正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)的周期性

1、正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)的周期性【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能借助正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象.2.借助圖象理解正弦函數(shù)的性質(zhì).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：正弦函數(shù)圖象的畫法 1描點(diǎn)法：按照列表、描點(diǎn)、連線三步法作出正弦函數(shù)圖象的方法。2幾何法利用三角函數(shù)線作出正弦函數(shù)在內(nèi)的圖象，再通過平移得到的圖象。3五點(diǎn)法先描出正弦曲線的波峰、波谷和三個(gè)平衡位置這五個(gè)點(diǎn)，再利用光滑曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。在確定正弦函數(shù)在上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是要點(diǎn)詮釋：（1）熟記正弦函數(shù)圖象起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)。（2）若，可先作出正弦函數(shù)在上的圖象，然后通

2、過左、右平移可得到的圖象。要點(diǎn)二：正弦曲線（1）定義：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線。（2）圖象要點(diǎn)詮釋：（1）由正弦曲線可以研究正弦函數(shù)的性質(zhì)。（2）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)有關(guān)的問題，如，方程根的個(gè)數(shù)。要點(diǎn)三：函數(shù)圖象的變換圖象變換就是以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)通過對(duì)稱、平移而得到。要點(diǎn)四：周期函數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)镮，當(dāng)時(shí)，都有，其中T是一個(gè)非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.要點(diǎn)詮釋：1.定義是對(duì)I中的每一個(gè)值來說的，只有個(gè)別的值滿足或只差個(gè)別的值不滿足都不能說T是的一個(gè)周期.2.對(duì)于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小

3、正周期.要點(diǎn)五：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)ysinx定義域R值域-1，1奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間（kZ）增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)（kZ）最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱中心（kZ）對(duì)稱軸（kZ）要點(diǎn)詮釋：（1）正弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個(gè)正弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時(shí)，應(yīng)先將變換為再求解，相當(dāng)于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求定義域

4、要點(diǎn)六：正弦型函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)要點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件（5）周期：函數(shù)

5、的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為【典型例題】類型一：“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的圖象例1作出函數(shù)在2，2上的圖象【思路點(diǎn)撥】由于，因此只需作出函數(shù)y=|cos x|，x2，2的圖象即可【解析】函數(shù)y=|cos x|，x2，2的圖象可采用將函數(shù)y=cos x，x2，2的圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方的方法得到，所得圖象如下圖所示 【總結(jié)升華】 作圖是一項(xiàng)很重要的能力，而“五點(diǎn)法”是作三角函數(shù)圖象的一種非常簡(jiǎn)便的方法在利用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，一定要弄清楚是哪五點(diǎn)

6、，為什么要取這五點(diǎn)等此外第（2）小題中我們使用了對(duì)稱變換，并且我們還可以發(fā)現(xiàn)，加了絕對(duì)值后，其周期變?yōu)樵瓉淼囊话肓伺e一反三：【變式】用五點(diǎn)法作出，函數(shù)的圖象【思路點(diǎn)撥】取上五個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)（0，2）、（，1）、（2，2）（2）取上五個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)【解析】 （1）找出五點(diǎn)，列表如下：x001010y=2u21232描點(diǎn)作圖（如下圖） 【總結(jié)升華】在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來，即可得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種近似的“五點(diǎn)法”是非常實(shí)用的類型二：利用圖象的變換作正弦函數(shù)圖象例2作函數(shù)的圖象；【思路點(diǎn)撥】要善于利用函數(shù)的圖象來作及的圖象?！窘馕觥繉⒒癁?，其圖象如下圖。

7、 【總結(jié)升華】 函數(shù)的圖象變換除了平移變換外，還有對(duì)稱變換，一般地，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，與的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，和圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。類型三：正弦函數(shù)定義域與值域例3求函數(shù)的定義域【答案】【解析】依題意得2sin x10，即，（kZ），函數(shù)的定義域?yàn)椤究偨Y(jié)升華】求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本身的符號(hào)及單調(diào)性，在進(jìn)行三角函數(shù)的變形時(shí)，要注意三角函數(shù)的每一步都保持恒等，即不能改變?cè)瘮?shù)的自變量的取值范圍例4求下列函數(shù)的值域：（1）y=|sin x|+sin x；（2），；【解析】 （1），又1sin x1，y0，2，即函數(shù)的值域?yàn)?，2。（2），。，0y2。

8、函數(shù)的值域?yàn)?，2?！究偨Y(jié)升華】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)舉一反三：【變式】求函數(shù)y=3sin2x4sin x+1，的值域?！敬鸢浮俊窘馕觥浚顃=sin x，因?yàn)?，所以t0，1，t0，1，所以。類型四：正弦函數(shù)單調(diào)性例5求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（1）；（2）?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）要將原函數(shù)化為再求之（2）這個(gè)函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性要由“內(nèi)函數(shù)”和“外函數(shù)”的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”。【解析】（1）.故由2k-2k+.3k-x3k+(kZ)，為單調(diào)減區(qū)間；由2k+-

9、2k+.3k+x3k+(kZ)，為單調(diào)增區(qū)間.遞減區(qū)間為3k-，3k+，遞增區(qū)間為3k+，3k+(kZ).（2）由sin x0，得2kx2k+（kZ）。，函數(shù)的遞增區(qū)間即為u=sin x的遞減區(qū)間，（kZ）。故函數(shù)的遞增區(qū)間為（kZ）?！究偨Y(jié)升華】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)由（kZ）或（kZ），求得x的范圍，即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這實(shí)際上是換元法的應(yīng)用。（2）求單調(diào)區(qū)間應(yīng)在定義域內(nèi)求解。 舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=-sin(x+)的單調(diào)區(qū)間：【答案】y=-|sin(x+)|的圖象的增區(qū)間為k+，k+，減區(qū)間為k-，k+.【變式2】三個(gè)數(shù)，的大小關(guān)系是（ ）A BC D【答案】C類型五：正弦

