數(shù)學(xué)人教八年級上冊整式乘除與因式分解PPT課件

1、 本章知識結(jié)構(gòu)：一、整式的有關(guān)概念 1、代數(shù)式 2、單項式 3、單項式的系數(shù)及次數(shù) 4、多項式 5、多項式的項、次數(shù) 6、整式 二、整式的運算 （一）整式的加減法去括號，合并同類項第1頁/共38頁 1、單項式除以單項式 2、多項式除以單項式（三）整式的除法 1、同底數(shù)冪的乘法 2、冪的乘方 3、積的乘方 4、同底數(shù)的冪相除 5、單項式乘以單項式 6、單項式乘以多項式 7、多項式乘以多項式 8、平方差公式 9、完全平方公式（二）整式的乘法第2頁/共38頁一、整式的有關(guān)概念1、單項式：數(shù)與字母乘積，這樣的代數(shù)式叫單項式。單獨的一個數(shù)或字母也是單項式。2、單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)。3、單項式

2、的次數(shù)：單項式中所有的字母的指數(shù)和。4、多項式：幾個單項式的和叫多項式。5、多項式的項及次數(shù)：組成多項式中的單項式叫多項式的項，多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。特別注意，多項式的次數(shù)不是組成多項式的所有字母指數(shù)和！第3頁/共38頁6、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱整式。（分母含有字母的代數(shù)式不是整式）二、整式的運算（一）整式的加減法基本步驟：去括號，合并同類項。第4頁/共38頁1、同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。數(shù)學(xué)符號表示：（其中m、n為正整數(shù)）nmnmaaa（二）整式的乘法練習(xí)：判斷下列各式是否正確。6623222844333)()()()(2,2xxxxx

3、mmmbbbaaa第5頁/共38頁2、冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。數(shù)學(xué)符號表示：mnnmaa)(（其中m、n為正整數(shù)）練習(xí)：判斷下列各式是否正確。2244241222443243284444)()()( ,)()(,)(mmmnnaaaxxbbbaaamnppnmaa)(（其中m、n、P為正整數(shù)）第6頁/共38頁3、積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。符號表示：)()(),( ,)(為正整數(shù)其中為正整數(shù)其中ncbaabcnbaabnnnnnnn練習(xí)：計算下列各式。32332324)( ,)2( ,)21( ,)2(baxybaxyz第7頁/共

4、38頁4.單項式與單項式相乘的法則： 單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。第8頁/共38頁 法則： 多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加.(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn5 .多項式與多項式相乘：=am+an+bm+bn第9頁/共38頁（1）、平方差公式即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫（乘法的）平方差公式.,)(22也可以是代數(shù)式既可以是數(shù)其中babababa說明：平方差公式是根據(jù)多項式乘以多項式得到的，它是兩個數(shù)的和與同樣

5、的兩個數(shù)的差的積的形式。6.乘法公式：一般的，我們有：第10頁/共38頁 1、 2051952、 (3x+2) (3x-2)3、(-x+2y) (-x-2y)4 、 (x+y+z)(x+y-z)第11頁/共38頁（2）、完全平方公式法則：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。.,2)(;2)(222222也可以是代數(shù)式既可以是數(shù)其中 bababababababa2222)( :bababa即一般的，我們有：第12頁/共38頁注意：（1）(a-b)=-(b-a) (2 )（a-b)2=(b-a)2 (3) (-a-b)2=(a+b)2 (4) (a-b)3=-(b

6、-a)3第13頁/共38頁7.添括號的法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都要改變符號。第14頁/共38頁（1）、同底數(shù)冪的除法即：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。一般地，我們有nmnmaaa（其中a0，m、n為正整數(shù),并且mn ）)0(10aa8.整式的除法：即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1第15頁/共38頁（2）、單項式除以單項式 法則：單項式除以單項式，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的一個因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。（3）、多項式除以單項式 法則：多項式除以單項式，先把這個多項

7、式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。第16頁/共38頁22219992001)6( ,1999)5()23)(23)(4(zyxzyx?,2)()3(., 1, 2)2(.)1(, 51) 1 (222222222應(yīng)為多少則如果的值求若的值求已知znmnmznmxyyxyxaaaa練習(xí)第17頁/共38頁練習(xí)：計算下列各題。)5 . 0()4331) 4 ()6 ()645)(3 ()(31)( 6 ) 2 ()2()41)(1 (21231221223233225346yxyxyxyxxxyxyxbabacacbammmnm第18頁/共38頁分解因式定義定義把一個多項式化成幾個整式的積

