固體物理chapter3

1、 晶體內原子在平衡位置附近微小振動，溫晶體內原子在平衡位置附近微小振動，溫度增加，振動劇烈，近似為彈簧的振動。度增加，振動劇烈，近似為彈簧的振動。3.1 一維單原子晶格的振動一維單原子晶格的振動一、物理模型一、物理模型 質量為質量為 m 的原子，在平衡位置附近作簡諧的原子，在平衡位置附近作簡諧振動；只考慮最近鄰作用振動；只考慮最近鄰作用; 原子間近似于彈簧原子間近似于彈簧連接，彈簧彈性系數為連接，彈簧彈性系數為。平衡位置平衡位置)(22drUd 選選n=0原子的平衡位置為原點原子的平衡位置為原點 oaun-1unun+1t 時刻時刻 t 時刻，第時刻，第n-1、n、n+1原子離開平衡位置原子離

2、開平衡位置的位移為的位移為un-1、un、un+1，由虎克定律，由虎克定律 F = -uox n=0 n-1 n n+1 n+2第第 n 個原子受到個原子受到 第第 n+1 個原子的作用力個原子的作用力 11 nnnuuF 11 nnnuuF 第第 n 個原子受到個原子受到 第第 n-1 個原子的個原子的作用力作用力Fn+1Fn-1第第n個個第第 n 個原子的運動方程個原子的運動方程11 nnnFFF牛頓第二定律牛頓第二定律Fma第第 n 個原子的運動方程個原子的運動方程如果晶體由如果晶體由 N 個原子組成，可建立個原子組成，可建立N個方程組個方程組 nnnnuuudtudm21122 l運動

3、方程的解為類波解：運動方程的解為類波解： tqnainAeu 所有原子以相同頻率所有原子以相同頻率 和振幅和振幅 A 作簡諧振動，作簡諧振動，但初相位不同，相鄰原子相位差為但初相位不同，相鄰原子相位差為 q a1 1、色散關系、色散關系把試探解代入第把試探解代入第 n 個原子的運動方程得：個原子的運動方程得： 色散關系為色散關系為2sin422qam q 關系圖關系圖2sin4qam .aa2a3aa2.qa3第一布里淵區(qū)內第一布里淵區(qū)內 q = 0 = 0 q = max = aqa a當 q 在在 0 ，由由 0 m ，m為截止頻率為截止頻率 當當q q ，則產生周期性重復。，則產生周期性

4、重復。aa m4為了使為了使 是是q q 的單值函數，將的單值函數，將q q 限制在第一布里淵區(qū)限制在第一布里淵區(qū)Nnnuu有有 以上運動方程適合于體內的原子，而沒以上運動方程適合于體內的原子，而沒有考慮邊界原子有考慮邊界原子波恩波恩卡曼周期性邊界條件卡曼周期性邊界條件：假設原子組：假設原子組成無限長的原子成無限長的原子 鏈，首尾相連。鏈，首尾相連。(Born-Karman).12Nnn+11cos,1qNaeiqNa)i q n N ati qnatAeAemNaq 2 0Na 2q 2,1,0 m波矢波矢q 的取值是分離的、均勻分布，的取值是分離的、均勻分布，相鄰相鄰q的的“距離距離”Na

5、 2（非常小，因為（非常小，因為N很大）很大）42pavm22sinqaqaqvqamqamp 242sin4 長聲學長聲學 波近似為經典彈性波，波近似為經典彈性波，具有線性色散關系具有線性色散關系 ，晶體，晶體可以看成連續(xù)介質?？梢钥闯蛇B續(xù)介質。a a mq長聲學波波速：長聲學波波速：qvp格波：晶體中所有原子以相同的頻率和振幅格波：晶體中所有原子以相同的頻率和振幅 在平衡位置附近作簡諧振動，原子的在平衡位置附近作簡諧振動，原子的 運動狀態(tài)在晶體中以波的形式轉播運動狀態(tài)在晶體中以波的形式轉播， 這種簡諧波稱為格波。這種簡諧波稱為格波。 格波數：一組格波數：一組( i，qi )對應一對應一個個

