高等數(shù)學(xué)：1-4無(wú)窮小與無(wú)窮大

1、1無(wú)窮小無(wú)窮小(infinitely small)無(wú)窮大無(wú)窮大(infinitely great)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系第四節(jié)第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大2 拉格朗日曾用無(wú)窮小分析的方法拉格朗日曾用無(wú)窮小分析的方法,系統(tǒng)系統(tǒng)地建立了動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)地建立了動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),創(chuàng)立了創(chuàng)立了“分析力學(xué)分析力學(xué)”. 牛頓對(duì)微積分的探討牛頓對(duì)微積分的探討,可以說(shuō)使用了無(wú)可以說(shuō)使用了無(wú)窮小的方法窮小的方法.的理論稱為的理論稱為“無(wú)窮小量分析無(wú)窮小量分析”.常常把整個(gè)變量常常把整個(gè)變量 歐拉于歐拉于1748年寫(xiě)的二卷名著書(shū)名冠以年寫(xiě)的二卷名著書(shū)名冠以無(wú)窮小分析

2、引論無(wú)窮小分析引論.即所謂無(wú)窮小量即所謂無(wú)窮小量.英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家(16421727)牛頓牛頓拉格朗日拉格朗日意大利數(shù)學(xué)家、力學(xué)家意大利數(shù)學(xué)家、力學(xué)家(17361813)瑞士數(shù)學(xué)家瑞士數(shù)學(xué)家(1707 1783)歐拉歐拉都可以轉(zhuǎn)化為一種簡(jiǎn)單而重都可以轉(zhuǎn)化為一種簡(jiǎn)單而重要的變量要的變量, 數(shù)學(xué)分析的歷史表明數(shù)學(xué)分析的歷史表明,較復(fù)雜的變量較復(fù)雜的變量,很多變化狀態(tài)比很多變化狀態(tài)比無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大31. 定義定義 極限為零的極限為零的變量變量稱為稱為無(wú)窮小量無(wú)窮小量, , 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱如如,是是函數(shù)函數(shù)xsin,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x是是函數(shù)函數(shù)xxsin,2

3、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x是是函函數(shù)數(shù)2 x無(wú)窮小是指無(wú)窮小是指函數(shù)變化的趨勢(shì)函數(shù)變化的趨勢(shì).,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n.)1(是無(wú)窮小是無(wú)窮小數(shù)列數(shù)列nn ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.窮小窮小皆非無(wú)皆非無(wú);無(wú)窮小無(wú)窮小;無(wú)窮小無(wú)窮小;無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小. .一、無(wú)窮小一、無(wú)窮小無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大在某個(gè)過(guò)程中在某個(gè)過(guò)程中4定義定義1 1),(0 不論它多么小不論它多么小 0 使得當(dāng)使得當(dāng) |00 xx恒有恒有 | )(|xf),0( X或或),|(Xx 或或,)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小當(dāng)當(dāng)則稱則稱xxxf0)(lim0 xfxx記作記作1) 無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量,不能與很小很小的數(shù)混淆不能與很小很小的數(shù)混淆;

4、2) 零是可以作為無(wú)窮小的零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)唯一的數(shù).注注“無(wú)窮小量無(wú)窮小量”并不是表達(dá)量的大小并不是表達(dá)量的大小,而是表達(dá)而是表達(dá) 它的變化狀態(tài)的它的變化狀態(tài)的.“無(wú)限制變小的量無(wú)限制變小的量”)( x或或).0)(lim( xfx或或無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大52. 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系證證,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè)Axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xAxf 定理定理1 1Axfxx )(lim0.)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf , 0 , 0 ,|00 xx當(dāng)當(dāng)恒有恒有 |)(

5、|Axf也即也即 | )(|x無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大6),()(xAxf 設(shè)設(shè),是常數(shù)是常數(shù)其中其中A,)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)xxx Axfxx )(lim0.)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf 于是于是| )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,|00 xx當(dāng)當(dāng)恒有恒有 | )(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 類似可證明類似可證明 的情形的情形. x定理定理1 1無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大7例例可表為可表為函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)13,2 xx 13x即即時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是是其中其中,263( xx. 5)13(lim2 xx

6、故得故得 5)63( x)0)63(lim2 xx無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大意義：意義：1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小無(wú)窮小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達(dá)式附近的近似表達(dá)式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)8在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, 有限有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和證證是是及及設(shè)設(shè) , 0 定理定理2 2仍是無(wú)窮小仍是無(wú)窮小. .3. 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì),|1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nx ,|2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nx ,max21NNN ,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nx | 22 , )(0 x , 01 N;2| .2| | 無(wú)窮

7、小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的兩個(gè)無(wú)窮小的兩個(gè)無(wú)窮小, ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 02 N9例例).21(lim222nnnnn 求求解解是無(wú)窮小之和是無(wú)窮小之和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .注注無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大10證證,),(10內(nèi)有界內(nèi)有界在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xUu, 0, 01 M則則,0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)又設(shè)又設(shè)xx , 0 定理定理3 3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的

8、乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .,|010時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) xx.|Mu 恒有恒有, 02 ,|020時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) xx.|M 恒有恒有,min21 取取| uuMM , 則當(dāng)則當(dāng),|00時(shí)時(shí) xx恒有恒有無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大.,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxx11 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,有極限的變量與無(wú)窮小有極限的變量與無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.推論推論1 1的乘積是無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;推論推論2 2推論推論3 3無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)如如x

