點擊以正方形為載體的數(shù)學(xué)題(東莞市常平振興中學(xué) 馬杏開)

1、點擊以正方形為載體的數(shù)學(xué)題東莞市常平振興中學(xué) 馬杏開【摘要】 本文從分析近年中考數(shù)學(xué)題著手，圍繞著新課程理念，從方案設(shè)計、開放、概率、探究、規(guī)律、函數(shù)、方程、綜合等題型探索和闡述以正方形為載體這一類熱門題目的特點和作用，培養(yǎng)考生的分析問題、解決問題的能力，培育考生的探究習(xí)慣和創(chuàng)新精神.【關(guān)鍵詞】 正方形；新課標(biāo)；中考 正方形是初中幾何最常見最重要最基本的知識之一，它集平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)于一身，由于正方形貼近考生的學(xué)習(xí)環(huán)境和知識水平，有利于激發(fā)考生的情感和思考，能較好培養(yǎng)考生的分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)考生的探究習(xí)慣和創(chuàng)新精神，符合新課標(biāo)“實現(xiàn)人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)

2、學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展” 的理念，因此以正方形作為數(shù)學(xué)背景的試題因立意新穎、題型豐富、綜合性強(qiáng)而倍受青睞，成為近年來各省市中考試題的熱門題型.1 方案設(shè)計型新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：“當(dāng)數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活密切結(jié)合時，數(shù)學(xué)才是活的，富有生命力，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題的興趣.方案設(shè)計題重點考查學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和解決問題的能力，由于其展現(xiàn)問題所產(chǎn)生的材料背景與學(xué)生日常生活緊密關(guān)聯(lián)，更易觸及學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，促使學(xué)生主動、積極分析題意，愉悅解題.例1、圖案設(shè)計：正方形綠化場地擬種植兩種不同顏色的花卉，要求種植的花卉能組成軸對稱或中心對稱圖案下面是三種不同設(shè)計方案中的一部分，請

3、把圖、圖補(bǔ)成既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并畫出一條對稱軸；把圖補(bǔ)成只是中心對稱圖形，并把中心標(biāo)上字母P（在你所設(shè)計的圖案中用陰影部分和非陰影部分表示兩種不同顏色的花卉）分析：設(shè)計圖案給人以和諧、平穩(wěn)、對稱的感覺，同時給人以美感，在設(shè)計圖案過程中通過想象、觀察、操作、實踐等活動，不僅培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、分析、判斷和綜合能力，在動腦動手的愉悅活動中提高學(xué)生審美能力、審美情趣，陶冶情操.我們根據(jù)軸對稱及中心對稱的定義補(bǔ)全圖形即可解：所畫圖形如下所示：2 開放型開放型試題注重從立意、情景、設(shè)問三方面，選擇適當(dāng)?shù)膽?yīng)考知識內(nèi)容，設(shè)置恰當(dāng)?shù)那榫埃淖儐栴}的呈現(xiàn)方式，從單純的數(shù)學(xué)能力

4、拓展為考查創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)潛能，進(jìn)一步體現(xiàn)“從生活走向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)走向生活” 的理念.例2、如圖是由6個相同的正方形拼成的圖形，（1）請你將其中一個正方形移動到合適的位置，使它與另5個正方形能拼成一個正方體的表面展開圖（請在圖中將要移動的那個正方形涂黑，并畫出移動后的正方形，至少畫4種）（2）請你將其中兩個正方形移動到合適的位置，使它與另4個正方形能拼成一個正方體的表面展開圖（請在圖中將要移動的那兩個正方形涂黑，并畫出移動后的正方形，至少畫2種）分析：本題設(shè)計圖案以正方體的展開圖為載體的一道綜合探索題，畫法較多，可以很好地開闊學(xué)生的思維空間，放飛思維的翅膀，設(shè)計出符合

5、題意的圖案.本題重點考查了正方體的展開圖，辨析正方體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵（1）根據(jù)題意，只移動一個正方體，所以，可采用“四方連”圖形，畫出即可；（2）根據(jù)題意，需要移動兩個正方體，所以，同樣也可采用“四方連”圖形，畫出即可解：（1）如圖，（2）如圖，3 概率型新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：“所選擇的素材應(yīng)盡量來源于自然、社會與科學(xué)中現(xiàn)象和實際問題”.因此，概率型試題通過以正方形為載體，注重數(shù)學(xué)的現(xiàn)實背景與相關(guān)知識之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實性和應(yīng)用性，強(qiáng)化了學(xué)生綜合運用知識的能力.例3、如圖是4×3正方形網(wǎng)格，圖中已涂黑六個單位正方形（1）

