概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版 第七章 習題課7

1、第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計習習 題題 課課一、重點與難點一、重點與難點三、典型例題三、典型例題二、主要內容二、主要內容一、重點與難點一、重點與難點1.重點重點矩估計矩估計與與最大似然估計最大似然估計.一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計.2.難點難點最大似然估計最大似然估計矩估計量矩估計量估計量的評估計量的評選選二、主要內容二、主要內容最大似然估最大似然估計量計量最大似然估計的性質最大似然估計的性質似然函數(shù)似然函數(shù)無偏性無偏性正態(tài)總正態(tài)總體均值體均值方差的方差的置信區(qū)置信區(qū)間與上間與上下限下限有效性有效性置信區(qū)間和上下限置信區(qū)間和上下限求置信區(qū)間的求置信區(qū)間的步驟步驟相合性

2、相合性第七章第七章 備用例題備用例題例例1解解. , )0( . , 0 , , 0 , 00,e)( , )( 0大似然估計大似然估計的最的最試求試求只器件失效只器件失效此時有此時有束束結結試驗進行到預定時間試驗進行到預定時間投入獨立壽命實驗投入獨立壽命實驗在時刻在時刻只只從這批器件中任取從這批器件中任取未知未知其中其中其他其他概率密度概率密度指數(shù)分布指數(shù)分布服從服從以小時計以小時計設某種電子器件的壽命設某種電子器件的壽命 nkkttnttftt , , :0只器件未失效只器件未失效失效失效只器件只器件為止有為止有試驗到時間試驗到時間設事件設事件knkta 三、典型例題三、典型例題 ),(

3、tft 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為記記, 00,e1)( 其他其他ttft , 0 投入試驗投入試驗一只器件在一只器件在 t 0以前失效的概率為以前失效的概率為在時間在時間t)(0tf 0ttp ,e10t 0未失效的概率為未失效的概率為在時間在時間t)(10tf 0ttp ,e0t 根據(jù)試驗的獨立性根據(jù)試驗的獨立性, 的概率為的概率為事件事件 a,e e1)(00kntktknl ),)(e1lnln)(ln00tknkknlt , 0)(e1ed)(lnd 0000 tknktltt 令令 ,e 0knnt 得得 的最大似然估計為的最大似然估計為解得解得 .ln10knnt 解解?)05.

4、0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01, , ),( 22 問此儀器工作是否穩(wěn)定問此儀器工作是否穩(wěn)定算得算得個點個點今抽測今抽測超過超過按儀器規(guī)定其方差不得按儀器規(guī)定其方差不得現(xiàn)對該區(qū)進行磁測現(xiàn)對該區(qū)進行磁測從正態(tài)分布從正態(tài)分布設某異常區(qū)磁場強度服設某異常區(qū)磁場強度服sxn,05. 0,16 n, 5 .27)15(2025. 0 置信區(qū)間為置信區(qū)間為的的 1 2 ,26. 6)15(2975. 0 )1()1(,)1()1(22/1222/2nsnnsn ),00599. 0,00136. 0( .,0.012故此儀器工作穩(wěn)定故此儀器工作穩(wěn)定不超過不超過由于方差由于方差 例例

5、2備備 用用 例例 題題例例3解解. 2 (2) . ),;( , 05. 0)d,;(1) , , , . , ), ,( 222122的最大似然估計的最大似然估計求求的概率密度的概率密度是是其中其中估計估計的最大似然的最大似然的點的點求使得求使得的樣本的樣本是來自是來自未知未知設總體設總體 xpxxfaxxfxxxxnxan , 的最大似然估計分別為的最大似然估計分別為已知已知 ,x .)(121xxnnii axxf)d,;()1(2 ),;(),;(22 aff ,1 a ) (的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為 xf,05. 01 a要使要使95. 0 a),645. 1( ,645. 1 a

6、.645. 1 a由最大似然估計的不變性由最大似然估計的不變性,的最大似然估計是的最大似然估計是a. 645. 1 a2 (2) xp,21 由最大似然估計的不變性由最大似然估計的不變性, 2 的最大似然估計為的最大似然估計為知知 xp.212 xp例例4? , )3(. , )2(. 1 , )1(, , , , 0,e)( 2122121)(中哪一個較有效中哪一個較有效問問計量計量的無偏估的無偏估是是并驗證并驗證的矩估計量的矩估計量求求的無偏估計量的無偏估計量是是并驗證并驗證的最大似然估計量的最大似然估計量求求的樣本的樣本是來自是來自為未知參數(shù)為未知參數(shù)其他其他的概率密度的概率密度設總體設

7、總體 nxxxxxxfxnx 解解 , , , , , (1)2121的一個樣本值的一個樣本值是相應于樣本是相應于樣本設設nnxxxxxx似然函數(shù)為似然函數(shù)為 ., 0, ,e)(211)(其他其他 nnixxxxli , ), ,min( 21)1(nxxxx 記記 , , , )1(21 xxxxn相當于相當于由于由于 ., 0,e)( (1)(1)1xxlniinx 因而因而 , )( (1)的增加而遞增的增加而遞增隨隨時時當當 lx 0. )( (1) lx時時當當 , )(1)時取最大值時取最大值當當xl , )1(x 的最大似然估計值為的最大似然估計值為, )1(x 的最大似然估計

8、量的最大似然估計量 的分布函數(shù)的分布函數(shù)因為因為 x xxxfxf)d()( 其他其他, 0,e)( xxx ., 0,e1)(其他其他 xx )1(的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為則則 xnxxfxf)(1)()1( ., 0,e1)(其他其他 xxn )1(的概率密度為的概率密度為x )()1(xfx ., 0,e)(其他其他 xnxn )1(的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為x )()1(xe xnxxnde)( xxxnxndee)()(,1 n . )1(的無偏估計量的無偏估計量不是不是因此因此 x ,11 (1)nxn 因為因為 ,1 ne則則 . 11 (1)1的無偏估計量的無偏估計量是是于是于是

9、 nxn xxxexde)( (2)(因為因為 xxxxdee)()(, 1 , 1)( xe 所以所以. 1 2 x 的矩估計量的矩估計量)1()( 2 xee 因為因為,1)( xe . 12的無偏估計量的無偏估計量是是所以矩估計量所以矩估計量 x xxxexde)( (3)(22 xxxxxde2e)()(2,1)(22 22)()()(xexexd , 11)(1)(222 )1()( 2 xdd 故故)(xd )(1xdn ,1n )( 2)1(xe因為因為 xnxxnde)(2 xxxxnxnde2e)()(2,122 nn 2)1(2)1()1()()()(xexexd 22112 nnn ,12n nxdd1)(1)1 )(1)xd 21n n1 ),(2 d , 1 時時當當 n