6、格波，一維單格波，一維單原子晶格有原子晶格有N個格波。個格波。 mq一維單原子晶格有一維單原子晶格有一支一支格波格波包含包含N個個格波格波q1q2（N=初初 基元胞數基元胞數=原子數）原子數）相鄰相鄰 q 點距離點距離Na 2第一布區(qū)內，第一布區(qū)內，波矢波矢 q 可取值數可取值數NNaa 22N個原子組成的一維單原子鏈個原子組成的一維單原子鏈第一布區(qū)第一布區(qū)aqa a oNa 2a l一、一維雙原子鏈晶格的振動一、一維雙原子鏈晶格的振動adm mABOXnana+d(n-1)a(n-1)a+d1 12 2(n+1)a第n號u (n-1) BunAunBu (n+1) At 時刻時刻平衡位置一維

7、復式晶格有一維復式晶格有 N 個初基元胞個初基元胞，每個初基元胞內，每個初基元胞內有一個有一個A 類原子和一個類原子和一個B 類原子，質量均為類原子，質量均為m 。1 、物理模型：原子間近似于彈簧連接，彈性物理模型：原子間近似于彈簧連接，彈性 系數系數2 1；原子做簡諧振動；原子做簡諧振動； 只考慮最近鄰作用。只考慮最近鄰作用。 2、運動方程運動方程t 時刻時刻 第第 n號號 A原子離開平衡位置的位移原子離開平衡位置的位移unA建立坐標系，建立坐標系，n=0號原子的平衡位置設為號原子的平衡位置設為 原點原點O 第第 n號號 B原子離開平衡位置的位移原子離開平衡位置的位移unB 第第n-1號號

8、B原子離開平衡位置的位移原子離開平衡位置的位移u (n-1) B 第第n+1號號 A原子離開平衡位置的位移原子離開平衡位置的位移u (n+1) Al第第 n號號A原子原子,由虎克定律由虎克定律F（ n-1)B FnBnABnnABnnBnAnBuuFuuF11)1(2n號號A原子的運動方程原子的運動方程BnnAnBnAnAuuuuudtdm)1(1222 nA nB (n-1)B( n+1)A2 1 3、試探解、試探解 同理，同理，n號號B類原子的運動方程為類原子的運動方程為F nA F（n+1)AnAnBAnnBnBuuuuudtdm2)1(122tdnaqinBtqnainAeAueAu)

9、(2)(14、色散關系及其討論、色散關系及其討論把把unA、unB代入以上兩個運動方程代入以上兩個運動方程 關于關于A1A2的兩個方程的兩個方程 A1、A2非零解，系數行列非零解，系數行列式為式為0 色散關系色散關系(q) 0)()(2122121212 meeeemiqdiqaiqdiqa 0022121212211212 AmAeeAeeAmiqdiqaiqdiqa 21212221212cos21qammA 聲學支聲學支 21212221212cos21qammo 光學支光學支 21212221212cos21qamm 4、色散關系及其討論、色散關系及其討論A Oqoaa- m212 當

10、當 q=0 A = 0 o =當當 q = a mA12 mo22 21212221212cos21qamm 利用波恩利用波恩卡曼邊界條件，波矢卡曼邊界條件，波矢q的取值的取值 m = 0 , 1 , 2 , mNaq 2 波矢的可取值數波矢的可取值數 = 初基元胞數初基元胞數 N格波支數格波支數（一個初基元胞內）（一個初基元胞內） = 2支支（一支一支o、一支、一支A）晶體格波總（個）數晶體格波總（個）數 = 2 N（1）長聲學波）長聲學波 q 0, cos qa2)(211qa 21)1(021xxx amvqvqamA21212100212121)(2)(2長聲學長聲學 波具有線性色波具