6、請在圖1中選取兩個白色的單位正方形并涂黑，使它成為一個中心對稱圖形（2）如圖2，小明用這個正方形網(wǎng)格作概率試驗，他分別在A、B兩區(qū)的三個白色單位正方形中各任取一個涂黑，請你用列表或畫樹狀圖的方法計算，小明涂后的正方形網(wǎng)格恰好是一個中心對稱圖形的概率是多少？分析與解：（1）此題主要考查了中心對稱圖形的畫法以及樹狀圖求概率，根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)180°能夠與原圖形完全重合，畫出即可；（2）根據(jù)已知，畫出樹狀圖，注意不要漏解.B區(qū)A區(qū)B1B2B3A1（A1B1）（A1B2）（A1B3）A2（A2B1）（A2B2）（A2B3）A3（A3B1）（A3B2）（A3B3）或一共有9種結(jié)果，

7、每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的而其中能恰好拼成中心對稱圖形的結(jié)果有三種，分別是（A1B3）、（A2B2）、（A3B1），小明涂后的正方形網(wǎng)格恰好是一個中心對稱圖形的概率是，即4 探究型新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式是自主探索、合作交流.這就要求教師注重學(xué)生的實踐、探究與體驗，讓學(xué)生通過觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，發(fā)現(xiàn)知識，領(lǐng)悟知識，培養(yǎng)能力，讓學(xué)生主動參與操作、探究、分析并解決問題，從中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，獲取數(shù)學(xué)研究、解決實際問題的過程體驗和情感體驗，從而增進(jìn)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成良好的探究意識和創(chuàng)新精神.4.1 類比探究型例4、正方形ABCD和正方形CEFG，M為AF的中點

8、，連接MD、ME（1）如圖，B、C、G依次在同一條直線上，求證：MDE等腰直角三角形；（2）如圖，正方形CEFG繞頂點C旋轉(zhuǎn)45°，使B、C、F依次在同一條直線上，則MDE的形狀是 等腰直角三角形；圖圖解答（1）圖解答（3）圖（3）如圖，將正方形CEFG任意旋轉(zhuǎn)，設(shè)DCE=°，猜想MDE的形狀，寫出你的結(jié)論并給予證明分析：本題是變式拓展題，關(guān)鍵是掌握（1）的證明方法延長DM交EF于H點，可以構(gòu)造MADMFH；DEH為等腰直角三角形，EM為中線，從而可證：MDE等腰直角三角形；（2）（3）圖形發(fā)生了變化，證明方法和思路類似解：（1）延長DM交EF于H點正方形ABCD和正方形C

9、EFG，M為AF的中點，DAM=HFM，AM=MF，AMD=FMHMADMFHDM=MH，AD=FHED=EH，DEH為等腰直角三角形，MDE為等腰直角三角形；（2）MDE為等腰直角三角形（3）如圖，延長DM到H使DM=MH，連接EH，延長FH于DC的延長線交于點N易證ADMFHM，AD=FH=CDDCE+NCG=90°，EFH+NFG=90°，DCE=EFHDCEFHEDE=EH，DEC=FEH，DEH=90°DM=EM，MDE為等腰直角三角形4.2 規(guī)律探究型例5、【2012貴州黔東南】如圖，第（1）個圖有2個相同的小正方形，第（1）個圖有2個相同的小正方形，

10、第（2）個圖有6個相同的小正方形，第（3）個圖有12個相同的小正方形，第（4）個圖有20個相同的小正方形，按此規(guī)律，那么第（n）個圖有 個相同的小正方形分析與解：這是圖形的變化類的規(guī)律題，需要抓住題目中的圖形排列特點和數(shù)量變化特點，從特殊例子推理得出一般結(jié)論，然后利用推理得出的結(jié)論解決問題這里主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察和推理、歸納的能力通常通過列豎式來尋找規(guī)律：第（1）個圖有2個相同的小正方形，2=1×2， 第（2）個圖有6個相同的小正方形，6=2×3，第（3）個圖有12個相同的小正方形，12=3×4，第（4）個圖有20個相同的小正方形，20=4×5，按此規(guī)律，

