彈塑性力學第一章

1、授課教師：龍志飛授課教師：龍志飛目錄目錄 第第 一一 章章 緒論緒論 第第 二二 章章 應力分析應力分析 第第 三三 章章 應變分析應變分析 第第 四四 章章 應力應變關(guān)系應力應變關(guān)系 第第 五五 章章 線彈性力學問題的基本線彈性力學問題的基本 解法和一般性原理解法和一般性原理 第第 六六 章章 彈性力學平面問題的直角坐標系解答彈性力學平面問題的直角坐標系解答 第第 七七 章章 彈性力學平面問題的極坐標系解答彈性力學平面問題的極坐標系解答 第第 八八 章章 等截面直桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿的扭轉(zhuǎn) 第第 九九 章章 空間軸對稱問題空間軸對稱問題 第第 十十 章章 彈性力學問題的能量原理彈性力學問題的能

2、量原理 第第 十一十一 章章 塑性力學基礎知識塑性力學基礎知識 1.徐芝綸，徐芝綸， 彈性力學：上冊彈性力學：上冊.第三版第三版,高等教育高等教育出版社出版社.1990年年 2.陸明萬陸明萬.羅學富羅學富,彈性理論基礎彈性理論基礎,清華大學出版清華大學出版社社. 1990年年 3.杜慶華杜慶華.余壽文余壽文.姚振漢姚振漢,彈性理論彈性理論,科學出版社科學出版社. 1986年年 4.王龍甫王龍甫,彈性理論彈性理論.第二版第二版,科學出版社科學出版社. 1984年年 5.吳家龍吳家龍,彈性力學：高等教育出版社彈性力學：高等教育出版社.2001年年 1.1 任務：任務： 彈塑性力學是固體力學的一個分

3、支學科，彈塑性力學是固體力學的一個分支學科，它是研究可變形固體當受到外部因素（如載荷它是研究可變形固體當受到外部因素（如載荷作用、溫度變化、邊界約束移動等）作用時，作用、溫度變化、邊界約束移動等）作用時，研究變形固體的變化和內(nèi)力，為保證變形體或研究變形固體的變化和內(nèi)力，為保證變形體或結(jié)構(gòu)在使用周期內(nèi)有足夠的強度、剛度和穩(wěn)定結(jié)構(gòu)在使用周期內(nèi)有足夠的強度、剛度和穩(wěn)定性，提供設計和施工（制造）的依據(jù)。性，提供設計和施工（制造）的依據(jù)。 彈塑性力學是根據(jù)固體材料受外因彈塑性力學是根據(jù)固體材料受外因作用時所呈現(xiàn)的彈性與塑性性質(zhì)而命名。作用時所呈現(xiàn)的彈性與塑性性質(zhì)而命名。它們是固體材料變化過程的兩個階段。

4、它們是固體材料變化過程的兩個階段。當外部因素作用時，固體發(fā)生變形，如果當當外部因素作用時，固體發(fā)生變形，如果當外因去掉，變形體恢復原樣（狀），稱固體外因去掉，變形體恢復原樣（狀），稱固體（材料）處于彈性性質(zhì)，（材料）處于彈性性質(zhì)， 單值；單值； 如果當外因去掉，變形體未能恢復原狀并如果當外因去掉，變形體未能恢復原狀并存在永久變形，變形固體在外因作用時已進存在永久變形，變形固體在外因作用時已進入塑性階段，入塑性階段， 曲線不是單值函數(shù)。曲線不是單值函數(shù)。 當然變形體常遇到在物當然變形體常遇到在物體某一局部處于彈性、而另體某一局部處于彈性、而另一區(qū)域處于塑性狀態(tài)，彈塑一區(qū)域處于塑性狀態(tài)，彈塑性交織

5、在一起性交織在一起 。1.2 1.2 研究的對象：研究的對象： 材料力學材料力學和和結(jié)構(gòu)力學結(jié)構(gòu)力學是大學的主干課程，是大學的主干課程，它們也是固體力學中較基本的力學課程。在它們也是固體力學中較基本的力學課程。在許多工程設計中，工程師運用它們進行設計許多工程設計中，工程師運用它們進行設計和計算，但它們研究的對象單一：桿件型構(gòu)和計算，但它們研究的對象單一：桿件型構(gòu)件或桿系結(jié)構(gòu)，（一維問題），具有局限性。件或桿系結(jié)構(gòu)，（一維問題），具有局限性。1.2 1.2 研究的對象：研究的對象： 彈塑性力學彈塑性力學研究的對象就廣泛的多，除研究的對象就廣泛的多，除了桿件外，二維、三維實體結(jié)構(gòu)、板、殼結(jié)了桿件外

