現(xiàn)代分析3-3賦范空間(1)

1、范數(shù)與賦范線性空間范數(shù)與賦范線性空間3范數(shù)-向量空間中向量長(zhǎng)度概念的拓展“長(zhǎng)度”概念的特征是：零向量零向量的長(zhǎng)度是零，并且任意向量的長(zhǎng)度是非負(fù)實(shí)數(shù)。 一個(gè)向量 v 乘以一個(gè)標(biāo)量 a 時(shí)，長(zhǎng)度應(yīng)變?yōu)樵蛄?v 的 |a|（ a 的絕對(duì)值）倍。 三角不等式成立。也就是說，對(duì)于兩個(gè)向量 v 和 u ，它們的長(zhǎng)度和（“三角形”的兩邊）大于 v+u （第三邊）的長(zhǎng)度。定義1:設(shè)X是實(shí)(或復(fù))的線性空間,如果對(duì)每個(gè)向量Xx有一個(gè)確定的實(shí)數(shù),記為 x與之對(duì)應(yīng),并且滿足: (1). 00, 0 xxx等價(jià)于且(2). xx其中 為任意實(shí)(復(fù))數(shù);(3). ,Xyxyxyx則稱 x為向量x的范數(shù), 稱 x按范數(shù)

2、 x成為賦范線性空間.設(shè) nx 是x中的點(diǎn)列,如果存在 Xx使 ),(0nxxn則稱 nx依范數(shù)收斂于x記為 或),(nxxnxxnnlim如果令 yxyxd),(),(Xyx容易驗(yàn)證 ),(yxd是x上的距離,且nx依范數(shù)收斂于 x等價(jià)于 nx按距離 ),(yxd收斂于 x稱為由范數(shù) x導(dǎo)出的距離.完備的賦范線性空間稱為Banach(巴拿赫)空間.例1:歐氏空間 nR,對(duì)每個(gè) xnR.),(321定義 221.nx （3） 如果令 ),(yxdyx 2211.nn= ynR.),(321,則 ),(yxd即為 nR中歐幾里得距離,且滿足(1)中條件(a)及(b),由此可知 x是 nR中范數(shù),

3、又因 nR完備,故 nR按(3)中范數(shù)成Banach空間.例2:空間 ,baC對(duì)每個(gè) x,baC, 定義)(maxtxxbta（4） 容易證明 ,baC按(4)中范數(shù)成為Banach空間.例3:空間 pl對(duì)每個(gè) plx.),(321,定義 jxjsup（5） 不難驗(yàn)證 l 按(5)中范數(shù)成為Banach空間.例4:空間 ,baLp設(shè) )(tf是 ,ba上實(shí)值可測(cè)函數(shù), 0p,如果 pxf)(是 ,ba上可積函數(shù), 則稱 )(tf是 ,ba上 p方可積函數(shù), ,ba上 p方可積函數(shù)全體記為 ,baLp當(dāng) 1p時(shí), ,1baL即為 ,ba上 L可積函數(shù)全體. 在空間 ,baLp中,我們把兩個(gè) ea

4、.相等的函數(shù)視為 ,baLp中同一個(gè)元素 而不加以區(qū)別,設(shè) ,baLgfp,因?yàn)?pptgtftgtf)(, )(max2()()()()(2ppptgtf所以， ptgtf)()(是 L上可積函數(shù),即 ,baLgfp,至于 ,baLp關(guān)于數(shù)乘運(yùn)算封閉是顯見的.于是 ,baLp按函數(shù)通常的加法及 數(shù)乘運(yùn)算 成為線性空間.對(duì)每個(gè) , baLfp,定義ppbapdttff1)( （6）我們要證明當(dāng) 1p時(shí), ,baLp按 pf成為Banach空間.為此,首先 證明幾個(gè)重要的不等式. 引理1:(Holder不等式)設(shè) 1p111qp,baLfp,baLgp那么 )()(tgtf在 ,ba上 L可積,

5、并且成立 qpbagfdttgtf)()(（7） 證明:首先證明當(dāng) 1p111qp時(shí),對(duì)任何正數(shù)A及B,有 qBpABAqp11（8） 事實(shí)上,做輔助函數(shù) )0()(tttt10,則 1)(1tt,所以在(0,1)上, 0)( t,在 ), 1 ( 上 0)( t因而 ) 1 (是函數(shù) )(t 在 ), 0( 上的最大值,即1) 1 ()(t), 0( t由此可得)1 (tt), 0( t令 BAt ,代入上面不等式,那么)1 (BABA兩邊乘B,得到BABA)1 (1令 p1,則 q11于是上式成為 qBpABAqp11如果 0pf(或 0qg),則 eatf.0)(于 ,ba(或 eatg

6、.0)(于 ,ba), 這時(shí),不等式(7)自然成立,所以不妨設(shè) 0pf0pg做函數(shù) qpgtgtftft)()(,)()(令 qptBtA)(,)(代入不等式(8),得到qtptttqp)()()()(（9） 由(9)立即可知 )()(tt在 a,b上L 可積,由此可知f(t)g(t)也L 可積,對(duì)(9)的 兩邊積分,得到 baqbapbadtqtdtptdttt1)()()()(因此 qpbagfdttgtf)()(證畢.引理2:(Minkowski不等式)設(shè) , 1baLgfpp那么 ,baLgfp,并且成立不等式 pppgfgf（10）證明:當(dāng) 1p時(shí),因 )()()()(tgtftgt

