廣義逆矩陣及其應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

1、畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)廣義逆矩陣及其應(yīng)用一、前言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對象， 也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具?！熬仃嚒边@個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語。而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上， 矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。

2、凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡化記號(hào)。1858 年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文矩陣論的研究報(bào)告，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。 文中他定義了矩陣的相等、 矩陣的運(yùn)算法則、 矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值） 以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。1855 年，埃米特(c.hermite ，18221901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施 (a.clebsch ，18311872)、布克海姆 (a.buchheim)

3、等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯 (h.taber) 引入 矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯(g.frobenius,1849-1917)的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。他討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、 矩陣的相似變換、 合同矩陣等概念， 以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論， 并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。 1854 年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。1892 年，梅茨勒 (h.metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要

4、是適用方程發(fā)展的需要而開始的。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展， 現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都有十分廣泛的應(yīng)用。矩陣?yán)碚摬坏墙?jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)又是很有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理侖。計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開辟了廣闊的應(yīng)用前景。逆矩陣的概念在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾恢茫绕淝蠼夥匠探M問題，它顯得更為重要。但是，一般的逆矩陣只是對非奇異的方陣才有意義，也就是說，當(dāng)方程組的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)才可以用矩陣的

5、逆來表示方程組的解。實(shí)際問題中， 遇到的矩陣不一定是方陣，即使是方陣也不一定是非奇異的，所以要考慮將逆矩陣的概念進(jìn)行推廣。廣義逆矩陣的思想可追溯到19o3 年瑞典數(shù)學(xué)家弗雷德霍姆的工作， 他討論了關(guān)于積分算子的一種廣義逆 ( 稱之為偽逆 )。1904年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在廣義格林函數(shù)的討論中， 含蓄地提出了微分算子的廣義逆而任意矩陣廣義逆的定義最早是由美國芝加哥的穆爾 (moore) 教授在 192o 年提出來的，他以抽象的形式發(fā)表在美國數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊上。 由于不知其用途， 該理論幾乎未被注意， 這一概念在以后 3o年中沒有多大發(fā)展。 我國數(shù)學(xué)家曾遠(yuǎn)榮在 1933年、美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮 諾伊曼和

6、弟子默里在 1936年對希爾伯特空間中線性算子的廣義逆也作過討論和研究。1951年瑞典人布耶爾哈梅爾 a重新發(fā)現(xiàn)了穆爾 (moore) 廣義逆矩陣的定義， 并注意到廣義逆矩陣與線性方程組的關(guān)系。1955年，英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家彭羅斯 (penrose r)以更明確的形式給出了與穆爾(moore) 等價(jià)的廣義逆矩陣定義，因此通稱為moorepenrose廣義逆矩陣，從此廣義逆矩陣的研究進(jìn)入了一個(gè)新階段?，F(xiàn)如今，moorepenrose廣義逆矩陣在數(shù)據(jù)分析、多元分析、信號(hào)處理、系統(tǒng)理論、現(xiàn)代控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論等許多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，使這一學(xué)科得到迅速發(fā)展，并成為矩陣論的一個(gè)重要分支。二、主題我們認(rèn)

7、識(shí)一個(gè)新的知識(shí)，首先從它的概念出發(fā)。文獻(xiàn)1 、2 中給出了moorepenros 廣義逆矩陣的定義。設(shè)m nac，若有某個(gè)m nxc，滿足 axaa xaxxtaxaxtxaxa中的全部或其中的一部分，則稱x為a的一個(gè) moorepenros廣義逆矩陣。按照定義，如果 x是滿足第 i 個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為1a，如果 x是滿足第 , i j 個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為, i ja。如果 g 是滿足第, ,i j k個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為, ,i j ka，如果 g 是滿足四個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為1,2,3,4a。除了1,2,3,4a是唯一確定之外， 其余各類廣義逆矩陣都不是唯一確定

