符號和r使使ak不等于不等于0的最大整數(shù)的最大整數(shù) S*沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 ) 1, 2 , 1(rk

19、aaar-krk, 1ra 若若S*沖量穩(wěn)定，則沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定值穩(wěn)定 1r1kka+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5簡單沖量過程簡單沖量過程S*的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 a1=0, a2= (-1)v1v2 (-1)v2v1 =1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1, a4=0, a5=1, r=5 S*沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 (1,2,1)krr-kaa akr, 1ra352aaa (-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓勵利用變?yōu)橄拗评糜晒膭罾米優(yōu)橄拗评? a2 =-1+ +S*沖量不穩(wěn)定沖量不穩(wěn)定) 1()(2352fA的的特征多

20、項式特征多項式0,0,1,i,( 13i)1 且為單根S*沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 S*沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 | | 1且均為單根且均為單根v1利用量利用量, v2價格價格v7+-+-+-+v2v1v3v4v6v5 若S*沖量穩(wěn)定，則沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定值穩(wěn)定 1r1kka1 , 0 , 1 , 1, 0,54321aaaaa S*沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定 ),(121rkaaar-krk, 1rav3能源生產(chǎn)率能源生產(chǎn)率 v5工業(yè)產(chǎn)值工業(yè)產(chǎn)值1,1,5353aaaa(-1)v3v5 違反客觀規(guī)律違反客觀規(guī)律S*值不穩(wěn)定值不穩(wěn)定S*值值穩(wěn)定穩(wěn)定(+1)v3v5 (-1)v3v5能源利用系統(tǒng)的值能源利用系統(tǒng)的值不

21、應(yīng)穩(wěn)定？不應(yīng)穩(wěn)定？-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5+簡單沖量過程簡單沖量過程S*的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程 定性與定量相結(jié)合的定性與定量相結(jié)合的系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析方法方法, , 適合社會經(jīng)濟適合社會經(jīng)濟 領(lǐng)域中復(fù)雜大系統(tǒng)的宏觀研究領(lǐng)域中復(fù)雜大系統(tǒng)的宏觀研究. . 解決問題的解決問題的關(guān)鍵關(guān)鍵是確定研究的對象及其范圍是確定研究的對象及其范圍( (系統(tǒng)系統(tǒng) 的邊界的邊界), ), 以及各因素間的相互關(guān)系以及各因素間的相互關(guān)系. . 以能源系統(tǒng)為例介紹以能源系統(tǒng)為例介紹有向圖有向圖和和沖量過程沖量過程的建模方法的建模方法. 沖量過程模型及預(yù)測是簡單的沖量過程

22、模型及預(yù)測是簡單的, 但是但是穩(wěn)定性穩(wěn)定性判斷及判斷及 其改進(jìn)比較復(fù)雜其改進(jìn)比較復(fù)雜.8.4 公平的席位分配公平的席位分配每每10年，美國聯(lián)邦政府進(jìn)行一次全國人口普查年，美國聯(lián)邦政府進(jìn)行一次全國人口普查, 各州在各州在聯(lián)邦眾議院的代表名額也據(jù)此重新確定聯(lián)邦眾議院的代表名額也據(jù)此重新確定.公平的席位分配問題（公平的席位分配問題（apportionment）2000年人口普查后，猶他州向聯(lián)邦政府提出控訴，說年人口普查后，猶他州向聯(lián)邦政府提出控訴，說分配給北卡羅萊納州的名額應(yīng)該是他們的分配給北卡羅萊納州的名額應(yīng)該是他們的.問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？事實上，過去事實上，過去200年來

23、，美國國會在名額分配上打過多年來，美國國會在名額分配上打過多起法律官司，曾有過長期爭論并使用過起法律官司，曾有過長期爭論并使用過4種分配方案種分配方案.一個簡單例子一個簡單例子系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問問題題三個系學(xué)生共三個系學(xué)生共200名名(甲甲100，乙，乙60，丙，丙40)，代表會，代表會議共議共20席，按比例分配，三個