11、有線性色散關系散關系 ，與，與經典彈性波一樣。經典彈性波一樣。2122212221212)21(21 aqmmA qvA0 q 0 時，時， O與與 q 基本無關?；緹o關。21222121212221222121222)21 (21maqmaqmmo mo212 21)1(021xxx q = 0 時有時有 光學支光學支 聲學支聲學支1212AAAA 元胞內元胞內A、B原子反向運動原子反向運動元胞內元胞內A、B原子同向運動原子同向運動112, 0, 01212212121212AAAAmqeemAAOAiqdiqa聲學支光學支分別代入上式得q = 0 時有時有 長光學支長光學支長聲學支長聲學

12、支1212AAAA 元胞內元胞內A、B原子反向運動原子反向運動元胞內元胞內A、B原子同向運動原子同向運動長光學波長光學波長聲學波長聲學波lq cos qa -1a 12212,1mmAomA12 mo22 聲學支光學支存在頻率間隙存在頻率間隙21121222 mm 可作帶通濾波器可作帶通濾波器 ）討討論論其其長長波波極極限限。（；）討討論論色色散散關關系系，作作圖圖）第第一一布布區(qū)區(qū)的的范范圍圍；（求求：（如如圖圖，其其色色散散關關系系為為例例：一一維維雙雙原原子子鏈鏈結結構構321sin41121222 qamMMmMmmM aaMm原子間力常數均為原子間力常數均為aaMm初基元胞aqaia

13、bi aa22,2) 1 (第一布區(qū)范圍：空間點陣空間點陣mMmMmMMmmMmMMmMmmMaqMmmMMmmMq221411,2201100)2(221222122光學支聲學支光學支聲學支A Oqoa2 a2 線性色散關系線性色散關系qvaqmMqamMqamMMmMmmMxxxqamMMmMmmMqaqaq0222222121222222411211, 0411sin, 0)3( 基本無關。與，同理：qMmmMMmmMqamMMmMmmM 0 q2224112221、關于波矢、關于波矢q（1）一維）一維 mNaq 2 m = 0 , 1 , 2 ,.一個一個 m 值對應一個值對應一個q

14、點，波矢取分離值，均勻分布相鄰點，波矢取分離值，均勻分布相鄰 q 點點 “距離距離”為為q 空間中波矢空間中波矢q 的密度的密度 =第一布里淵內第一布里淵內 q 點的取值數點的取值數=Na2NNaa 22 2NabNmq oNa 2qa a 基矢基矢a1、a2、a3方向的初基元胞數為方向的初基元胞數為N1、N2、N3，晶體總的初基元胞數為晶體總的初基元胞數為N = N1 N2 N3，每個初基元胞內有每個初基元胞內有n個原子。個原子。ijjiba 2 333222111bNmbNmbNmq m1、m2 、m3 = 0 , 1 , 2 , 一組（一組（m1、m2、m3）確定一個波矢）確定一個波矢

15、q點，點，波矢波矢 q 分離值、均勻分布。分離值、均勻分布。a1a2a3qxqyqz一個一個 q 點占點占“體積體積”為平行六面體體積為平行六面體體積NNNNbbbNbNbNb*321321332211第一布里淵區(qū)內可取的第一布里淵區(qū)內可取的 q 點數點數 =NN *在波矢空間中在波矢空間中q點的密度為點的密度為333*222NNNV一維二維三維 q 的取值bNmq 333222111bNmbNmbNmq 222111bNmbNmq 一個一個q點占的體積點占的體積Na 2qa a qxqyqyqzLNa 22 S22 V32 q點的密度點的密度 32 V 22 S 2L2、波矢、波矢q的取值數

16、、格波支數、總格波數的取值數、格波支數、總格波數三維晶體有三維晶體有N個初基元胞，每個初基元胞個初基元胞，每個初基元胞內有內有s個原子（一個基元）個原子（一個基元）波矢取值數（格波數）波矢取值數（格波數） = 初基元胞數初基元胞數 N格波支數格波支數 = 一個初基元胞內的自由度數一個初基元胞內的自由度數 3s總格波數總格波數 = 晶體總自由度數晶體總自由度數 3sN橫波橫波( T )：振動方向與傳播方向：振動方向與傳播方向( q 的方向的方向)垂直。垂直。縱波縱波( L )：振動方向與傳播方向平行。：振動方向與傳播方向平行。支聲學波支聲學波支光學波支光學波 ) 1(33s21) 1(2) 1(

