狹義相對論20151017

1、一、經(jīng)典力學(xué)的困難“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，這是說，我們看到的現(xiàn)象，或?qū)κ挛锏拿枋?，往往隨觀測角度的不同而不同。在物理學(xué)中描述一個物理過程，離不開參考系。例如，在運動的車廂頂部落下一個包裹，在地面上和在車廂內(nèi)看到它的軌跡是不同的，這就是所謂事物的相對性。經(jīng)典力學(xué)中，物體的速度與所選參考系有關(guān)，而利用經(jīng)典電磁學(xué)的麥克斯韋方程組可以得出真空中電磁波的傳播速度為真空介電常數(shù)0與真空磁導(dǎo)率0的幾何平均數(shù)的倒數(shù)，是一個與參考系無關(guān)的量。伽利略相對性原理和他的坐標(biāo)變換，已經(jīng)在超越個別參考系的描述方面，邁出重大的一步。它的一個重要結(jié)論，是速度的合成律，例如一個人以速度v相對自己擲出一個球，而他本人

2、又以速度u相對地面運動，則球出手時相對地面的速度為u+v。按常識，這種算法是天經(jīng)地義的；但把這種算法運用到光的傳播問題上，就產(chǎn)生了矛盾。設(shè)想兩個人傳球，甲將一個會發(fā)光的球傳給乙。乙看到球，是因為球發(fā)出的光線到達乙的眼睛。設(shè)兩人之間的距離為L，球發(fā)出的光相對它的傳播速度為c。甲即將傳球前，球處于靜止?fàn)顟B(tài)，球發(fā)出的光相對地面的速度就是c，乙看到此情景的時刻比甲延遲L/c；在極短沖擊力的作用下，球出手時速度達到v，按上述經(jīng)典的合成律，此刻由球發(fā)出的光相對地面的速度為v+c，乙看到球出手的時刻比甲晚L/(v+c)，也就是說，甲先看到球出手，后看到甲傳球。這種先后顛倒的現(xiàn)象誰也沒看到過。會有人說，由于光

3、速非常大，兩個時間差的差別微乎其微，在日常生活中是觀察不到的，這個例子沒有現(xiàn)實意義。那么來看一個天文上的例子。1731年英國一位天文愛好者用望遠鏡在南方夜空的金牛座發(fā)現(xiàn)蟹狀星云。根據(jù)后來的觀測推算，蟹狀星云是在公元1060年左右（地球上觀測到的時間）的一次超新星爆發(fā)拋出的氣體殼層。這一點在我國的史籍宋會要中有以下記載：“嘉佑元年三月，司天監(jiān)言，客星沒，客去之兆也。初，至和元年五月晨出東方，守天關(guān)。晝見如太白，芒角四出，色赤白，凡見二十三日?！碑?dāng)一顆超新星爆發(fā)時，它的外圍物質(zhì)向四面八方飛散，也就是說有些拋射物射向我們。如果光線服從經(jīng)典速度合成律的話，從蟹狀星云到地球的距離（約5000光年）和爆發(fā)

4、中拋射物的速度（約1500千米/秒）來計算，兩者發(fā)出的光到達地球的時間將相差25年，即地球?qū)⒃?5年內(nèi)持續(xù)看到超新星開始爆發(fā)時發(fā)出的強光。而史書記載，客星從出現(xiàn)到隱沒還不到2年。大海中輪船激起的波浪的速度只與洋流的速度有關(guān)，而與船的速度無關(guān)。這給上述問題提供了另外一種可能的解釋，即發(fā)光物體發(fā)出的光的傳播速度與發(fā)光物體的速度無關(guān)，只與傳播介質(zhì)的運動狀態(tài)有關(guān)。于是上述矛盾不復(fù)存在；但又出現(xiàn)了一個新的問題：傳播光線的介質(zhì)是什么？按照舊時的看法，是一種叫做“以太”（aether）的物質(zhì)，那地球以怎樣的速度在以太中運動？在地球上，如果能夠精確測定各個方向光速的差異，就可以確定地球相對于以太的運動；實驗的

5、精度足夠高時（達到量級），可在地球上測定各個方向光速的差異。1881年，邁克耳孫和莫雷首次用邁克耳孫干涉儀做了觀測實驗；6年后，進行了更精密的測量。從理論上分析，將儀器旋轉(zhuǎn)90o，應(yīng)有0.4個條紋的移動；實驗的結(jié)果卻是：根本不存在條紋移動。二、愛因斯坦狹義相對論的基本假設(shè)當(dāng)別人忙著在經(jīng)典物理框架內(nèi)用形形色色的理論來修補“以太說”時，愛因斯坦另辟蹊徑，提出兩個重要假設(shè)：1、相對性原理愛因斯坦的相對性原理與伽利略的思想基本上一致，即所有慣性系都是等價的，在它們之中所有的物理規(guī)律都一樣。但伽利略變換只適用于經(jīng)典力學(xué)，不保證電磁學(xué)（包括光）也滿足相對性原理。愛因斯坦提出的相對性原理希望把一切物理規(guī)律都