24、系分別為席，按比例分配，三個系分別為10, 6, 4席席.因?qū)W生轉(zhuǎn)系因?qū)W生轉(zhuǎn)系, 三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 如何分配如何分配20席席?若代表會議增加若代表會議增加1席，如何分配席，如何分配21席席?比比例例加加慣慣例例對對丙丙系系公公平平嗎？嗎？系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 5

25、1.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21模模型型已知已知: m方人數(shù)分別為方人數(shù)分別為 p1, p2, pm, 記總?cè)藬?shù)記總?cè)藬?shù)為為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為待分配的總席位為N. 各方先分配各方先分配qi的整數(shù)部分的整數(shù)部分qi, 總余額為總余額為miiqNN1 記記ri =qi-qi, 則第則第i方的分配名額方的分配名額ni為為其他個最大的, 1iiiiqNrqn要要求求已知

26、份額向量已知份額向量q=(q1, , qm)0, 找一個非負(fù)找一個非負(fù)整數(shù)分配向量整數(shù)分配向量n=(n1, , nm), 使使n與與q最最接近接近.比例加慣例法比例加慣例法記記 qi=Npi /P, 稱為第稱為第i方的份額方的份額(i =1,2, ,m) 背景背景Hamilton (比例加慣例比例加慣例) 方法方法 A. Hamilton提出的這種辦法提出的這種辦法1792年被美國國會否決年被美國國會否決 1850-1900年被美國國會采用年被美國國會采用(稱為稱為Vinton法法) 又稱為又稱為最大剩余法最大剩余法（GR: Greatest Remainders）或）或最大分?jǐn)?shù)法最大分?jǐn)?shù)法（

27、LF: Largest Fractions） ，等等，等等 席位悖論席位悖論總席位增加反而可能導(dǎo)致某州席位減少總席位增加反而可能導(dǎo)致某州席位減少 1880年年Alabama州曾遇到，又稱州曾遇到，又稱Alabama悖論悖論 該方法的另一個重大缺陷：該方法的另一個重大缺陷： （下頁給例子）（下頁給例子） 人口悖論人口悖論某州人口增加較多反而可能該州席位減少某州人口增加較多反而可能該州席位減少 Hamilton方法的不公平性方法的不公平性1. p1, p2, pm不變不變, N的增加會使某個的增加會使某個ni減少減少 (上例上例).2. N不變不變, pi 比比pj的增長率大的增長率大, 會使會使

28、 ni減少減少 nj增加增加(下例下例).pinii=1 10311i=2637i=3343和和20021pi1146434212ni116421pini1031063634420020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215ni116320“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當(dāng)當(dāng)p1/n1= p2/n2 時，分配公平時，分配公平 p1/n1 p2/n2 對對A的的絕對不公平度絕對不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=

29、1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對但后者對A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對絕對不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，對對 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使使 rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席席, 若增加若增加1席席, 問應(yīng)分給問應(yīng)分給A, 還是還是B?不妨設(shè)分配開始時不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對即對A不公平不公平.),(/21222211nnrn

30、pnpnpA 對對A的的相對不公平度相對不公平度將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義定義1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計算應(yīng)計算rB(n1+1, n2)應(yīng)計算應(yīng)計算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問： p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B當(dāng)當(dāng)

31、 rB(n1+1, n2) 1)A=x, y, z, u, v, m位位候選人集合候選人集合( m 1)選民選民 i ( I ) 對全體對全體候選人候選人投票投票 A的一個排序的一個排序 pi根據(jù)全體根據(jù)全體候選人的投票候選人的投票 pi (i = 1, 2, , n) 確定群體確定群體對對A的一個排序的一個排序 p (選舉結(jié)果選舉結(jié)果 )選舉規(guī)則：選舉規(guī)則：pi (i = 1, 2, , n) p 的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系（群體一致函數(shù)）（群體一致函數(shù)）選舉選舉規(guī)則規(guī)則選舉規(guī)則選舉規(guī)則排序排序pi (i = 1, 2, , n)和和 p應(yīng)滿足的性質(zhì)應(yīng)滿足的性質(zhì)(公理公理)： 1. 對于任意的對于