17、ssLATALOTO3s支格波支格波金剛石晶格振動沿金剛石晶格振動沿110方方向傳播的格波向傳播的格波TALALOTOq110100110111Si 晶體的色散關系晶體的色散關系oo oqqq dg格波數格波數 ( 1 )普適公式普適公式qy 3(2ninndiniddS dqqgddS dqqqdS dqVgddS dq第 支格波，間，體積元內 點數 格波數）內 點數點密度dS +d dqnqxqz等頻面等頻面支支格格波波，格格波波態(tài)態(tài)密密度度晶晶體體有有 s3 331( )(2 )siqdsVgq（理論公式） 3322dinqniqVgddSdqdddqq dqdqidSVgq 第 支格波

18、 密度態(tài)（2）布喇菲格子中格波態(tài)密度布喇菲格子中格波態(tài)密度 22LNaq 點的密度點的密度一維單原子鏈一維單原子鏈)(a dqdLg 狀態(tài)密度狀態(tài)密度 dqLdgd 22 內格波數內格波數33332222( )4232NaLqgddLqdqVq dq點的密度球殼內的格波數點的密度 球殼體積三維布喇菲晶格)(b dqdqVg222 狀態(tài)密度狀態(tài)密度 dqdLgdqLdgLNaqgqam態(tài)密度點的密度解：或模密度）求態(tài)密度，散關系為例：一維單原子鏈的色2222(2sin4 21222122212222sin122cos2,2sin2sin4 mmmmmaLddqLgdqadqqaadqqaadqa

19、qam dqdqVgdqqVqdVqdVqgqvp22223332234)2()2( 狀態(tài)密度狀態(tài)密度球殼體積球殼體積點的密度點的密度球殼內的格波數球殼內的格波數點的密度點的密度求態(tài)密度求態(tài)密度，色散關系為色散關系為例：三維布喇菲晶格，例：三維布喇菲晶格， 2322322223221,ppppvVgvVdqdqVgvddqqv所以總的態(tài)密度為：一個縱波考慮有兩個獨立橫波和l一、晶格振動量子化一、晶格振動量子化l簡諧近似簡諧近似 ：l三維晶體三維晶體sN個個原子振動能原子振動能=3sN 個量子諧個量子諧振子能量振子能量l一個量子諧振子能量為一個量子諧振子能量為 21nEn晶體振動的總能量為晶體振

20、動的總能量為isNiinE 3121 二、聲子二、聲子1、聲子及其特點：聲子及其特點：* 固體諧振子的量子，一個聲子能量固體諧振子的量子，一個聲子能量 ， 準動量為準動量為 * 準粒子，可以產生和湮滅準粒子，可以產生和湮滅* 玻色子，遵從（變形）玻色子，遵從（變形） 玻色分布，玻色分布，* 與其它粒子相互作用時遵從能量守恒和準動量守恒與其它粒子相互作用時遵從能量守恒和準動量守恒q11 kTpeF BBkTBffFFAef由由平平均均值值公公式式滿滿足足經經典典分分布布看看成成經經典典粒粒子子子子，略略近近似似認認為為是是近近獨獨立立粒粒之之間間互互作作用用很很弱弱，可可忽忽色色分分布布。由由于

21、于聲聲子子聲聲子子是是玻玻色色子子，遵遵從從玻玻、平平均均聲聲子子數數/,2 1/201/202/121ln2111212nkTBnnkTBnnkTkTneE fEfedkTedTne格波的平均能量 11 kTpeFTn 平均聲子數平均聲子數頻率為頻率為的格波在溫度為的格波在溫度為T時，具有的時，具有的1222212121212cosqamm 例：一維雙原子鏈，色散關系如下：例：一維雙原子鏈，色散關系如下：計算頻率為計算頻率為 和和 的光學波聲子數；頻率為的光學波聲子數；頻率為 聲聲學波聲子數。學波聲子數。解：由色散關系得：解：由色散關系得：maxominomaxA12max20,oqm12m