8、的，每一類廣義逆矩陣都包含著一類矩陣， 為了表示這種情況， 把滿足前面所述相應(yīng)條件的一切moorepenrose廣義逆矩陣分別記為a i ，,a i j ，, ,a i j k上述共有 15類moorepenrose廣義逆矩陣中，應(yīng)用較多的是以下5種：(1)1a，其中任意一個(gè)固定廣義逆矩陣記為a ；(2)1,2a，其中任意一個(gè)固定廣義逆矩陣記為ra ；(3)1,3a，其中任意一個(gè)固定廣義逆矩陣記為ma；(4)1,4a，其中任意一個(gè)固定廣義逆矩陣記為la ；(5)1,2,3,4aa其中 a 滿足全部四個(gè)條件，顯然有1aa，1,2aa，1,3aa，1,4aa。在了解了廣義逆矩陣的概念之后，我們再來

9、看它的一些性質(zhì)。文獻(xiàn)3 中給出了廣義逆矩陣的一些性質(zhì)及。性質(zhì) 1： a為實(shí)n階方陣，若 a可逆。則1a 即為 a的廣義逆矩陣。性質(zhì)2：若 a有廣義逆矩陣b，則b是唯一的 (后面記ba) 。引理：a為mr階實(shí)矩陣， a為列滿秩陣，則ta a可逆。 ( 或 a為行滿秩陣，則taa 可逆)。性質(zhì)3： h 為mr階實(shí)陣， l 為rn階實(shí)陣。且 r hr lr 。則1tthh hh,1ttllll且r hr lr 。推論1： h 為mr階列滿秩實(shí)陣，則rh hi。 l 為rn階行滿秩實(shí)陣，則rlli。推論2： a為n階可逆實(shí)方陣，則1aa 。性質(zhì)4： a 為mn階實(shí)矩陣 a的廣義逆矩陣，則ttaa。性質(zhì)

10、5：a為mn階實(shí)矩陣， rar ，a的滿秩分解為ahl，其中h ，l分別為mr階與rn階秩為r的實(shí)矩陣，則 a廣義逆矩陣 al h 。性質(zhì)6： a 為 a的廣義逆矩陣，則 r araar a ar a 。性質(zhì)7： a為mn階實(shí)矩陣，則nr ia anr a 。性質(zhì)8：a 為mn階實(shí)陣 a的廣義逆矩陣， 則矩陣方程axbaa bb有解。且當(dāng)有解時(shí)一個(gè)解為xa b?，F(xiàn)在，我們已經(jīng)知道了廣義逆矩陣的概念以及它的一些性質(zhì)，接下來就來看下它的一些應(yīng)用。 首先是在解線性方程組中的應(yīng)用。文獻(xiàn)2 、4 都給出了矩陣的左逆和右逆，文獻(xiàn) 2 、4 、5 、6 、7 、8 、9 、10 還給出了與線性方程組的解關(guān)系

11、。1、矩陣a的左逆1la與右逆1ra定義1：若有n mgc， 使得 agi ( 或 gai ) ，則稱 g 為a的右逆1ra ( 或左逆1la ) ，即1raai(或1laai)。在一般情況下，11lraa若11lraa，則1a存在，且111lraaa。引理1：若a是行(或列) 滿秩， 則必存在a的右逆1ra( 或左逆1la)，且11raaaa( 或11laaaa。2、 a 與相容方程組的解引理2：(相容方程組的通解 )相容方程組 axb的通解為nxa bia a y ，其中 y 為nc中的任意元素。3、ma與相容方程組的極小范數(shù)解引理3：設(shè)n mgc，使gb 是相容方程組 axb的極小范數(shù)解

12、的充要條件是，g滿足 agaa和 gaga。ma的計(jì)算方法如下：(1) 當(dāng)a是行( 或列) 滿秩時(shí)，則11mraaaaa ( 或11mlaaa aa) (2) 當(dāng)( )min,rank arm n 時(shí)，將a滿秩分解為 acd，其中 c 為列滿秩， d為行滿秩，則11mrlaadc。(3) 在一般情況下，用滿秩分解來求ma是很麻煩的，我們可以做maaaa4、la與不相容方程組的最小二乘解引理4：設(shè)n mgc， xgb是不相容方程組 axb最小二乘解的充要條件是，g 滿足 agaa和 gagala的計(jì)算方法如下：(1) 當(dāng)a是行( 或列) 滿秩時(shí)，則11lraaaaa ( 或11llaaa aa)