32、任意的 x, y A, 或者或者 x優(yōu)于優(yōu)于y (xy ), 或者或者 x 等同等同 y (xy ), 或者或者 x劣于劣于y (xy時，時，選舉結(jié)果選舉結(jié)果 p中才有中才有xy （yuv， p2 : yxuv， p3 : xuvy， 選舉結(jié)果選舉結(jié)果 p : xyuv簡單多數(shù)規(guī)則簡單多數(shù)規(guī)則 使用方便使用方便 不滿足排序的可傳遞性不滿足排序的可傳遞性例例2 . p1 : xyz， p2 : yzx， p3 : zxy，按規(guī)則按規(guī)則 p 應(yīng)有應(yīng)有 xy, yz, zx 破壞可傳遞性破壞可傳遞性選舉規(guī)則選舉規(guī)則2 記分規(guī)則（記分規(guī)則（Borda數(shù)）數(shù)）Bi(x) pi 中中劣于劣于x的候選人數(shù)目

33、的候選人數(shù)目(i = 1, 2, , n)例例1. 設(shè)設(shè)I=1, 2, 3對對A=x, y, u, v的投票為的投票為 p1 : xyuv， p2 : yxuv， p3 : xuvy， x 在選舉在選舉中的分?jǐn)?shù)中的分?jǐn)?shù), 稱稱Borda數(shù)數(shù)niixBxB1)()(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)B(x) B(y)時，選舉結(jié)果時，選舉結(jié)果 p中才有中才有xyB1(x)=3, B2(x)=2, B3(x)=2 B(x)= 7B(y)=5, B(u)=3, B(v)=1p: xyuv例例2. p1 : xyz， p2 : yzx， p3 : zxy，選舉規(guī)則選舉規(guī)則2 記分規(guī)則（記分規(guī)則（Borda數(shù)）數(shù)）B(x)

34、= B(y)=B(z)=3 p: xyz問題：投票時只要求順序，而記分規(guī)則考慮優(yōu)劣程度問題：投票時只要求順序，而記分規(guī)則考慮優(yōu)劣程度例例3. 設(shè)設(shè)I=1, 2, 3, 4對對A=x, y, z, u, v的投票為的投票為 p1, p2, p3 : xyzuv， p4 : yzuvx，兩種規(guī)則都有不滿意之處，是否有適合所有情況兩種規(guī)則都有不滿意之處，是否有適合所有情況的、公正合理的規(guī)則？的、公正合理的規(guī)則？公理化方法！公理化方法！ B(x)= 12, B(y)= 13違反多數(shù)人的意愿違反多數(shù)人的意愿 yxArrow公理：選舉規(guī)則應(yīng)滿足的公理：選舉規(guī)則應(yīng)滿足的5條公理條公理公理公理1 （選舉的完全

35、性）（選舉的完全性）選民對候選人的任何一種排序都是允許的選民對候選人的任何一種排序都是允許的.公理公理2 （選舉結(jié)果與選民投票的正相關(guān)性）（選舉結(jié)果與選民投票的正相關(guān)性）對于對于pi (i = 1, 2, , n), 設(shè)p : xy. 若若pi (i = 1, 2, , n)中中x, y的排序相同或的排序相同或x提前提前, 其他候選人排序不變，則其他候選人排序不變，則p : xy.公理公理3 （無關(guān)候選人的獨立性）（無關(guān)候選人的獨立性）設(shè)設(shè)A1是是A的子集，若在的子集，若在pi 和和pi (i = 1, 2, , n)中中A1內(nèi)候選內(nèi)候選人的人的排序相同，則排序相同，則p 和和p 中中A1內(nèi)候