22、axmin22,AOqamm maxminmaxmin122maxmax12()221111,1111111ooooAAkTkTkTkTmmkTkTmnneeeenee分別對應的聲子數為分別對應的聲子數為： 在溫度在溫度T時，只有時，只有 的格波被激發(fā)的格波被激發(fā) 的格波被凍結的格波被凍結 kTkT2kTo.60.16nkT kT2 3kT0.053kT對應的格波 11 kTpeFTn 平均聲子數平均聲子數平均聲子數可平均聲子數可定量定量反映格波被激發(fā)的程度反映格波被激發(fā)的程度kT1、聲子與其它粒子的互作用、聲子與其它粒子的互作用 遵從準動量守恒和能量守恒遵從準動量守恒和能量守恒l準動量守恒：

23、準動量守恒：123123hhqqqGqqqGl準動量守恒準動量守恒l能量守恒能量守恒qkkkkqkkq發(fā)射聲子發(fā)射聲子 吸收聲子吸收聲子 2、光子與聲子的非彈性散射、光子與聲子的非彈性散射布里淵區(qū)散射布里淵區(qū)散射：光子與聲學波聲子的互作用光子與聲學波聲子的互作用。拉曼散射：光子與光學波聲子的互作用。拉曼散射：光子與光學波聲子的互作用。222,0hkkqKaaa時，利用中子譜儀測利用中子譜儀測色散曲線色散曲線光波光波=c0qqoA該點處，光學波與光波該點處，光學波與光波發(fā)生共振，產生強吸收。發(fā)生共振，產生強吸收。特點：兩支特點：兩支TA重合，兩支重合，兩支TO重合（簡并）重合（簡并） 長聲學波的

24、橫波和縱波波速不同長聲學波的橫波和縱波波速不同 長光學波的橫波和縱波波速相同長光學波的橫波和縱波波速相同Si的色散曲線的色散曲線特點：特點：q 0，縱光學波和橫光學波頻率不同，縱光學波和橫光學波頻率不同，LO和和TO 之差越大，離子性越強，通過（之差越大，離子性越強，通過（2LO- 2TO）估算有）估算有 效電荷量。效電荷量。GaAs的色散曲線的色散曲線Kohn異常：色散曲線扭折出，金屬中的電子之間異常：色散曲線扭折出，金屬中的電子之間 有強耦合。有強耦合。Pb的色散曲線的色散曲線l 3.4 晶體的比熱晶體的比熱l晶體的總能量晶體的總能量l晶體的熱容晶體的熱容vevlVeVIVVccTUTUT

25、Uc elUUU 一、經典理論一、經典理論經典能量均分定理，每個諧振子的平均能量經典能量均分定理，每個諧振子的平均能量為為 kBT ，能量為，能量為摩爾熱容為摩爾熱容為TksNUB3 RkNsNkTUcBBVv3330杜隆杜隆伯替定律：熱容與溫度無關伯替定律：熱容與溫度無關等效等效經典力學遇到五大災難之一經典力學遇到五大災難之一固體比熱問題固體比熱問題經典理論經典理論 ，比熱與比熱與T無關無關無法解釋低溫比熱問題！無法解釋低溫比熱問題！333bTcRcRTUcvvvvCvT3R實驗實驗經典經典l頻率頻率 的一個格波的一個格波 個頻率個頻率 的聲子的運動的聲子的運動 l 一個頻率頻率 的諧振子的