9、都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小.,1sinxxxx1arctan212.)(1,2)(1,(.)()(,)(, 0,)(lim)3(有界有界即即由局部保號(hào)性由局部保號(hào)性為無(wú)窮小為無(wú)窮小則則為無(wú)窮小為無(wú)窮小若若xfAxfxfxxAAxf 也是無(wú)窮小。也是無(wú)窮小。則則是無(wú)窮小，且是無(wú)窮小，且若若）（是無(wú)窮小。是無(wú)窮小。是無(wú)窮小等價(jià)于是無(wú)窮小等價(jià)于)(, )()()(2)()()1(xxxxxx 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大注注13二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大無(wú)窮大. .如如,1x函數(shù)函數(shù),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,2x函數(shù)函數(shù)是無(wú)窮大是無(wú)窮大;xcot3x是

10、無(wú)窮大是無(wú)窮大.無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大14定義定義2 20 使得當(dāng)使得當(dāng) |00 xx恒有恒有Mxf | )(|),0(X或),|(Xx 或或,)(0時(shí)的無(wú)窮大時(shí)的無(wú)窮大當(dāng)當(dāng)則稱則稱xxxf )(lim0 xfxx記作記作).)(lim( xfx或或),(0 不論它多么大不論它多么大 M)( x或或特殊情形特殊情形: )(lim)(0 xfxxx正無(wú)窮大正無(wú)窮大,負(fù)無(wú)窮大負(fù)無(wú)窮大)(lim()(0 xfxxx或或 定義定義無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大15(1) 無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;無(wú)窮大一定是無(wú)界函數(shù)無(wú)窮大一定是無(wú)界函數(shù),.)(lim)2(0認(rèn)

11、為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxx注注(3) 無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)的區(qū)別無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)的區(qū)別:它們是兩個(gè)不同的概念它們是兩個(gè)不同的概念.未必是某個(gè)過(guò)程的無(wú)窮大未必是某個(gè)過(guò)程的無(wú)窮大.但是無(wú)界函數(shù)但是無(wú)界函數(shù)無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大16xxy1sin1 ), 3 , 2 , 1 , 0(221) 1 (kkxk取,22)( kxyk.)(,Mxykk充分大時(shí)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(kkxk取, kxk充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 時(shí)，這函數(shù)不是無(wú)窮大時(shí)，這函數(shù)不是無(wú)窮大無(wú)界。無(wú)界。0 x 11sinyxx 例例 在在( (0 0, ,

12、 1 1) )無(wú)界，無(wú)界， 當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)時(shí)，( )f x不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大. .17 11lim1xx證明證明11 xy1 證證, 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.11Mx 有有.11lim1 xx,)(lim0 xfxx如果如果例例|1| x解出解出)(0 xfyxx 是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線的圖形的的圖形的鉛直漸近線鉛直漸近線(vertical asymptote).無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大結(jié)論結(jié)論xyO1 18 兩個(gè)正兩個(gè)正(負(fù)負(fù))無(wú)窮大之和仍為正無(wú)窮大之和仍為正(負(fù)負(fù))無(wú)窮大無(wú)窮大; 有界變量與無(wú)窮大的和、差仍為無(wú)窮大有界變量與無(wú)窮

13、大的和、差仍為無(wú)窮大; 有非零極限的變量有非零極限的變量(或無(wú)窮大或無(wú)窮大)與無(wú)窮大之與無(wú)窮大之 積仍為無(wú)窮大積仍為無(wú)窮大; 用無(wú)零值有界變量去除無(wú)窮大仍為無(wú)窮用無(wú)零值有界變量去除無(wú)窮大仍為無(wú)窮大大.容易證明容易證明例例)1(limxxx 求求解解)1(limxxx 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大19 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;證證 )(lim0 xfxx設(shè)設(shè), 0 .)(1 xf即即.)(1,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx 定理定理4 4恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. ., 0 ,00時(shí)時(shí) xx,1)( Mxf有有無(wú)

14、窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,1 M此時(shí)對(duì)此時(shí)對(duì)使得當(dāng)使得當(dāng)20, 0)(lim,0 xfxx設(shè)設(shè)反之反之, 0 M.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無(wú)窮大為無(wú)窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx , 0)( xf由于由于關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論,. 0)( xf且且, 0 ,1)(Mxf 有有意義意義無(wú)窮小的討論無(wú)窮小的討論.都可歸結(jié)為關(guān)于都可歸結(jié)為關(guān)于 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;定理定理4 4恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大,1M 此時(shí)對(duì)

15、此時(shí)對(duì)使得當(dāng)使得當(dāng),00時(shí)時(shí) xx21幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于變化過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于變化過(guò)程而言的.（1） 無(wú)窮?。o(wú)窮小（ 大）是變量大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混 淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2 2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮?。?）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.四、小結(jié)四、小結(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大22無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大思考題思考題).(1sin1,0是是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx A. 無(wú)窮小量無(wú)窮小量B.無(wú)窮大量無(wú)窮大量C. 有界量非無(wú)窮小量有界量非無(wú)窮小量D.無(wú)界但非無(wú)窮大量無(wú)界但非無(wú)窮大量D23作業(yè)作業(yè)4 4無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