6、，二維、三維實體結(jié)構(gòu)、板、殼結(jié)構(gòu)。所以彈塑性理論基本方程要復雜的多，構(gòu)。所以彈塑性理論基本方程要復雜的多，具有一般性。具有一般性。 2.12.1基本假設基本假設假設假設1：固體材料是連續(xù)的介質(zhì)，即固體體積固體材料是連續(xù)的介質(zhì)，即固體體積內(nèi)處處充滿介質(zhì)，沒有任何間隙。內(nèi)處處充滿介質(zhì)，沒有任何間隙。 從材料的微觀看此假設不正確。因為粒子從材料的微觀看此假設不正確。因為粒子間有空隙，但從宏觀上看作為整體進行力學分間有空隙，但從宏觀上看作為整體進行力學分析時，假設析時，假設1是成立的。假設是成立的。假設1的目的：變形體的目的：變形體的各物理量為連續(xù)函數(shù)（坐標函數(shù)）。的各物理量為連續(xù)函數(shù)（坐標函數(shù)）。假

7、設假設2：物體的材料是均勻的。認為物體內(nèi)物體的材料是均勻的。認為物體內(nèi)各點的材料性質(zhì)相同（力學特性相同），所各點的材料性質(zhì)相同（力學特性相同），所以從物體內(nèi)任一部分中取出微元體進行研究，以從物體內(nèi)任一部分中取出微元體進行研究，它的力學性質(zhì)代表了整個物體的力學性質(zhì)。它的力學性質(zhì)代表了整個物體的力學性質(zhì)。假設假設3：小變形假設。物體在外因作用下，物小變形假設。物體在外因作用下，物體產(chǎn)生的變形與其本身幾何尺寸相比很小。體產(chǎn)生的變形與其本身幾何尺寸相比很小。假設假設4：應力與應變關(guān)系為線性。此假設適應力與應變關(guān)系為線性。此假設適用于線彈性理論。用于線彈性理論。2.2 2.2 基本規(guī)律基本規(guī)律 完成彈塑

8、性力學任務所要遵循的三個基完成彈塑性力學任務所要遵循的三個基本規(guī)律（或應滿足的三方面的條件）：本規(guī)律（或應滿足的三方面的條件）：1. 平衡規(guī)律平衡規(guī)律：固體受到外力與自身的內(nèi)力要固體受到外力與自身的內(nèi)力要滿足平衡方程，在彈性理論中它們?yōu)槲⒎址綕M足平衡方程，在彈性理論中它們?yōu)槲⒎址匠蹋ǔ蹋?個）。2. 幾何連續(xù)性規(guī)律幾何連續(xù)性規(guī)律：要求變形前連續(xù)的物要求變形前連續(xù)的物體，變形后仍為連續(xù)物體，由這個規(guī)律建立體，變形后仍為連續(xù)物體，由這個規(guī)律建立幾何方程（幾何方程（6個）或變形協(xié)調(diào)方程，均為微個）或變形協(xié)調(diào)方程，均為微分方程。分方程。3. 物理（本構(gòu)）關(guān)系物理（本構(gòu)）關(guān)系：應力（內(nèi)力）應力（內(nèi)力）與

9、應變（變形）之間的關(guān)系，據(jù)材料的與應變（變形）之間的關(guān)系，據(jù)材料的不同性質(zhì)不同性質(zhì) 來建立，最常見的為各向來建立，最常見的為各向同性材料。同性材料。在線彈性中本構(gòu)方程為線性代數(shù)方程在線彈性中本構(gòu)方程為線性代數(shù)方程（6個）。個）。數(shù)學方法：精確解法（解析解）、近似解法、數(shù)學方法：精確解法（解析解）、近似解法、 數(shù)值解法。數(shù)值解法。實驗方法：電測方法、光測方法等。實驗方法：電測方法、光測方法等。 由于彈性力學研究對象的普遍性，導致方由于彈性力學研究對象的普遍性，導致方程也較繁雜，推導也同樣復雜，為了使得公式程也較繁雜，推導也同樣復雜，為了使得公式表示簡捷，近幾十年彈性力學的論述及方程列表示簡捷，近