6、包括進去。2、光速不變原理在看到經(jīng)典力學(xué)與電磁學(xué)存在的矛盾后，愛因斯坦大膽假設(shè)提出假設(shè)：在所有慣性系中測得的真空光速c的大小都是相同的。三、洛倫茲變換推導(dǎo)兩個慣性系S系和S'系，其對應(yīng)的坐標(biāo)軸彼此平行。S'系相對S系以速率u沿x軸正方向運動，事件在兩個坐標(biāo)系的坐標(biāo)分別為(x,y,z,t)和(x',y',z',t')。當(dāng)t=t'=0時，兩個坐標(biāo)系的原點重合。經(jīng)典力學(xué)中從S系到S'系的伽利略坐標(biāo)變換式為逆變換為為調(diào)和經(jīng)典力學(xué)和經(jīng)典電磁學(xué)的矛盾，洛倫茲提出不同慣性系的物理方程應(yīng)該具有相同的形式，為此必須放棄絕對時間的概念，即稱為洛倫茲因

7、子，逆變換為設(shè)任意事件從S'系到S系的變換為（1）任意事件從S系到S'系的變換為（2）將（1）改寫為t'的表達式并把（2）帶入，得到（3）設(shè)由重合的原點O和O'在t=t'=0時刻發(fā)出沿x軸正向的光，波前坐標(biāo)分別為(x,y,z,t)和(x',y',z',t')，那么根據(jù)光速不變原理，有（4）（5）（1）和（2）相乘，得（6）將（4）和（5）代入（6），得（7）并記（8）當(dāng)u<<c（u遠遠小于c）時，1。（7）代入（3）得到（9）（10）四、狹義相對論的時空觀1、同時的相對性和時間延緩假設(shè)S'系中兩個事件(

8、x1',t1')和(x2',t2')在不同位置同時發(fā)生，即t1'=t2'=t'，則在S系中觀察結(jié)論：沿兩個慣性系相對運動方向配置的兩個事件，若在一個慣性系中同時發(fā)生，則在另一個慣性系中觀測，總是處于前一個慣性系運動后方的事件先發(fā)生。S'系中，在x'位置先后發(fā)生的兩個事件間隔事件t'=t2'-t1'，則在S系中測得結(jié)論：在一個慣性系中同一位置先后發(fā)生的兩個事件，在另一個慣性系中觀測其發(fā)生的時間間隔變長。2、長度收縮由于在S系中測兩端坐標(biāo)為同時發(fā)生的事件，所以t=0，故結(jié)論：運動的物體的測量長度縮短。3

9、、因果的絕對性因為u<c，所以vsc，所以t'與t同號，事件發(fā)生的先后次序不顛倒。無因果聯(lián)系（vs可以取任何值）的兩個事件，在不同慣性系中發(fā)生的先后順序可能顛倒。4、雙生子佯謬假設(shè)有兩個雙生子，甲留在地球上（忽略地球自轉(zhuǎn)），乙乘極高速的飛船到宇宙空間去旅行。經(jīng)過若干年，飛船返回到地球，甲和乙重逢時，地球上的甲認為乘飛船航行的乙比他年輕，而飛船上的乙認為地球上的甲比他年輕，相互矛盾。正確的答案是：甲和乙重逢時，乘飛船航行的乙比留在地球上的甲年輕一些。產(chǎn)生問題的原因在于不恰當(dāng)?shù)剡\用了狹義相對論，狹義相對論的前提是地球和飛船應(yīng)是兩個完全等價的慣性系，而本問題不滿足這一條件。乙乘極高速的

10、飛船到宇宙空間去旅行時，地球上的甲認為乘飛船航行的乙衰老速度較慢，而飛船上的乙認為地球上的衰老速度較慢；問題在于飛船返航前調(diào)頭的過程，地球相對飛船而言是從后方沿曲線運動到前方，不再是慣性系，故狹義相對論原理不再適用。這個過程需要用廣義相對論原理進行解釋，簡而言之就是在飛船調(diào)頭時，飛船內(nèi)的乙觀測到地球上的甲在迅速衰老。雙生子實驗在1971年完成：將具有極高精度的銫原子鐘放在飛機上，沿赤道向東和向西繞地球一周，回到原處后，分別比靜止在地面上的鐘慢了59納秒和快了273納秒。因為地球以一定的角速度自西向東轉(zhuǎn)動，地面不是慣性系，而地心指向太陽的參考系可認為是慣性系。由于飛機的速度總小于太陽的速度，因此