36、選人的內(nèi)候選人的排序也相同排序也相同.Arrow公理：選舉規(guī)則應(yīng)滿足的公理：選舉規(guī)則應(yīng)滿足的5條公理條公理公理公理4 （選民的主權(quán)性）（選民的主權(quán)性）對任意候選人對任意候選人x, y，存在，存在pi (i = 1, 2, , n) 使使 p : xy.公理公理5 （選民的非獨裁性）（選民的非獨裁性）不存在這樣的選民不存在這樣的選民i ，使，使對任意候選人對任意候選人x, y，只要只要pi: xy, 選舉規(guī)則選舉規(guī)則就確定就確定 p : xy.討論滿足上述討論滿足上述5條公理的選舉規(guī)則條公理的選舉規(guī)則 當(dāng)只有當(dāng)只有2位候選人時位候選人時簡單多數(shù)規(guī)則滿足簡單多數(shù)規(guī)則滿足Arrow公理公理. 至少有

37、至少有3位候選人時位候選人時是否存在是否存在滿足滿足Arrow公理的規(guī)則公理的規(guī)則?Arrow定理定理當(dāng)至少有當(dāng)至少有3位候選人時位候選人時, 不存在滿足不存在滿足對對公理公理3提出置疑提出置疑zyxpzyxp:)1(2)1(1yxzpyzxp:)2(2)2(1xyzpxzyp:)3(2)3(1yxzpzyxp:)4(2)4(1zyxp:)1(yzxp:)2(xzyp:)3(yxpyxA:),()4(1不變zxpzxA:),()4(1不變zypzyA:),()4(1不變3個個p(4)出現(xiàn)矛盾出現(xiàn)矛盾A1外候選人的插入影響外候選人的插入影響A1內(nèi)排序的優(yōu)劣內(nèi)排序的優(yōu)劣Arrow公理的選舉規(guī)則公理

38、的選舉規(guī)則公理公理3未考慮排序的優(yōu)劣未考慮排序的優(yōu)劣怎么辦怎么辦?聯(lián)合尺度下的選舉規(guī)則聯(lián)合尺度下的選舉規(guī)則所有候選人按照同一指標(biāo)在所有候選人按照同一指標(biāo)在0,1尺度上確定各自的位置尺度上確定各自的位置.所有選民所有選民在在0,1尺度上確定各自理想候選人的位置尺度上確定各自理想候選人的位置.0 1xyuv0.40.6123 p1 : uv yx， p2 : yvxu， p3 : vuyx 簡單多數(shù)規(guī)則得簡單多數(shù)規(guī)則得 p: vuyx若有奇數(shù)個選民若有奇數(shù)個選民, pi由由聯(lián)合尺度得到聯(lián)合尺度得到, j是居中的那位選民是居中的那位選民, 則則pj與與簡單多數(shù)規(guī)則得到的簡單多數(shù)規(guī)則

39、得到的p一致一致, 且且滿足滿足Arrow公理公理.候選人與選民的聯(lián)合尺度候選人與選民的聯(lián)合尺度聯(lián)合尺度限制了投票情況聯(lián)合尺度限制了投票情況, 才能夠滿足才能夠滿足Arrow公理公理.最小距離意義下的選舉規(guī)則最小距離意義下的選舉規(guī)則I=1, 2, , n 選民集合選民集合, A=x, y, z, u, v, 候選人集合候選人集合P A的所有排序的集合的所有排序的集合, 合理地定義兩點合理地定義兩點pi 和和 pj的的“距離距離”pi P 中的一個點中的一個點I 的一次投票的一次投票: p1, pn從從投票投票 p1, pn確定選舉結(jié)果歸結(jié)為確定選舉結(jié)果歸結(jié)為, 在集合在集合P 中中找一個點找一

40、個點 p, 使它到使它到 n個點的總距離最小個點的總距離最小.可以用公理化的方法定義可以用公理化的方法定義距離距離 最小距離意義下的選舉規(guī)則最小距離意義下的選舉規(guī)則任意一對候選任意一對候選人人x, y在選民在選民投票投票pi , pj中的中的距離距離定義為定義為排序相反中，或另一個含，中一個含排序相同中yxppyxyxyxppyxppppjijijijiyx,),(),(210pi , pj之間的之間的距離距離定義為定義為),(),(),(),(jiAyxyxjippppd候選人成對地候選人成對地跑遍集合跑遍集合A例例 p1 : xyz， p2 : xzy ),(),(),(),(21),(2