10、幾十年彈性力學的論述及方程列式采用指標符號表示。為了這一原因，這里也式采用指標符號表示。為了這一原因，這里也簡單介紹一些基本概念。這些符號或公式都是簡單介紹一些基本概念。這些符號或公式都是在笛卡爾坐標系中采用。在笛卡爾坐標系中采用。 5.1 力學中常用的物理量力學中常用的物理量1.標量標量： 只有大小、沒有方向性的物理量，與只有大小、沒有方向性的物理量，與坐標系選擇無關(guān)。坐標系選擇無關(guān)。 用字母表示，如溫度用字母表示，如溫度T、時間、時間t、密度、密度 等。標量無下標。等。標量無下標。2. 矢量矢量：有大小，又有方向性的物理量：有大小，又有方向性的物理量 矢量的符號記法。矢量的符號記法。 31

11、332211iiiererererr 如矢徑如矢徑 （或黑體）、位移（或黑體）、位移 、力、力 等，等， ruF矢量也可以用它的標量表示：矢量也可以用它的標量表示： x1 3ex3 2e1ex2r 其中其中 、 、 為坐標的基方向（單位向量），為坐標的基方向（單位向量），r1、r2、r3為為r在坐標軸的投影（分量），都有在坐標軸的投影（分量），都有一個下標。一個下標。1e2e3ex1 3ex3 2e1ex2r31332211iiieueueueuu3. 張量張量：有大小，并具有多重方向性的量：有大小，并具有多重方向性的量3131333321121111.ijjiijeeeeeeee每個分量用一

12、個標量（具有兩個下標）與兩個每個分量用一個標量（具有兩個下標）與兩個并在一起基矢量（并矢），稱為二階張量。矢并在一起基矢量（并矢），稱為二階張量。矢量可稱為一階張量，標量為零階張量。量可稱為一階張量，標量為零階張量。 如應力如應力 、應變、應變 ，張，張量的符號記法。量的符號記法。5.2求和約定求和約定 在張量表示說明中，看到張量分量表示是在張量表示說明中，看到張量分量表示是一組符號之和，很長，特別是高階張量，為了一組符號之和，很長，特別是高階張量，為了書寫簡捷，采用求和約定。書寫簡捷，采用求和約定。求和約定求和約定：當在同一項中，有一個下標字母出當在同一項中，有一個下標字母出現(xiàn)兩次時，則表示

13、該項在該指標的取值范圍內(nèi)現(xiàn)兩次時，則表示該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和，且稱此種在同一項重復出現(xiàn)一次的遍歷求和，且稱此種在同一項重復出現(xiàn)一次的下標為啞標。下標為啞標。 啞標如：啞標如：31 12 23 31i ii iirrer ererere31 12 23 31i ii iiuu eu eu eu eu ejiijijjiijeeeeeeeeee3131333321121111.由于啞標由于啞標i僅表示要遍歷求和，因此啞標可以僅表示要遍歷求和，因此啞標可以成對的任意換標。成對的任意換標。 jjr ejju e5.3自由指標自由指標 一個表達式中如果出現(xiàn)非重復的標號或一一個表達式中如果出現(xiàn)

14、非重復的標號或一個方程每項中出現(xiàn)非重復的而且為相同字母的個方程每項中出現(xiàn)非重復的而且為相同字母的指標，稱為自由指標。指標，稱為自由指標。 矢徑矢徑 r 的表示：的表示： 矢徑的三個分量為矢徑的三個分量為ri (i=1,2,3)，用，用ri表示矢徑；表示矢徑； 同樣位移矢量同樣位移矢量u，用用ui表示位移，表示位移， ij 表示表示應力應力 張量。張量。jijiyax 111112213322112222333311322333xa ya ya yxa ya ya yxa ya ya yi 為自由指標，取i=1,2,3 表示三個方程。 j為啞指標，表示求和。 5.4 克羅內(nèi)克符號克羅內(nèi)克符號 i

15、j （Kronecker delta） 定義：定義： ij（i,j為自由指標）共有九個分量，為自由指標）共有九個分量， i,j 各取各取13。 時當時當jijiij01)3 , 2 , 1,ji（由由 ij 定義定義9個個元素組成矩元素組成矩陣為單位陣：陣為單位陣： I100010001333231232221131211 ij符號的應用符號的應用 笛卡爾坐標系的笛卡爾坐標系的基向量的點積基向量的點積 時時jijieeji01ijjiee由由 ij 定義及啞標、自由標定義，可得：定義及啞標、自由標定義，可得：112233ii1 12233ijjiiiaaaa1 1223310ikkjijiji