13、 (2) 當(dāng)( )min,rank arm n 時(shí)，將a滿秩分解為 acd，其中 c 為列滿秩， d為行滿秩，則11lrlaadc。(3) 在一般情況下，用滿秩分解來求ma是很麻煩的，我們可以做laa aa在最小二乘解、曲線擬合和多元線性回歸分析中常常要計(jì)算不相容方程組的最小二乘解，廣義逆矩陣的理論使求不相容方程組的最小二乘解的方法標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化了，整個(gè)求解過程歸結(jié)為求a的廣義逆la，無需求誤差平方和的極值等一套繁瑣的步驟5、 a 與線性方程組的極小最小二乘解引理5：不相容方程組 axb的極小最小二乘解為xa b，其中mlaa aaa的計(jì)算方法如下：(1) 如果a為滿秩方陣，則 aa ；(2)

14、 如果12(,),1,2,niadiag d dddc inll，則12(,)nadiag dddl，其中0,01,0iiiidddd當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)(3) 如果a為行滿秩矩陣，則11raaaaa；(4) 如果a為列滿秩矩陣，則11laaa aa；(5) 如果a為降秩的mn矩陣，可用滿秩分解求a，即將a滿秩分解成acd，其中,m rr nccdc，且min,rankcrankdrrankam n ，1111,lrcc ccdddd，則11rladc。下面是廣義逆矩陣在解矩陣方程中的應(yīng)用。文獻(xiàn)11 、12 、13 中都提到如何利用廣義逆矩陣來求矩陣方程組的解。1、1 逆和矩陣方程 axbd 的解定理 1

15、：設(shè),m np qm qacbcdc，那么這個(gè)矩陣方程axbd(1.2.6)是齊次的，當(dāng)且僅當(dāng)給定一個(gè)1a和1b，有11aa dbbd (1.2.7) 在這個(gè)實(shí)例中，對于任意的npyc，一般解是1111xadbyaaybb。 (1.2.8) 2、1 逆和方程 axa與 bxb 的一般解設(shè),m np nmpacbcacbc， 考慮這兩個(gè)方程,axa bxb， (1.2.11)問題是找到一個(gè)滿足方程(1.2.11)的nxc。這顯然等價(jià)于解決這個(gè)分塊方程aaxbb (1.2.12) 首先，我們找到分塊矩陣amb的一個(gè) 1 逆。定理 1：設(shè),m np nacbc，則分塊矩陣amb的一個(gè) 1 逆被給為1

16、111111mxiia ab iaab aia ab ia am(1.2.13) 設(shè)m rcc，則分塊矩陣 na cm的一個(gè) 1 逆被給為1111111naiciaaciaaxiaaciaa。 (1.2.14) 接下來這個(gè)證明給出了方程axa和 bxb 的一般解。定理 2：設(shè),m np nacbcar abr b ，以及ax和bx分別是在 (1.2.11)中的兩個(gè)方程的兩個(gè)特解。令1fb iaa，則接下來的敘述是等價(jià)的：在(1.2.11)中的兩個(gè)方程有一個(gè)一般解； (1.2.15) abxbr fbn a ; (1.2.16) abxxn an b . (1.2.17) 而且，當(dāng)一般解存在時(shí)，

17、一個(gè)特解表示成1111caxiiaa fb xiaa fb (1.2.18) 所有一般解的集合被寫成11:ncxiaaiffh hc (1.2.19) 下面是廣義逆矩陣在測量平差中應(yīng)用，在文獻(xiàn)14 中有提到。1、條件平差條件方程：,r n n lr law (1) 其中權(quán)陣 p 正定，且有,1r nrnr ara wrm，則(1) 式為相容方程組，平差準(zhǔn)則為：mintv pv，v 是參數(shù)，其最小范數(shù)解為：11ttm pvawpaapaw2、間接平差觀測方程：,n ln t t llb x (2) 其中觀測向量 l 的權(quán)陣 p正定，且有,1,1n tn tn tr btn r br b ltm，