41、1),(21),(21ppppppppdzyzxyx3210最小距離意義下的選舉規(guī)則最小距離意義下的選舉規(guī)則從從投票投票 p1, pn確定選舉結(jié)果確定選舉結(jié)果 p的準(zhǔn)則的準(zhǔn)則.niippd1),(minniippd12),(min平均地照顧各位選民的意見平均地照顧各位選民的意見.對與多數(shù)選民意見不同的少對與多數(shù)選民意見不同的少數(shù)選民的意見給予更多考慮數(shù)選民的意見給予更多考慮.缺點缺點 沒有確定沒有確定p的有效方法的有效方法 (基本上是枚舉法基本上是枚舉法). p可能不唯一可能不唯一 (習(xí)題習(xí)題20).存在公正的選舉規(guī)則嗎存在公正的選舉規(guī)則嗎 選舉規(guī)則選舉規(guī)則 通過選民投票確定對候選人的排序通過

42、選民投票確定對候選人的排序. 規(guī)定排序的性質(zhì)規(guī)定排序的性質(zhì)提出一組公理提出一組公理尋求尋求選舉規(guī)則選舉規(guī)則. 若公理過多、過于嚴(yán)格若公理過多、過于嚴(yán)格可能得不到滿足公理的結(jié)果可能得不到滿足公理的結(jié)果. 若公理過少、過于寬松若公理過少、過于寬松可能無法得到結(jié)果或不惟一可能無法得到結(jié)果或不惟一. Arrow得到了反面得到了反面結(jié)果結(jié)果不存在滿足公理的選舉規(guī)則不存在滿足公理的選舉規(guī)則. 聯(lián)合尺度規(guī)則聯(lián)合尺度規(guī)則以縮小應(yīng)用范圍為代價換取一定結(jié)果以縮小應(yīng)用范圍為代價換取一定結(jié)果. 最小距離規(guī)則最小距離規(guī)則不便于應(yīng)用不便于應(yīng)用.8.6 價格指數(shù)價格指數(shù)問問題題價格指數(shù)是消費品價格變化的度量價格指數(shù)是消費品

43、價格變化的度量.幾百年來，經(jīng)濟學(xué)家們提出了許多種價格指數(shù)幾百年來，經(jīng)濟學(xué)家們提出了許多種價格指數(shù).如何評價這些價格指數(shù)的合理性？如何評價這些價格指數(shù)的合理性？從種、種商品的價格指數(shù)談起從種、種商品的價格指數(shù)談起對一種給定商品，原價對一種給定商品，原價p0, 現(xiàn)價現(xiàn)價p, 價格變化價格變化 I=p/p0對兩種給定商品，原價對兩種給定商品，原價p10, p20, 現(xiàn)價現(xiàn)價p1, p2, 價格變化價格變化022011ppppI020121ppppI020121ppppI 不合理不合理: 人們對大米漲價比鋼琴降價更為關(guān)切人們對大米漲價比鋼琴降價更為關(guān)切加權(quán)加權(quán)!問題的一般提法問題的一般提法基年基年(基

44、準(zhǔn)年基準(zhǔn)年)現(xiàn)年現(xiàn)年(考察年考察年) 各種價格指數(shù)各種價格指數(shù) I(p,q|p0,q0)哪個更合理？哪個更合理？價格權(quán)重價格權(quán)重n 種代表性消費品種代表性消費品0000T12(,.,)npppp0000T12(,.,)nqqqqT12(,.,)nppppT12(,.,)nqq qq0001.qpqpI qpqpI.02003.qpqpI 215III apapI.04ai 0niiiippI10700,iiiqqniiiippI108iiiqq,niiiippI106,1, 0ii1. 價格單調(diào)性價格單調(diào)性：一種商品漲價，其他不降，則：一種商品漲價，其他不降，則I應(yīng)上升應(yīng)上升價格指數(shù)的公理化價格指數(shù)的公理化p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 權(quán)重不變性權(quán)重不變性：所有商品價格不變，則