10、函數(shù)的奇偶性例6判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）。（3）。【解析】（1）xR，函數(shù)為偶函數(shù)。（2）由1+sin x0，即sin x1，（kZ），原函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（3）函數(shù)定義域?yàn)镽。，函數(shù)為奇函數(shù)?！究偨Y(jié)升華】判斷函數(shù)奇偶數(shù)時(shí)，必須先檢查定義域是否是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間。如果是，再驗(yàn)證是否等于或，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。舉一反三：【變式】關(guān)于x的函數(shù)=sin(x+)有以下命題：對(duì)任意的，都是非奇非偶函數(shù)；不存在，使既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；存在，使是奇函數(shù)；對(duì)任意的，都不是偶函數(shù).其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_.因?yàn)楫?dāng)=_時(shí)，

11、該命題的結(jié)論不成立.【思路點(diǎn)撥】當(dāng)=2k，kZ時(shí)，=sinx是奇函數(shù).當(dāng)=2(k+1)，kZ時(shí)仍是奇函數(shù).當(dāng)=2k+，kZ時(shí)，=cosx，當(dāng)=2k-，kZ時(shí)，=-cosx，都是偶函數(shù).所以和都是正確的.無論為何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).和都是假命題.【解析】，k(kZ)；或者，+k(kZ)；或者，+k(kZ)類型六：正弦函數(shù)的對(duì)稱性例7指出函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心；【解析】令，則的對(duì)稱軸方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）。函數(shù)的對(duì)稱軸方程是（kZ）。 同理，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為，即對(duì)稱中心為。舉一反三：【變式1】若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則a=_?！敬鸢浮俊咀兪?】已知函

12、數(shù)（a，b為常數(shù)，a0，xR）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)是（ ） A偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱B偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱【答案】 D【解析】 由題意知的圖象關(guān)于對(duì)稱，。a=b，。為奇函數(shù)且其圖象關(guān)于（，0）對(duì)稱，故選D。類型七：正弦函數(shù)的周期例8求函數(shù)的周期?！舅悸伏c(diǎn)撥】可直接利用公式； 【答案】（2）【解析】=3，?！究偨Y(jié)升華】求函數(shù)周期的方法大致有三種：（1）函數(shù)（A0，0，xR）的周期皆用公式：求解；（2）含絕對(duì)值符號(hào)的三角函數(shù)的周期可依據(jù)其圖象得到，如函數(shù)的周期為，而函數(shù)的周期為，與函數(shù)的周期相同；（3）利用周期

13、函數(shù)的定義求函數(shù)周期。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)，使f (x)的周期在內(nèi)，求正整數(shù)k .【答案】【解析】 ， 解得，所以 所以的取值為類型八：利用函數(shù)圖象解簡(jiǎn)單的三角不等式例9根據(jù)正弦曲線求滿足的x的范圍【思路點(diǎn)撥】先在一個(gè)周期內(nèi)求出x的范圍，然后加上周期的整數(shù)倍【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=sin x與的圖象，如下圖 觀察在一個(gè)周期的閉區(qū)間內(nèi)的情形，滿足的因?yàn)檎液瘮?shù)的周期是2，所以滿足的x的范圍是【總結(jié)升華】（1）一般地，對(duì)于y=sin x，觀察其一個(gè)周期常常是0，2或；對(duì)于y=cos x，觀察其一個(gè)周期常常是0，2或，（2）數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，它能把抽象的問題形象化、直觀化，

14、平時(shí)解題時(shí)要注意運(yùn)用（3）正、余弦函數(shù)的圖象有很多重要的應(yīng)用，其中利用正弦函數(shù)的圖象求角的范圍（即解三角不等式）是基本的應(yīng)用之一，要注意結(jié)合函數(shù)的圖象特點(diǎn)和正、余弦函數(shù)的周期性等進(jìn)行求解舉一反三：【變式1】已知，解不等式【解析】畫出函數(shù)y=sin x，的圖象，畫出函數(shù)的圖象，如下圖，兩函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中，故滿足的x的取值范圍是 類型九：三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用例10（1）方程的解的個(gè)數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D3（2）若函數(shù)，x0，2的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍（3）當(dāng)k為何值時(shí)，方程sin x+2|sin x|=k有一解、兩解、三解、四解？【答案】 （

15、1）D （2）1k3（3）k=3時(shí)，方程有一解；1k3時(shí)，方程有兩解；k=1或k=0時(shí)，方程有三解；0k1時(shí)，方程有四解【解析】 （1）作出與的圖象，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，與再無交點(diǎn)如圖所示，由圖知有三個(gè)交點(diǎn)，方程有三個(gè)解（2）圖象如圖，由圖象可知1k3（3）由圖象易知k=3時(shí)，方程有一解；1k3時(shí)，方程有兩解；k=1或k=0時(shí)，方程有三解；0k1時(shí)，方程有四解【總結(jié)升華】利用函數(shù)圖象討論不等式的解集和方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，既直觀又簡(jiǎn)捷，這就是我們常說的“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的應(yīng)用，請(qǐng)認(rèn)真體會(huì)舉一反三：【變式1】畫出圖象，判斷在0，2內(nèi)使sin xcos x成立的x的取值范圍 【解析】用“五點(diǎn)法”作出y=sin x，y=cos x（0x2）的簡(jiǎn)圖如圖由圖象可知（1）當(dāng)或時(shí)，sin x=cos x（2）當(dāng)時(shí)，sin xcos x（3）當(dāng)或時(shí)，sin xcos x故x0，2時(shí)要使sin xcos x，則