18、則(2)式為不相容方程組，且b 的秩等于 b 的最小階，平差準(zhǔn)則為：mintbxlp bxl，其最小二乘解為：1ttttl pvblb pbb plb pbb pl (3) 3、附有參數(shù)的條件平差觀測方程：,0c n n lc u u lc lab x w將其改寫為：,c lcn un ulabwx (4) 權(quán)陣為ppdi， 其中10,0,ddd， 即最小二乘條件不考慮參數(shù)x 。因?yàn)?1cn ucn ur abr ab wcm，(4) 為相容方程組，平差準(zhǔn)則為：minttpxdix。其最小范數(shù)解為：11111111111ttttmpttttttppaaabwabwxdidibbp aapabd

19、bwdbap abdbw4、附有條件的間接平差觀測方程：,n u u ln lb xl條件方程：,xu ls us lc xw將其改寫為：,u lxns uns llbxwc (5) 權(quán)陣為11,0,0,ppddddi，將xw視為具有無限權(quán)的觀測值。因?yàn)?xn s uns unsu lbmlbbrunsrrulc wccm，則(5) 式微不相容方程組，平差準(zhǔn)則為：mintxxllbbxpxwwcc。最小二乘解為：11ttxl plbpbxbcwcdic5、秩虧自由網(wǎng)平差觀測方程：,n ln t t llax (6) 其中,n tnt r aut ，(6) 為不相容方程， 且 a的秩小于 a的最

20、小階。平差準(zhǔn)則為：min,minttxx p xaxlp axl。(9) 式的解為：11xxxttttppxxm pm pxala paa plna plpnnpna pl其中 p 為觀測向量 l 的權(quán)陣，xp為參數(shù) x 的權(quán)陣，特別地，當(dāng)1xp時(shí)，有：txn nna pl下面是廣義逆矩陣在平面四桿機(jī)構(gòu)綜合中的應(yīng)用，在文獻(xiàn)15 中提到。1、函數(shù)發(fā)生器綜合函數(shù)發(fā)生器綜合是綜合鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)以實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)兩連架桿之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。應(yīng)用運(yùn)動(dòng)反轉(zhuǎn)法，可將輸入角為i，輸出角為i的實(shí)現(xiàn)函數(shù)的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)綜合問題轉(zhuǎn)化成前述r r桿導(dǎo)引綜合。2、點(diǎn)位一角移量相配問題點(diǎn)位一角移量相配問題是綜合鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)以實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)

21、主動(dòng)桿轉(zhuǎn)角與連桿點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系。三、總結(jié)部分本文主要闡述了以下內(nèi)容： （1）廣義逆矩陣的歷史背景及現(xiàn)階段各自研究的重點(diǎn)和主要成果；（2）廣義逆矩陣的基本概念及其分類； （3）廣義逆矩陣的一些重要性質(zhì)；（4）廣義逆矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用（5）廣義逆矩陣在解矩陣方程中的應(yīng)用。矩陣的廣義逆理論在方程的求解及解的穩(wěn)定性分析等問題上有著廣泛的應(yīng)用。其中， 1，3)廣義逆， 1，4)廣義逆常被用于求及表示線性方程組的最小二乘解和極小范數(shù)解， bott du伍n廣義逆則在限制系統(tǒng)及約束方程的研究中有重要的作用。本文只對 moorepenros廣義逆及它的分類進(jìn)行討論，得到了它們新表達(dá)式以及若干代數(shù)性質(zhì)，同時(shí)給出了它們在線性方程組和矩陣方程中的應(yīng)用，以及在最小二乘法解和極小問題解中的應(yīng)用。四、參考文獻(xiàn)：1. 尹釗，賈尚暉 .moorepenrose廣義逆矩陣與線性方程組的解j. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2009,(9) ：239-243. 2. 張賢達(dá) . 矩陣分析與應(yīng)用 m. 北京：清華大學(xué)出版社 ,2004. 3. 賈正華