11、飛機相對慣性系總是向東轉(zhuǎn)的，只是沿赤道向東飛行時相對慣性系的速度大、向西飛行時小，靜止在地面上則介于兩者之間。上述實驗結(jié)果與廣義相對論（對時鐘的影響不僅有運動學(xué)效應(yīng)，還有引力效應(yīng)）的理論計算比較，在實驗誤差范圍內(nèi)相符。因而，我們今天不在說“雙生子佯謬”，而是稱之為“雙生子效應(yīng)”。五、速度的合成對位置x'和時間t'求導(dǎo)，有速度就是位置隨時間的變化，即其余速度分量同理。追光問題：當(dāng)vx'=c時，即真空光速與參考系無關(guān)。六、狹義相對論動力學(xué)1、相對論動量假設(shè)有兩個靜止時質(zhì)量相同（都為m0）的小球A和B，在光滑水平面（S系）上以大小相等、方向想法的速度在原點發(fā)生完全彈性斜碰撞，

12、運動方向與x軸夾角（銳角）為。碰撞后x方向上的速度分量不變，y方向上的速度分量發(fā)生交換。碰撞前A在x方向上的速度分量指向x軸正方向，在y方向上的速度分量指向y軸正方向。S'系相對S系的速度為u=v·cos，方向為x軸正方向?？紤]y'方向上的速度分量：S'系中碰撞前后y'方向上動量守恒，即化簡后得到當(dāng)0時，uv，上式變?yōu)榭紤]x'方向上的速度分量整理得解得帶入mB'表達式，得當(dāng)0時，A在S'系中靜止，mA'=m0，所以即，在慣性系中對一個以速度v運動的物體的質(zhì)量的測量結(jié)果為即運動物體的測量質(zhì)量增大。動量為2、力3、相對論動能

13、在一維下，因此有設(shè)質(zhì)點從位置a運動到位置b，速度從0增至v，質(zhì)量從m0變?yōu)閙，則故質(zhì)點速度為v時的動能為當(dāng)v<<c時，把Ek以為變量做泰勒展開，得4、質(zhì)能關(guān)系靜能：m0c2總能：E=Ek+m0c2=mc2總能增量：E=mc25、相對論動量與能量的關(guān)系七、高速運動物體的視覺形象尺度收縮效應(yīng)的形象是人們觀測物體上各點對觀察者所在參考系的同一時刻的位置（異地同時測量）構(gòu)成的形象，可稱為“測量形象”；而物體產(chǎn)生的“視覺形象”，即我們看到的（或照相機拍攝的）形象，是由物體上各點發(fā)出后同時到達觀察者的光線所組成，這些光想并不是同時自物體發(fā)出的。以運動物體作為參考系S'系，觀察者所在參考

14、系為S系。S'系相對于觀察者所在的S系以速率u沿x軸正方向運動。S'系中物體上一點P'的坐標(biāo)為(x',y')，在變換到S系為設(shè)觀察者處于垂直于運動的y負方向上，且很遠，這樣便可以認為從物體上各點射向觀察者的光線都平行于y軸。為了使光線同時到達觀察者，以坐標(biāo)原點為基準(zhǔn)，在它以上的點在x方向的位置需要有一定的提前量，以下的點則需要有延遲量。于是物體的形象發(fā)生剪切，這才是物體的視覺形象。S系中，在x方向上的平移量為x=ut，而是是光線走過距離y所需的時間。設(shè)構(gòu)成視覺形象的各點坐標(biāo)為(x*,y*)，則有變換關(guān)系在遠方的觀察者是物體在垂直于視線方向上的投影。把物體

15、的視覺形象與原物體放在一起對比，P'變到了P*位置，設(shè)P'到原點距離為R，以R為半徑作圓，再由P*作平行視線的光線交圓于點Q，則在觀察者看到的投影形象中P'似乎轉(zhuǎn)動了一個角度=P'OQ。令P'和Q的極坐標(biāo)分別為(R,)和(R,*)，則=*-，利用三角函數(shù)運算法則sin2+cos2=1計算（考慮象限）得進而得出該式表明，觀察者看到的高速運動的物體的形象似乎是原物體整體轉(zhuǎn)過一個角度=arcsin。該現(xiàn)象首先由Terrell發(fā)現(xiàn)，故稱為“Terrell轉(zhuǎn)動”。令即結(jié)合sin2+cos2=1，得則x*的極值為這說明，觀察者是“看不到”尺度收縮效應(yīng)的。八、閔可夫斯基空間與時空四矢量1、洛侖茲變換矩陣式中i為虛數(shù)單位。洛侖茲變換矩陣的逆等于其轉(zhuǎn)置，即L-1=LT。2、洛侖茲協(xié)變矢量：X=(x,y,z,ict)T稱為時空四矢量。其導(dǎo)數(shù)dX=(dx,