七級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)提高講義：相交線與平行線(一)

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)：相交線與平行線一、知識(shí)要點(diǎn)：1.平面上兩條不重合的直線，位置關(guān)系只有兩種：相交和平行。2.兩條不同的直線，若它們只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)。3.垂直是相交的特殊情況。有關(guān)兩直線垂直，有兩個(gè)重要的結(jié)論：（ 1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（ 2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。4兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個(gè)角，在那些沒有公共頂點(diǎn)的角中，如果兩個(gè)角分別在兩條直線的同一方，并且都在第三條直線的同側(cè)，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做_ ；如果兩個(gè)角都在兩直線之間，并且分別在第三條直線的兩側(cè)，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做_ ；如果兩個(gè)角都

2、在兩直線之間，但它們?cè)诘谌龡l直線的同一旁，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做_.5平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線_.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么_.6平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成： _. 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成： _. 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成： _.7在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線_ .8平行線的性質(zhì)：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成：.兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)

3、錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成： _.兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成： _。 .方法指導(dǎo)： 平行線中要理解平行公理，能熟練地找出“三線八角”圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并會(huì)運(yùn)用與“三線八角”有關(guān)的平行線的判定定理和性質(zhì)定理，利用平行公理及其推論證明或求解。二、例題精講例 1如圖 (1)，直線 a 與 b 平行， 1 (3x+70) ° , 2=(5x+22) ° ,求 3 的度數(shù)。解： a b，l 3 4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）3a 1+ 3 2+ 4 180° ( 平角的定義 )4 1 2 (等式性質(zhì) )b2則3x+70 5x+22解得 x=2

4、4即 1 142°1 / 9 3 180° - 1 38°圖 (1)評(píng)注：建立角度之間的關(guān)系，即建立方程（組），是幾何計(jì)算常用的方法。例 2已知：如圖 (2)， AB EF CD ， EG 平分 BEF ， =192°， B- D=24 °，求 GEF 的度數(shù)。解： AB EF CD B= BEF ， DEF= D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） B+ BED+ D =192 °（已知）即 B+ BEF+ DEF+ D=192 ° 2（ B+ D ） =192°（等量代換）則 B+ D=96 °（等式性質(zhì)） B

5、- D=24 °（已知） B=60 °（等式性質(zhì)）即 BEF=60 °（等量代換） EG 平分 BEF （已知） GEF= 1 BEF=30 °（角平分線定義）B+BED+DABGEFCD圖 (2)2例 3 如圖（ 3），已知 AB CD ，且 B=40 °， D=70 °，求 DEB 的度數(shù)。解：過 E 作 EF AB AB CD （已知）CD EF CD （平行公理） BEF= B=40 ° DEF= D=70 °（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）AB DEB= DEF - BEF DEB = D- B=30°

6、;EF評(píng)注：證明或解有關(guān)直線平行的問題時(shí)，如果不構(gòu)成“三線八角”，則應(yīng)添出輔助線。圖（ 3）例 4 已知銳角三角形ABC 的三邊長為a， b， c，而ha， hb， hc 分別為對(duì)應(yīng)邊上的高線長，求證： ha+h b+hc a+b+c分析：對(duì)應(yīng)邊上的高看作垂線段，而鄰邊看作斜線段證明：由垂線段最短知， ha c ， hb a，hc b 以上三式相加得 ha+hb +hc a+b+c研究垂直關(guān)系應(yīng)掌握好垂線的性質(zhì)。1 以過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線。2 垂線段最短。例 5 如圖（ 4），直線 AB 與 CD 相交于 O， EF AB 于求證 EF 與 GH 必相交。分析：欲證 EF 與

7、GH 相交，直接證很困難，可考慮用反證法。2 / 9bchaaF，GHCD 于 H，EGADFHOCB證明：假設(shè)EF 與 GH 不相交。 EF 、GH 是兩條不同的直線 EFGH EF AB GH AB又因 GHCD 故 AB CD ( 垂直于同一直線的兩直線平行 )圖（ 4）這與已知AB 和 CD 相交矛盾。所以 EF 與 GH 不平行，即EF 與 GH 必相交評(píng)注：本題應(yīng)用結(jié)論：(1) 垂直于同一條直線的兩直線平行。(2) 兩條平行線中的一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也平行于第三條直線；例 6 平面上 n 條直線兩兩相交且無3 條或 3 條以上直線共點(diǎn)，有多少個(gè)不同交點(diǎn)？解： 2