11、第（n）個圖有n（n+1）個相同的小正方形.4.3 幾何探究型例6、【2012鹽城】如圖所示，已知A、B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點D作DD1l于點D1，過點E作EE1l于點E1（1）如圖，當(dāng)點E恰好在直線l上時（此時E1與E重合），試說明DD1=AB；（2）在圖中，當(dāng)D、E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖，當(dāng)點E在直線l的下方時，請直接寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）分析：（1）由四邊形CADF、CBEG是

12、正方形，可得AD=CA，DAC=ABC=90°，又由同角的余角相等，求得A DD1=CAB，然后利用AAS證得ADD1CAB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得DD1=AB；（2）首先過點C作CHAB于H，由DD1AB，可得DD1A=CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得A DD1=CAH，然后利用AAS證得A DD1CAH，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，則可得AB= DD1+ EE1（3）證明方法同（2），易得AB= DD1- EE14.4 閱讀探究型例7、如圖，ABCD和EFGH的邊長分別為

13、2 和 ，對角線BD、FH都在直線l上O1、O2分別是的中心，線段O1O2的長叫做兩個的中心距當(dāng)中心O2在直線l上平移時，EFGH也隨之平移，在平移時EFGH的形狀、大小沒有改變（1）當(dāng)中心O2在直線l上平移到兩個只有一個公共點時，中心距O1O2等于多少？（2）隨著中心O2在直線l上的平移，兩個的公共點的個數(shù)還有哪些變化？并求出相對應(yīng)的中心距的值或取值范圍（不必寫計算過程）分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出正方形的對角線分別為BD=4，F(xiàn)H=2，所以可求得兩個正方形只有一個公共點時，中心距O1O2=O1D+O2F=2+1=3；（2）根據(jù)它們隨著中心O2在直線l上平移，兩個正方形的公共點的個數(shù)的

14、變化情況和相應(yīng)的中心距之間的關(guān)系可依次求解解：（1）O1D=2×÷2=2；O2F=×÷2=1當(dāng)O2在正方形ABCD的外部時，O1O2=2+1=3（2）公共點的個數(shù)還可以有兩個，無數(shù)個，0個；當(dāng)公共點的個數(shù)為兩個時，1O1O23；當(dāng)公共點的個數(shù)為無數(shù)個時，O1O2=1；當(dāng)公共點的個數(shù)為0個時，O1O23或0O1O215 猜想歸納型心理學(xué)研究表明：人都有填補(bǔ)認(rèn)識空隙，解決認(rèn)知失衡的本能.故教師在教學(xué)過程中，要注意設(shè)計恰當(dāng)?shù)摹①N近生活的趣味內(nèi)容，在新舊知識結(jié)合點上產(chǎn)生的問題激起認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生主動探究新知識，通過動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口交流討論等參

15、與課堂實踐活動中，從而體驗新舊知識的聯(lián)系，獲取知識，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造.例8、猜想歸納：為了建設(shè)經(jīng)濟(jì)型節(jié)約型社會，“先鋒”材料廠把一批三角形廢料重新利用，因此工人師傅需要把它們截成不同大小的正方形鐵片（1）如圖，若截取ABC的內(nèi)接正方形DEFG，請你求出此正方形的邊長；（2）如圖，若在ABC內(nèi)并排截取兩個相同的正方形（它們組成的矩形內(nèi)接于ABC），請你求此正方形的邊長；（3）如圖，若在ABC內(nèi)并排截取三個相同的正方形（它們組成的矩形內(nèi)接于ABC），請你求此正方形的邊長； （4）猜想：如圖，假設(shè)在ABC內(nèi)并排截取n個相同的正方形，使它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，則此正方形的邊長是多少？（已知

16、：AC=40，BC=30，C=90°）分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，作CNAB，再根據(jù)GFAB，可知CGFCAB，由平行得到兩對同位角相等，進(jìn)而得到兩三角形相似，設(shè)出正方形的邊長為x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，進(jìn)而列出關(guān)于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的邊長；（2）作CNAB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，CGFCAB，根據(jù)對應(yīng)邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長；（3）作CNAB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，CGFCAB，根據(jù)對應(yīng)邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長； 解：（1）在圖1中作ABC的高CN交GF于M，在RtABC中，AC

