空間直角坐標(biāo)系15652

1、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系1 o空間仿射坐標(biāo)系空間仿射坐標(biāo)系定理：定理： ,的向量的向量空間中任意三個(gè)不共面空間中任意三個(gè)不共面. zyx ，rzyx ,1， 對(duì)對(duì)使得使得 x y z ,o構(gòu)成了空間中一個(gè)仿構(gòu)成了空間中一個(gè)仿射坐標(biāo)系射坐標(biāo)系,; o記為記為2oxyzikjxyzoijk右手系右手系左手系左手系空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系定義：定義：角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系，記記作作直直，便便稱稱取取定定了了一一個(gè)個(gè)空空間間單單位位向向量量和和三三個(gè)個(gè)相相互互垂垂直直的的有有序序取取定定空空間間一一點(diǎn)點(diǎn)kjio,;kjio3注：注：,rzyx ，向向量量在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中， ;zk

2、yjxi 使使得得(1),zyx序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)反反之之，任任意意給給定定三三個(gè)個(gè)有有量量；唯唯一一確確定定了了一一個(gè)個(gè)空空間間向向zkyjxi ,zyxzyx 記記有序?qū)崝?shù)對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)因此，空間向量因此，空間向量一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)(2)中中的的坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系為為向向量量稱稱,;,kjiozyx 4向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1 加法加法 222111,zyxzyx ，2 數(shù)乘數(shù)乘 kzkykxk, 212121,zzyyxx 5例：例： 共線的條件共線的條件，求向量求向量，設(shè)設(shè) 222111,zyxzyx 解：解： 或或/ 111222222111,zyxzyxz

3、yxzyx 或或即即也為零也為零中某個(gè)為零，則相應(yīng)的中某個(gè)為零，則相應(yīng)的因此，若因此，若222111,zyxzyx，那么，那么若若0111 zyx121212zzyyxx .成成比比例例共共線線當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)，即即：向向量量 6例：例： . 0,333222111333222111 zyxzyxzyxzyxzyxzyx共面的充分必要條件是共面的充分必要條件是，證明三個(gè)向量證明三個(gè)向量 證明：證明：共面共面三個(gè)向量三個(gè)向量 , 000333231232221131211zkykxkzkykxkzkykxk即即. 0,321321 kkkkkk，使得，使得不全為零的實(shí)數(shù)不全為零的

4、實(shí)數(shù)7，程程組組有有非非零零解解即即就就是是這這個(gè)個(gè)其其次次線線性性方方321,kkk0333222111 zyxzyxzyx因此因此 000333231232221131211zkykxkzkykxkzkykxk8向量投影向量投影 cospr j投影定理投影定理 jpr jjjprpr)(pr 性質(zhì)性質(zhì)1 jjprpr 性質(zhì)性質(zhì)28方向角與方向余弦方向角與方向余弦定義定義 在空間直角坐標(biāo)系中，向量在空間直角坐標(biāo)系中，向量 與三個(gè)坐與三個(gè)坐標(biāo)向量標(biāo)向量i，j，k的夾角的夾角,稱為向量稱為向量 的的方向角方向角，方向角的余弦方向角的余弦cos，cos，cos稱為向量稱為向量 的的方向余弦方向余弦

5、。aaa10omoa cos由于由于 ，2222omocoboa 考察以坐標(biāo)軸為邊，考察以坐標(biāo)軸為邊， 為對(duì)角為對(duì)角 線的長(zhǎng)方體。線的長(zhǎng)方體。,zyxaom xyzoabcmomob cos,222zyxx omoc cos,222zyxy 222zyxz 1coscoscos222 故有故有11解解:設(shè)其方向角是設(shè)其方向角是，例：例： 已知向量已知向量 和和 ， 求向量求向量 的方向余弦。的方向余弦。ab2, 1, 1 oa1, 1,3 ob 1, 2, 2 ab因?yàn)橐驗(yàn)?)21()1(1()13(222 ab又又31cos,32cos,32cos 所以所以12空間中點(diǎn)的坐標(biāo)空間中點(diǎn)的坐標(biāo),

6、zyxomm有序?qū)崝?shù)對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)向量向量空間中點(diǎn)空間中點(diǎn)),(zyxmm的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為記記131 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離),(),(22221111zyxmzyxm，設(shè)設(shè)1221omommm ,121212zzyyxx 21221221221)()()(zzyyxxmm 所以所以2122121)()(yyxxsm xyzo1m2mrs122zzsm ,111222zyxzyx 142 定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式得得兩兩有有向向線線段段分分且且點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)設(shè)2122221111),(),(),(mmmzyxmzyxmzyxm21mmmm 1 由定比確定由定比確定m點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo) 1,1,121212

7、1zzzyyyxxx zzyyxxzzyyxx 222111, )1( 中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)坐標(biāo)2,2,2212121zzzyyyxxx 整理得整理得15例例：證明柯西證明柯西施瓦茨（施瓦茨（cauchyschwarz）不）不等式等式 )()(2322212322212332211bbbaaabababa 證證:由由=| cos，),(),(321321bbbaaa 在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造向量在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造向量 有有 |=|cos| 232221232221332211|bbbaaabababa 因此因此)()(2322212322212332211bbbaaabababa 即即16例例: 對(duì)三元一次方程組對(duì)三元一次方程組 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa設(shè)設(shè) 321332313332221223121111,bbbaaaaaaaaa 17方程組可寫成：方程組可寫成： 332211xxx 因?yàn)橐驗(yàn)?與與 都垂直，用都垂直，用 對(duì)上對(duì)上式兩邊作數(shù)量積，就有式兩邊作數(shù)量積，就有32 3