26、諧振子l1、愛因斯坦模型愛因斯坦模型：假設晶體中每個原子以相：假設晶體中每個原子以相 l 同頻率同頻率 作獨立的簡諧振動。作獨立的簡諧振動。 晶體有晶體有 3sN 個簡諧子，每個簡諧子能量個簡諧子，每個簡諧子能量l晶體總能量為晶體總能量為3131kTUsN nsNen對應對應等效于等效于熱容為熱容為定義：愛因斯坦溫度為定義：愛因斯坦溫度為BEk 2213 TkTkBVVEBBeekTksNTUC 2213 TTEBVEEEeeTksNC 113 kTesNU高溫高溫 T E TeETE 1與經典的杜隆與經典的杜隆伯替定律一致伯替定律一致BBEBEEEBVEkNsNkTsNkTTTksNC022

27、331313223 TTEBVEEEeeTsNkc ETTEEee 1l低溫低溫 T TEBVEEeTsNkc 23TVEEeTc 2TcvVEcVDcCV實驗實驗CV經典經典2213 TTEBVEEEeeTksNC 金剛石金剛石2、德拜模型德拜模型：假設晶體是各向同性的連續(xù)介：假設晶體是各向同性的連續(xù)介質，其色散關系為質，其色散關系為 ；格波頻率；格波頻率 0 ；設晶體的初基元胞數設晶體的初基元胞數 N ，元胞內原子數，元胞內原子數 s =1。 qvpD PdUFgd總晶格振動能量：總晶格振動能量：定容熱容：定容熱容：01()( )1mBvVk TUCgdTTe202()( )(1)mBBk

28、 TvBBk TeCkgdk Te教材（教材（3-68）2223202222320434233203()2(1)3()2(1)32(1)DBBDDk TVDBk TBpxxBBBxpxxBxpeVCkdk Tvek Tk TVek xxdxveVkeTxdxve令,DDDDDxkTxkTT定義=為德拜溫度k德拜德拜 T3 定律定律：低溫時晶體的比熱與：低溫時晶體的比熱與T3成正比。成正比。低溫低溫 T D43423320443233332(1)34215xBVDxpBpVkeCTxdxveVkTvbT44204(1)15xDxexxdxe 2、德拜模型德拜模型：假設晶體是各向同性的連續(xù)介：假設

29、晶體是各向同性的連續(xù)介質，其色散關系為質，其色散關系為 ；格波頻率；格波頻率 0 ；設晶體的初基元胞數設晶體的初基元胞數 N ，元胞內原子數，元胞內原子數 s =1。 qvpD PdUFgd總晶格振動能量：總晶格振動能量：定容熱容：定容熱容：01()( )1mBvVk TUCgdTTe202()( )(1)mBBk TvBBk TeCkgdk Te教材（教材（3-68）2223202222320434233203()2(1)3()2(1)32(1)DBBDDk TVDBk TBpxxBBBxpxxBxpeVCkdk Tvek Tk TVek xxdxveVkeTxdxve令,DDDDDxkTx

30、kTT定義=為德拜溫度k德拜德拜 T3 定律定律：低溫時晶體的比熱與：低溫時晶體的比熱與T3成正比。成正比。低溫低溫 T 4342332043423320432233044333323323332332(1)3123231()2322DDDxxBVDxpxBpxBpBBDVDDppBBDpVkeCTxdxveVkxTxdxvxVkTx dxvVkVkCTxTvvk TVkv NdvVNdgDDp323302320 與杜隆與杜隆伯替定律一致，與溫度無關。伯替定律一致，與溫度無關。晶體內總格波數晶體內總格波數pDvVN3126 NkkvVNvVcppVD3623232 （以下求（以下求CVD中的中的D）例：二維布喇菲晶格，應用德拜模型計算低溫時晶體熱容例：二維布喇菲晶格，應用德拜模型計算低溫時晶體熱容 與與T 2222( )()(2 )2( )211( )222ppppppSSgddqqdqSdqgqddqv qdvSSgv vvSgv考慮有兩支聲學波，所以總的態(tài)密度為：,DDDDDxkTxkTT定義=為德拜溫度k2220223203233320323332032022()(1)2()(1)2(1)2(1)(1)DBBDDk TVDBk TBpxxBBBxpxxBxpDDDBxBVDxpxxVDesCkdk Tvek Tk TSek xxdxveSkeTx