談中學(xué)幾何教學(xué)中對(duì)稱性及應(yīng)用

1、談中學(xué)幾何教學(xué)中對(duì)稱性及應(yīng)用【中圖分類號(hào)ig623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】b【文章編號(hào)】 2095-3089 （2012） 13-0266-02“對(duì)稱”概念的提出源于自然。許多動(dòng)、植物的長(zhǎng)相是 對(duì)稱的，自然界里的對(duì)稱現(xiàn)象給人以美的感覺。對(duì)稱性也是 數(shù)學(xué)美的重要特征。在數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過程中，由對(duì)稱性因 素和對(duì)稱美的考慮而引出的新概念和新理論不勝枚舉。各種 逆運(yùn)算的建立，一系列數(shù)域的擴(kuò)張均與對(duì)稱性因素密切相 關(guān)。由常量到變量，由確定性到隨機(jī)性，由有限到無限，由 精確到模糊等等，無不顯示了對(duì)稱性因素在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重 要作用。幾何與代數(shù)中均存在對(duì)稱性問題。本文單從平面幾何方 面進(jìn)行說明。平面幾何中的對(duì)稱主要

2、是中心對(duì)稱和軸對(duì)稱。（一）、中心對(duì)稱 任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段過對(duì)稱中心, 且被中心平分。軸對(duì)稱任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分。常見的軸對(duì)稱圖形是：等腰三角形、等腰梯形、矩形、 菱形、正多邊形和圓等。軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形均是全等形。 且在軸對(duì)稱下，兩對(duì)應(yīng)直線或交于對(duì)稱軸上的同一點(diǎn)或平行 于對(duì)稱軸；在中心對(duì)稱下，兩對(duì)應(yīng)線段平行且相等。（二）、對(duì)稱性的應(yīng)用。1、看對(duì)稱，找結(jié)論。數(shù)學(xué)上，許多結(jié)論和方法的獲得均是有規(guī)律可循的，不 少幾何題目，如果從對(duì)稱的角度去觀察、分析，很容易找到 答案。例1、在aaob的0a邊上取p和s兩點(diǎn)，再在0b邊上 取q和t兩點(diǎn)，使oq=op, ot=os, pt和qs相交

3、于x,找出 圖中相等的線段和角度，再求證ox平分zaobo分析：考慮到本題的圖形關(guān)于za0b的平分線對(duì)稱這一 事實(shí)，不難發(fā)現(xiàn)有關(guān)相等的線段和角度，從而很易獲證。例2、如圖，把的弦ab向兩方延長(zhǎng)且取ac=bd,過 c和d在cd的同旁作圓的切線ce和df,求證：cd=dfo分析：圖形關(guān)于ab (或cd)的垂直平分線對(duì)稱。并有cb=da,從而易證ce二df。且明顯看出圖中相等的線段和相等的 角。2、用對(duì)稱，找思路。在處理幾何問題時(shí)，充分利用圖形的對(duì)稱性，往往有助 于找到思路。例3、aabc中，ab二ac, ad是bc邊上的中線，ab的垂 直平分線交ad于0, zb的平分線交ad于i； (1)觀察0和

4、 i兩點(diǎn)的特性；(2)求證：oa=ob=oc； (3)求證：i到bc, ca和ab的距離相等；(4)如果0和i重合，aabc有什么特點(diǎn)？分析：這里ao與:bo關(guān)于ab的垂直平分線對(duì)稱，如果由i作ik丄ab,交ab于k,則id和ik關(guān)于bi對(duì)稱，圖形 關(guān)于ad對(duì)稱，如果0和i重合，則圖形同時(shí)關(guān)于bi所在直 線對(duì)稱，結(jié)論自明!例4、如圖，過菱形abcd的頂點(diǎn)a作ag,交對(duì)角線和 邊及其延長(zhǎng)線于e、f、go求證：ec2二efeg。分析：利用菱形的對(duì)稱性(關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱)易知z1 二z2二z3 , 故 aecfs/xegc , efec=eceg , 即ec2二ef ego3、想對(duì)稱，添輔助線。幾何證

5、題中，困難較大的多半是添置輔助線的問題，輔 助線一經(jīng)作出，問題就迎刃而解。但怎樣作輔助線呢？利用 對(duì)稱往往可啟發(fā)我們的思路。例5、過的弦bc之中點(diǎn)a,作二弦pq、rs,連ps、 rq 交 bc 于 m、n,求證：am二an。證明：如圖，作對(duì)稱軸t (ao), s-s',由圓的對(duì)稱性 知：as二as' , z1=z2o點(diǎn)p, s, q, r共圓.z3=z4四點(diǎn)r, s, s' , q共圓 .z6+z7=180° 由 z6=z1=z2z2+z7二 180°，從而 a, s' ,q,n 共圓，z5二z4二z3, 即 z5=z3, a a ams a ans7 ,即 am 二 an。例 6、如圖，aabc 中，ab-3 ac, z>z2, be 丄 ae, bc 與ae交于d點(diǎn),求證：ad=deo分析：由角平分線和垂線應(yīng)聯(lián)想起ab關(guān)于ae的對(duì)稱形, 即延長(zhǎng)be交ac的延長(zhǎng)線于,有be二b e, ab7二3ac, 要證ad=de,設(shè)法用全等三角形，故取ab中點(diǎn)f,連接ef, 交bc于k,有efabk為bc中點(diǎn)，ke二c二ac，易證 aacdaekd,從而ad二de。另外，本題也可僅用重心結(jié)論, 由fk=ke, k為aabe的重心，故