8、 條直線產(chǎn)生1 個(gè)交點(diǎn)，第 3 條直線與前面2 條均相交，增加2 個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上3 條直線共有1+2=3 個(gè)交點(diǎn)；第 4 條直線與前面3 條均相交，增加3 個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上4 條直線共有1+2+3=6 個(gè)交點(diǎn)；則 n 條直線共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 1+2+3+ + (n-1)= 1 n(n-1)2評(píng)注：此題是平面上n 條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情形，需要仔細(xì)觀察，由簡(jiǎn)及繁，深入思考，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例 7 6 個(gè)不同的點(diǎn)，其中只有3 點(diǎn)在同一條直線上，2 點(diǎn)確定一條直線，問能確定多少條直線？解： 6 條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15 條直線，除去共線的3 點(diǎn)中重合多算的2 條直線，即能確定

9、的直線為15-2=13 條。另法： 3 點(diǎn)所在的直線外的3 點(diǎn)間最多能確定3 條直線，這3 點(diǎn)與直線上的3 點(diǎn)最多有3×3=9 條直線，加上3 點(diǎn)所在的直線共有：3+9+1=13 條評(píng)注：一般地，平面上n 個(gè)點(diǎn)最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)= 1 n(n-1)2例 8 10 條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？解： 2 條直線最多將平面分成2+2=4 個(gè)不同區(qū)域；3 條直線中的第3 條直線與另兩條直線相交，最多有兩個(gè)交點(diǎn)，此直線被這兩點(diǎn)分成3段，每一段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3 個(gè)，即最多分成2+2+3=7 個(gè)不同區(qū)域；同理： 4 條直線最多分成

10、2+2+3+4=11 個(gè)不同區(qū)域；3 / 9 10 條直線最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 個(gè)不同區(qū)域推廣： n 條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+n=1+ 1 n(n+1)= 1 (n2+n+2) 塊不同22的區(qū)域思考：平面內(nèi)n 個(gè)圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？180 0例 9 平面上 n 條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個(gè)角不大于n證明：平面上 n 條直線兩兩相交最多得對(duì)頂角n( n1) × 2 n(n-1)對(duì)，即 2n(n-1) 個(gè)角2平面上任取一點(diǎn)O ，將這 n 條直線均平行移動(dòng)過點(diǎn)l 3O，成為交于一點(diǎn) O 的 n

11、條直線，l2這 n 條直線將以O(shè) 為頂點(diǎn)的圓周角分為2n個(gè)（共 n對(duì)）互不重疊的角：1 、2、3、 、 2nO由平行線的性質(zhì)知，這2n 個(gè)角中每一個(gè)都和原來n 條l n直線中的某兩條直線的交角中的一個(gè)角相等，即這2n 個(gè)角均是原 2n(n-1) 個(gè)角中的角。若這 2n 個(gè)角均大于 180 0，則1+2+3+2n 2n×180 0=360° ,nn而1+ 2+ 3+ + 2n =360° , 產(chǎn)生矛盾故、 、180032n中至少有一個(gè)小于，12即原來的 2n(n-1) 中至少有一個(gè)角不小于n1800n評(píng)注：通過平移，可以把原來分散的直線集中交于同一點(diǎn)，從而解決問題。

12、例 10 （ a）請(qǐng)你在平面上畫出 6 條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另 3 條直線相交，并簡(jiǎn)單說明畫法。（b）能否在平面上畫出7 條直線（任意3 條都不共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另 3 條直線相交，如果能請(qǐng)畫出一例，如果不能請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。解：（ a）在平面上任取一點(diǎn)A 。過 A 作兩直線 m1 與 n1。在 n1 上取兩點(diǎn) B， C，在 m1 上取兩點(diǎn) D， G。過 B 作 m2 m1，過 C 作 m3 m1，過 D 作 n2 n1，過 G 作 n3 n1，這時(shí) m2、 m3、 n2、 n3 交得 E、 F、 H、 I 四點(diǎn)，如圖所示。由于彼此平行的直線不相交，所以