16、jijijij 3( )( )iiiiaa 如果如果 ij 符號的兩個指標中有一個指標和同符號的兩個指標中有一個指標和同項中其它因子的指標相重，則可以把該因子的項中其它因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標替換成那個重指標替換成 ij 的另一個指標，而的另一個指標，而 ij 自自動消失。動消失。 ij 也稱為也稱為 換標符號換標符號。兩個任意向量點積兩個任意向量點積 () ()i ijja baeb eijijiiabab5.5 排列符號排列符號（levicivtita）eijk定義：定義： 中任意兩指標相同時若逆排列順序）時，）或（，或（若正排列順序時或或若kjikjikjieijk,0

17、123231)3 , 1 , 2(),(1)2 , 1 , 3() 1 , 3 , 2()3 , 2 , 1 (),(1 eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有共有27個元素。個元素。 排列符號的作用可以簡化公式書寫，如：排列符號的作用可以簡化公式書寫，如： 1 三階行列式：三階行列式： kjiijkkjiijkAAAeAAAeAAAAAAAAAA321321333231232221131211（共六項，三項為正，三項為負）。（共六項，三項為正，三項為負）。 2. 基向量的叉積：右手系基向量的叉積：右手系 3123321eeeee3213312eeeee 任意基向量的叉積可寫為任意基向

18、量的叉積可寫為 kkijkijkjieeeeee3向量叉積的展開式：向量叉積的展開式： iieaajjebb 而而 kkecbackkijjikijkjijjiieebaeebaebeabakkijjikijkjijjiieebaeebaebeaba 得 jikijjiijkkbaebaeckjiijkebaebbbaaaeeebac3213213215.6 梯度（梯度（grad）、散度（）、散度（div）、）、 旋度旋度rot或或curl）：）：1標量場的梯度：標量場的梯度： 標量場標量場 ( xi,) 的梯度為：的梯度為： 標量場：標量場： = ( x1,x2,x3 )= ( xi,) 標

19、量場標量場 ( xi,) 的梯度為：的梯度為： ,iiiigradeex 其中 iixeiix,123123eeeijkxxxxyz 標量場的梯度為一矢量場，類推矢量場的標量場的梯度為一矢量場，類推矢量場的梯度為二階張量。梯度為二階張量。23 ,22,21 , 標量場梯度的方向與等值面標量場梯度的方向與等值面 ( xi,)=C垂直，垂直，大小為大小為 ( xi,)在其法線方向上的方向?qū)?shù)在其法線方向上的方向?qū)?shù)2矢量場的散度：矢量場的散度： 矢量矢量 定義向量場的散度為定義向量場的散度為 iieVViixVijxVjjxiVeVeVVdiviiiji,或或 332211xVxVxVV類推對張量

20、場也可得它的散度。類推對張量場也可得它的散度。 3矢量場的旋度：矢量場的旋度：jijjijk kiiVrotVcurlVVeV ee exx123123,123ijkj ikxxxeeee V eVVViieVV矢量矢量 ，定義向量場的旋度為，定義向量場的旋度為4拉普拉斯算子（拉普拉斯算子（laplace opertor）：2()()div grad 標量場中的拉普拉斯算子定義為標量場中的拉普拉斯算子定義為標量場標量場 ( xi,)的梯度的散度，的梯度的散度，是一個標量，是一個標量，2()()div grad 標量場標量場 ( xi,)的梯度的散度，是一個標量的梯度的散度，是一個標量2()()

21、ijijijijiieexxx xxx 222,222123iixxx 矢量場的拉普拉斯算子定義為矢量場的矢量場的拉普拉斯算子定義為矢量場的梯度的散度：是一個向量梯度的散度：是一個向量 ()()ijkkijVeeV exx ()()ijkkijVeeV exx ()()kkijkijkijijVVee eexxxx ()()kkijkijkijijVVee eexxxx ,()()kikii jjijjjjVVeeVexxxx5.7高斯（高斯（Gauss）公式（散度定理）：）公式（散度定理）： 矢量場矢量場 定義在三維域定義在三維域V內(nèi)，內(nèi)，S為為V的表的表面。在表面上任一微元面面。在表面上任一微元面dS，單位外法線，單位外法線 為為（ ）。若）。若 在在VS上有連續(xù)偏導數(shù)，則：上有連續(xù)偏導數(shù)，則：iieuunjjennuSVdSundVu矢量場散度的體積積分等于矢量場在表面法矢量場散度的體積積分等于矢量場在表面法線上投影的積分。線上投影的積分。SSiiViiVdSundSnudV