7、f,由積分性質(zhì)可知不 等式(10) 自然成立.如果 1p,因?yàn)?,baLgfp,所以 ,)()(baLtgtfqqp由Holder不等式有 qbappqpbadttgtffdttgtftf1)()()()()(類似對(duì)g也有qbappqpbadttgtfgdttgtftg1)()()()()(因而qbapppqpbaqpbapbabapdttgtfgfdttgtftgdttgtftfdttgtftgtfdttgtf11)()()()()()()()()()()()()()( （11）若 bapdttgtf0)()(,則 0pgf(10)式顯然成立,若 bapdttgtf0)()(,則在(11)式

8、兩邊除以baqpdttgtf1)()(得到 ppbaqpgfdttgtf11)()(由 111qp，得到ppbapppgfdttgtfgf1)()(證畢. 定理1:當(dāng) 1p時(shí), ,baLp按(6)中范數(shù) pf成為賦范線性空間.證明: pf滿足范數(shù)條件(1)及(2)是顯然的.又由 Minkowski不等式,當(dāng) 1p時(shí),對(duì)任何 gf ,baLp有 pppgfgf,所以 ,baLp按 pfpf成賦范線性空間. 證畢. 定理2: ,baLp1p是Banach空間.證明: 設(shè) nf是 ,baLp中柯西點(diǎn)列,由柯西點(diǎn)列的定義,存 在正整數(shù) km,使當(dāng) kmmn,時(shí),成立 ,.2 , 1,21kffkpmn

9、取 kkmn ,且使 .21knnn,則 ,.2 , 1,211kffkpmnkk因此nk 1kkpmnkkff2111（12） 但是因?yàn)槌?shù) ,1baLq,由Holder不等式,成立 qpnnbannabffdtffkkkk1)(_11所以級(jí)數(shù)nk 1dtffbannkk1 (13)收斂,由級(jí)數(shù)形式的Levi定理,級(jí)數(shù) )()(1tftfkknnnk 1在a,b上幾乎處處收斂. 因此,函數(shù)列 ,.)3 , 2 , 1)()()()(1111ktftftftfkjnnnnjjk在a,b上幾乎處 處收 斂于一可測(cè)函數(shù)f(t).下面證明 ,baLfp因?yàn)?nf是 ,baLp中柯西點(diǎn)列, 對(duì)于任何正

10、數(shù)0,存在N,使當(dāng) Nmn,時(shí), pmnff,取足夠大的 0k,使 Nnk0,于是當(dāng) 時(shí),就有 Nnkk.0ppnnpbannkkffdttftf_)()(又因當(dāng) k時(shí)函數(shù)列 pnntftfk)()(.)()(eatftfpn于a,b,由Fatou定理 得到 pntftf)()(是L可積函數(shù),并且有, lim)()(kpbandttftfppbanndttftfk)()(這說明 nff,baLp,且當(dāng) Nn 時(shí), . pnff（14）又因 nf,baLp,而 nnffff,由于 ,baLp是線性空間,所以 f,baLp,由(14), ffn,這就證明了 ,baLp是Banach空間.證畢.例5

11、:空間 pl空間中也有類似的Holder不等式 ,baLp空間一樣,在 和Minkowski不等式:nkkk1qnkqkpnkpk1111)()(,( Holder不等式)其中 1p111qppl.),(321.,321,( ) qlpppyxyx,(Minkowski不等式) 其中 1p.),(21xply.),(21pnkpkppnkpkpyx1111)(,)(由此 可知 pl按范數(shù) px成賦范線性空間,并且不難證明 pl完備. 定理3:設(shè)X是n維賦范線性空間, neee,.,21是X的一組 基,則存在常數(shù) M和 M使得對(duì)一切 nkkkex1成立 .XMxMnkk2121)(證明:對(duì)任意

12、Xx,有 knkknkkkeeX1121122112)()(nkknkke記 2112)(nkkem,則有 x2112)(nkkm任取 Xeyknkk1,由上述不等式知 2121)(nkkkmyxyx這說明,范數(shù) x是歐氏空間 nR上關(guān)于 n,.,21的連續(xù)函數(shù).xfn),.,(21當(dāng) ),.,(21n位于 nR的單位球面S上,即. 0,1121xenkkknkk時(shí)實(shí)際上,若 . 01nkkke,必有 nkkke1. 0,但 121nkk,從而 n,.,21不全為0, 再由 ke是線性無關(guān)的,得到矛盾.這就是說 xfn),.,(21在S上處處不為0, 因S是 nR中有界閉集,f在S 上取得非零的最小值 0, mm,于是,對(duì)任意的 Xx,于是 xxnkk2112)(2112)(nkkSn),.,(21),且 mx這樣一來, 我們有 m2112)(nkkxnkk2112)(mx 2112)(nkk令 2112)(nkkmM1mM1,即可得結(jié)論.證畢.推論1:設(shè)在有限維線性空間上定義了兩個(gè)范數(shù) x和 1x那么必存在常數(shù)M和 M,使得 xMxxM1證明:我們記 21120)(nkkx,其中 nkkkex1由定理3可知,存在常數(shù)k和 K