13、，圖中每條直線都恰與另3 條直線相交。（b）在平面上不能畫出沒有3 線共點(diǎn)的7 條直線，使得其中每條直線都恰與另外3 條直線相交。理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7 條直線，其中每一條都恰與其它ADGm1BEHm2CFIm3n1n2n33 條相交，因兩直線相交只有4 / 9一個(gè)交點(diǎn)，又沒有3 條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3 條直線交得的3 個(gè)不同的交點(diǎn)。根據(jù)直線去計(jì)數(shù)這些交點(diǎn)，共有3× 7 21 個(gè)交點(diǎn)，但每個(gè)交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計(jì)數(shù)一次，所以這7 條直線交點(diǎn)總數(shù)為21 10.5 個(gè)，因?yàn)榻稽c(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)為整數(shù)，矛盾。2所以，滿足題設(shè)條件的7 條直線是畫不出來的。三、鞏固練習(xí)1平面上

14、有 5 個(gè)點(diǎn)，其中 僅有 3 點(diǎn)在同一直線上，過每2 點(diǎn)作一條直線，一共可以作直線（）條A6 B 7C 8D 92平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A 3B1或 3C1或 2或 3D不一定是 1， 2， 33平面上 6 條直線兩兩相交，其中僅有3 條直線過一點(diǎn)，則截得不重疊線段共有（）A36 條B33 條C24 條D21條4 已知平面中有n 個(gè)點(diǎn) A, B, C 三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，A, D , F , E 四個(gè)點(diǎn)也在一條直線上，除些之外，再?zèng)]有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這n個(gè)點(diǎn)作一條直線，那么一共可以畫出38 條不同的直線，這時(shí)n等于（）（ A）9（ B）10（ C）11（ D）125若平行直

15、線AB 、 CD 與相交直線EF 、 GH 相交成如圖示的圖形，則共得同旁內(nèi)角（）A4 對(duì)B8 對(duì)C12對(duì)D16 對(duì)6如圖，已知 FD BE，則 1+ 2- 3=()A 90° B135° C 150°D 180°EGAA1E3AB1CFGCDBCD22FFDH第 5 題B第 6 題E第 7 題7如圖，已知 AB CD， 1= 2，則 E 與 F 的大小關(guān)系；8平面上有 5 個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)都連一條直線，問除了原有的5 點(diǎn)之外這些直線最多還有交點(diǎn)G9平面上 3 條直線最多可分平面為個(gè)部分。APB10如圖，已知 ABCDEF，PS GH 于 P，F(xiàn)RG=110

16、 °，則 PSQ。CQDSElF11已知 A 、 B 是直線 L 外的兩點(diǎn)，則線段AB 的垂直平分R第10題H線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是。12平面內(nèi)有4 條直線，無論其關(guān)系如何，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不會(huì)超過個(gè)。13已知：如圖，DECB ，求證： AED= A+ B5 / 914已知：如圖，AB CD ，求證： B+ D+ F=E+ GABAEFDEGCDCB第13題第14題15如圖，已知CBAB ， CE 平分 BCD ， DE 平分 CDA ， EDC+ ECD =90 °，求證： DA AB16平面上兩個(gè)圓三條直線，最多有多少不同的交點(diǎn)？17平面上5 個(gè)圓兩兩相交，最多有多少個(gè)不同

17、的交點(diǎn)？最多將平面分成多少塊區(qū)域？18一直線上5 點(diǎn)與直線外3 點(diǎn)，每兩點(diǎn)確定一條直線，最多確定多少條不同直線？ADEBC第15 題19平面上有8 條直線兩兩相交，試證明在所有的交角中至少有一個(gè)角小于23°。20平面上有10 條直線，無任何三條交于一點(diǎn)，欲使它們出現(xiàn)31 個(gè)交點(diǎn)，怎樣安排才能辦到？畫出圖形。答案1 5 個(gè)點(diǎn)中任取2 點(diǎn)，可以作4+3+2+1 10 條直線，在一直線上的3 個(gè)點(diǎn)中任取2 點(diǎn)，可作 2+1 3 條，共可作 10-3+1 8（條）故選 C2平面上 3條直線可能平行或重合。故選D3對(duì)于 3 條共點(diǎn)的直線，每條直線上有4 個(gè)交點(diǎn)，截得3 條不重疊的線段，3 條直

18、線共有9 條不重疊的線段對(duì)于 3 條不共點(diǎn)的直線，每條直線上有5 個(gè)交點(diǎn)，截得4 條不重疊的線段，3 條直線共有12 條不重疊的線段。故共有 21 條不重疊的線段。故選 D4由 n 個(gè)點(diǎn)中每次選取兩個(gè)點(diǎn)連直線，可以畫出n( n1) 條直線，若 A, B, C 三點(diǎn)不在一2條直線上，可以畫出3 條直線，若 A, D , E, F 四點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出6 條直線， n(n 1)3 6238.整理得 n 2n 900, (n10)(n 90) 0.2 n+9 0 n10,選 B。6 / 95直線 EF、 GH 分別“截”平行直線 AB 、 CD，各得 2 對(duì)同旁內(nèi)角，共 4 對(duì)；直線 AB