17、=40，BC=30，AB=50，CN=24由GFAB，得CGFCAB，= 設(shè)正方形的邊長為x，則= ，解得x= 即正方形的邊長為（2）方法同（1），如圖2CGFCAB，則= 設(shè)小正方形的邊長為x，則= ，解得x=即小正方形的邊長為（3）在圖3中，作CNAB，交GF于點M，交AB于點N，GFAB，CGFCAB，= ，設(shè)每個正方形的邊長為x，則= ，x=；（4）設(shè)每個正方形的邊長為x，同理得到：則= ，則x=每個小正方形的邊長為點評：此題綜合考查了正方形、矩形、相似三角形的性質(zhì)及勾股定理要求學(xué)生掌握相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比，注意此題雖有四問，但是方法雷同，只是比例式中GF代入的式子不同，應(yīng)

18、根據(jù)圖形正方形的個數(shù)來確定6 函數(shù)型融代數(shù)、幾何為一體的函數(shù)型問題，注重對數(shù)學(xué)思想方法、探索思維能力和創(chuàng)新思維能力的理解與滲透，主要考查求函數(shù)表達(dá)式、圖形的特征及對動點問題的考查，注重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分析轉(zhuǎn)化能力、綜合探究能力，對考生探究問題能力和綜合解決問題能力要求較高.例9、如圖，四邊形OABC是面積為4的正方形，函數(shù)y= （x0）的圖象經(jīng)過點B（1）求k的值；（2）以原點O為位似中心，將正方形OABC放大，使變換后的正方形OMQN與正方形OABC對應(yīng)的比為2：1，且正方形OMQN在第一象限內(nèi)與函數(shù)y= （x0）的圖象交于點F、F，求經(jīng)過三點F、B、E的拋物線的解析式分析：（1）由

19、于四邊形OABC是面積為4的正方形，易求其邊長，從而易知點B的坐標(biāo)，而點B在反比例函數(shù)上，代入可求k；（2）根據(jù)兩個正方形的位似比是2：1，易求正方形OMQN的邊長，進(jìn)而可知點E的橫坐標(biāo)、F的縱坐標(biāo)都是4，而點E、F在反比例函數(shù)圖象上，代入可分別求出點E、F的坐標(biāo)，先設(shè)所求拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，再把點EFB的坐標(biāo)代入，可得關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解可求a、b、c的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式解：（1）四邊形OABC是面積為4的正方形，OA=AB=2，點B的坐標(biāo)是（2，2），又點B在y= 上，k=4；（2）OM：OA=2：1，OA=2，四邊形OMQN是正方形，OM=QM=4

20、，點E的橫坐標(biāo)是4，點F的縱坐標(biāo)是4，點E、F在反比例函數(shù)上，點E坐標(biāo)是（4，1），點F的坐標(biāo)是（1，4），設(shè)所求拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，把（2，2）、（1，4）、（4，1）代入拋物線解析式，可得：，解得：，所求拋物線的解析式是y=x2-x+77 方程型例10、如圖，幾塊大小不等的正方形紙片A、B、，I，無重疊地鋪滿了一塊長方形已知正方形紙片E的邊長為7，求其余正方形的邊長分析：可從中間最小的正方形的邊長入手思考，表示出其余正方形的邊長，根據(jù)A的邊長相等列式求解即可解：設(shè)中間H的正方形的邊長為x，則F的邊長為7+x，B的邊長為14+x，I的邊長為7+2x，G的邊長為7+3x，D的

21、邊長為4x，C的邊長為7+3x+4x=7x+7，A的邊長=B的邊長+7-D的邊長=21-3x，或者A的邊長=C的邊長+D的邊長=7+11x，21-3x=7+11x，解得x=1，7+x=8；14+x=15；7+2x=9；7+3x=10；4x=4；7x+7=14；21-3x=18；答：其余正方形的邊長為18；15；14；10；9；8；4；18綜合型新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式是自主探索、合作交流.這就要求教師注重學(xué)生的實踐、探究與體驗，讓學(xué)生通過觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，發(fā)現(xiàn)知識，領(lǐng)悟知識，培養(yǎng)能力，讓學(xué)生主動參與操作、探究、分析并解決問題，從中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，獲取數(shù)學(xué)研究

22、、解決實際問題的過程體驗和情感體驗，從而增進(jìn)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成良好的探究意識和創(chuàng)新精神.例11、【2012常德】已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連接DP，作CNDP于點M，且交直線AB于點N，連接OP，ON（當(dāng)P在線段BC上時，如圖1：當(dāng)P在BC的延長線上時，如圖2）（1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：BN=CP；OP=ON，且OPON；（2）設(shè)AB=4，BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系 分析：本題是代數(shù)幾何綜合題.（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC=BC，DCB=CBN=90°，求出