8、的形式，象這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解或分解因式。與整式乘法的關(guān)系：與整式乘法的關(guān)系：互為逆過程，互逆關(guān)系方法提公因式法公式法步驟一提：提公因式二用：運用公式三查：檢查因式分解的結(jié)果是否正確 （徹底性）平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a22ab+b2=(ab)2第19頁/共38頁（1）.公因式：一個多項式的各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式（2）找公因式：找各項系數(shù)的最大公約數(shù)與各項都含有的字母的最低次冪的積。（3）.提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，作為多項式的一個因式，然后用原多項式的每一項除以這個

9、公因式，所得的商作為另一個因式，將多項式寫成因式乘積的形式，這種因式分解 的方法提公因式法。第20頁/共38頁知識點1 因式分解的定義 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式 。X2-1 (X+1)(X-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法第21頁/共38頁知識點2 提公因式法 多項式ma+mb+mc中的各項都有一個公共的因式m,我們把因式m叫做這個多項式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這

10、種分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x x2 2 x = x(x-1) x = x(x-1)， 8a8a2 2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) x x2a2a第22頁/共38頁探究交流 下列變形是否是因式分解？為什么?(1)3x(1)3x2 2y-xy+y=y(3xy-xy+y=y(3x2 2-x)-x)；(2)x(2)x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2+2；(3)x(3)x2 2y y2 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x(4)xn n(x(x2

11、 2-x+1)=x-x+1)=xn+2n+2-x-xn+1n+1+x+xn n. .提公因式錯誤，可以用整式乘法檢驗其真?zhèn)? 不滿足因式分解的含義 因式分解是恒等變形而本題不恒等. 是整式乘法. 第23頁/共38頁典例剖析 例例1 1 用提公因式法將下列各式因式分解用提公因式法將下列各式因式分解. .(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：解：(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y=xy=x3 3(-z+xy).(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)

12、=3x(a-b)-2y(a-b)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)=(a-b)(3x-2y)x x3 3+ (b-a)+ (b-a)- (a-b)- (a-b)(a-b)(a-b)第24頁/共38頁小結(jié)小結(jié) 運用提公因式法分解因式時，要注意下列問題：運用提公因式法分解因式時，要注意下列問題： (1)(1)因式分解的結(jié)果每個括號內(nèi)如有同類項因式分解的結(jié)果每個括號內(nèi)如有同類項要合并，而且每個括號內(nèi)不能再分解要合并，而且每個括號內(nèi)不能再分解. .如：如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n

13、)-(3m-2n)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(4m-6n).=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).=2(x+y)(2m-3n). (2)(2)如果出現(xiàn)像如果出現(xiàn)像(2)(2)小題需統(tǒng)一時，首先小題需統(tǒng)一時，首先統(tǒng)一統(tǒng)一, ,盡可能使統(tǒng)一的個數(shù)少，這時注意到盡可能使統(tǒng)一的個數(shù)少，這時注意到(a-b)(a-b)n n=(b-a)=(b-a)n n(n(n為偶數(shù)為偶數(shù)) ) 例如：分解因式例如：分解因式a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2. . 本題既可以把本題既可以把(x-y)(x-y)統(tǒng)

14、一成統(tǒng)一成(y-x)(y-x)，也可以把，也可以把(y-x)(y-x)統(tǒng)一成統(tǒng)一成(x-y),(x-y),但比較而言把但比較而言把(x-y)(x-y)化成化成(y-x)(y-x)比較簡比較簡便，因為便，因為(x-y)(x-y)2 2=(y-x)=(y-x)2 2. .a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=a(y-x)=a(y-x)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=(y-x)=(y-x)2 2a+b(y-x)+c =(y-x)a+b(y-x)+c =(y-x)2 2(a+by-bx+c).(a

15、+by-bx+c). (3)(3)因式分解最后如果有同底數(shù)冪，要寫成因式分解最后如果有同底數(shù)冪，要寫成冪的形式冪的形式. .例如：例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2 2. .第25頁/共38頁做一做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5