19、、 CD 分別“截”相交直線 EF、 GH ，各得 6 對(duì)同旁內(nèi)角，共 12 對(duì)。因此圖中共有同旁內(nèi)角4+6 16 對(duì)EGAAB31FGCDCDHF2第 5題B第 6題EA1ECB2FD6 FD BE 2= AGF AGC= 1-3 1+ 2-3= AGC+ AGF=180 ° 選 B7解： AB CD（已知） BAD= CDA （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 1= 2（已知） BAD+ 1= CDA+ 2（等式性質(zhì)）即 EAD= FDAAE FD E F8解：每兩點(diǎn)可確定一條直線，這5 點(diǎn)最多可組成10 條直線，又每兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為9+8+7+6+5+4+3+2

20、+1 45（個(gè)）又因平面上這5 個(gè)點(diǎn)與其余4 個(gè)點(diǎn)均有4 條連線，這四條直線共有3+2+1 6個(gè)交點(diǎn)與平面上這一點(diǎn)重合應(yīng)去掉，共應(yīng)去掉5× 6=30 個(gè)交點(diǎn)，所以有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)為45-30 15 個(gè)9可分 7 個(gè)部分 10解 AB CD EF APQ DQG= FRG=110 °GAPB同理 PSQ= APS PSQ= APQ- SPQ= DQG- SPQCQDS=110°-90° =20 °El FR11 0 個(gè)、 1 個(gè)或無數(shù)個(gè)第10題H1）若線段 AB 的垂直平分線就是 L ，則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是無數(shù)個(gè)；2）若 AB L ，但 L 不是 A

21、B 的垂直平分線，則此時(shí)AB 的垂直平分線與 L 是平行的關(guān)系，所以它們沒有公共點(diǎn)，即公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 個(gè)；3）若 AB 與 L 不垂直，那么 AB 的垂直平分線與直線L 一定相交，所以此時(shí)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 1 個(gè)12 4 條直線兩兩相交最多有1+2+3 6 個(gè)交點(diǎn)FA13證明：過 E 作 EF BA 2= A （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DE CB ，DEEF BA 1= B（兩個(gè)角的兩邊分別平行，這兩個(gè)角相等） 1+ 2= B+ A （等式性質(zhì)）即 AED= A+BCB7 / 914證明：分別過點(diǎn)E、 F、 G 作 AB 的平行線EH 、 PF、GQ ，則 AB EH PF GQ（平行公理） A

22、B EH ABE BEH （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理： HEF EFPPFG FGQ QGD GDC ABE+ EFP+PFG+ GDC BEH+ HEF+ FGQ+ QGD （等式性質(zhì)）BEHPFGQCD即B+ D+ EFG= BEF+ GFD15證明： DE 平分 CDACE 平分 BCD EDC= DADE ECD = BCE( 角平分線定義 )A CDA + BCD= EDC+ ADE+ ECD+ BCE=2（ EDC+ ECD） 180° DA CB又 CBABDAAB16兩個(gè)圓最多有兩個(gè)交點(diǎn)，每條直線與兩個(gè)圓最多有4 個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3 個(gè)不同的交點(diǎn)，即最多交點(diǎn)

23、個(gè)數(shù)為：2+4× 3+3=17EBC第15 題17（ 1）2 個(gè)圓相交有交點(diǎn) 2×1 1 個(gè)，第 3個(gè)圓與前兩個(gè)圓相交最多增加2× 24個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+2× 2 6 個(gè)第 4個(gè)圓與前3 個(gè)圓相交最多增加2× 36個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+2×2+2× 3 12 個(gè)第 5個(gè)圓與前4 個(gè)圓相交最多增加2× 48個(gè)交點(diǎn) 5 個(gè)圓兩兩相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+2× 2+2× 3+2× 4 20（2） 2個(gè)圓相交將平面分成 2 個(gè)區(qū)域3個(gè)圓相看作第3 個(gè)圓與前2個(gè)圓相交，最多有2×24個(gè)不同的交點(diǎn)，這 4 個(gè)點(diǎn)將第 3 個(gè)圓分成4 段弧，每一段弧將它所在的區(qū)域一分為二，故增加2× 2 4 塊區(qū)域，這時(shí)平