16、b)(2a+b)(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(2)4p(1-q)(2)4p(1-q)3 3+2(q-1)+2(q-1)2 2；2(2a+b)2(2a+b)2 22(1-q)2(1-q)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)或或2(q-1)2(q-1)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)第26頁/共38頁(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2其中，其中，a a2 22ab+b2ab+b2 2叫做完全平方式叫做完全平方式. .例如：4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2

17、2 =(2x) =(2x)2 2-2-22x2x3y+(3y)3y+(3y)2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2.知識點3 公式法(1)(1)平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 第27頁/共38頁探究交流 下列變形是否正確？為什么？下列變形是否正確？為什么？(1)x(1)x2 2-3y-3y2 2=(x+3y)(x-3y)=(x+3y)(x-3y)；(2)4x(2)4x2 2-6xy+9y-6xy+9y2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2；(3)x(3)

18、x2 2-2x-1=(x-1)-2x-1=(x-1)2 2. . 目前在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解. 不是完全平方式，不能進行分解 不是完全平方式，不能進行分解第28頁/共38頁例例2 2 把下列各式分解因式把下列各式分解因式. .(1)(a+b)(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2 ； (2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2； (3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9 -6(m+n)+9 解解:(1)(a+b):(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2=(a+b)=(a+b)2 2-(2a)-(2a)2 2做做一一做做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式

19、. .(1)(x(1)(x2 2+4)+4)2 2-2(x-2(x2 2+4)+1+4)+1； (2)(x+y)(2)(x+y)2 2-4(x+y-1).-4(x+y-1).(1)(x(1)(x2 2 +3)+3)2 2(2)(x+y-2)(2)(x+y-2)2 2(2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2(3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9=(m+n-3)-6(m+n)+9=(m+n-3)2 2. .=(a+b+2a)(a+b-2a)=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)=(1-5x)2 2=1-1

20、0 x+(5x)=1-10 x+(5x)2 24a4a2 2(2a)(2a)2 2+2a+2a-2a-2a25x25x2 2(5x)(5x)2 2第29頁/共38頁綜合運用 例例3 3 分解因式分解因式. .(1)x(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x；(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)解解:(1)x:(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x =x(x=x(x2 2-2x+1)-2x+1)=x(x-1)=x(x-1)2 2(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)x x =x=x2 2(x-y)-y(x-y)-y2

21、 2(x-y)(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2 2=(x-y)(x=(x-y)(x2 2-y-y2 2) ) 小結(jié)小結(jié) 解因式分解題時，首先考慮解因式分解題時，首先考慮是否有公因式，如果有，先提公因式；是否有公因式，如果有，先提公因式；如果沒有公因式是兩項，則考慮能否用如果沒有公因式是兩項，則考慮能否用平方差公式分解因式平方差公式分解因式. . 是三項式考慮用是三項式考慮用完全平方式，最后，直到每一個因式都完全平方式，最后，直到每一個因式都不能再分解為止不能再分解為止. . 第30頁/共38頁探索與創(chuàng)新題

22、例例4 4 若若9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2是完全平方式，則是完全平方式，則k= k= 分析分析: :完全平方式是形如：完全平方式是形如：a a2 22ab+b2ab+b2 2即兩數(shù)即兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)乘積的的平方和與這兩個數(shù)乘積的2 2倍的和倍的和( (或差或差).).9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2=(3x)=(3x)2 2+kxy+(6y)+kxy+(6y)2 2kxy=2kxy=23x3x6y=36xy6y=36xyk=k=36 36 做一做 若若x x2 2+(k+3)x+9+(k+3)x+9是完全平方式，則是完全平方式，則k=_ k=

23、_ k=3或k=-9 第31頁/共38頁思考題思考題 分解因式分解因式(x(x4 4+x+x2 2-4)(x-4)(x4 4+x+x2 2+3)+10 +3)+10 分析分析: :把把x x4 4+x+x2 2作為一個整體，用一個作為一個整體，用一個新字母代替，從而簡化式子的結(jié)構(gòu)新字母代替，從而簡化式子的結(jié)構(gòu). . 解：令解：令x x4 4+x+x2 2=m=m，則原式可化為，則原式可化為(m-4)(m+3)+10(m-4)(m+3)+10=m=m2 2-m-12+10-m-12+10=m=m2 2-m-2-m-2=(m-2)(m+1)=(m-2)(m+1)=(x=(x4 4+x+x2 2-2)(x-2)(x4 4+x+x2 2+1)+1)=(x=(x2 2+2)(x+2