離散時間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性及判別法

1、§ 5.4離散時間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性及判別法1.離散時間系統(tǒng)的平衡狀態(tài)(點) 設(shè)x(k 1) Ax(k), x(0)x0, k 0, 1, 2, L ,(5.17)稱AXe 0的Xe為(5.17)的平衡狀態(tài)(點).當(dāng)A奇異時，有無數(shù)個平衡狀態(tài).2.平衡狀態(tài)(點)的穩(wěn)定性(1)穩(wěn)定：0,0,使當(dāng)IIXo X時,有l(wèi)|x(k) x|, k 0；(2)漸近穩(wěn)定：0,使當(dāng)|X。X時,有l(wèi)kim x(k) x0；(3)全局漸近穩(wěn)定：任意X。Rn,都有l(wèi)im|x(k) Xe| k(4)不穩(wěn)定：o 0,無論多小正數(shù)，總有匕0,使x(kj x0對定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定全局一致漸近穩(wěn)定3穩(wěn)定性判別對定常系統(tǒng)x

2、(k 1) Ax(k)若xe 0穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定)，則其它xe也穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定)；若xe 0漸近穩(wěn)定，則xe必為一致全局漸近穩(wěn)定;簡單介紹xe 0穩(wěn)定性條件設(shè)(5.17)的解x(k) Akx0, k 0, 1,2, L則漸近穩(wěn)定pm|x(k) 0|阿|人乂|0(x°0),kkkk 1klim Ak 0 lim TJ kT 1 0 limJk0kkkA的所有特征值的模全小于15A的所有特征值都位于復(fù)平面上的單位圓內(nèi)其中J為A的若當(dāng)形.Ji如Jk且再如1k0J1kll0100JrJrkckk 1C2 k 2Ck0kC1 k 1Ck00k17A的所有特征值的模全小于 1A的所有特征值都位于復(fù)

3、平面上的單位圓內(nèi)則T,使例設(shè)A有互不相同特征值k18#Ak T 2 O T-1T#9由此可得n L 2 1 olim Ak 0.k定理5.12系統(tǒng)為(5.17)的穩(wěn)定性判定如下：(i) Xe 0穩(wěn)定 A所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊是一階的；(ii) Xe 0漸近穩(wěn)定A的所有特征值模全小于1.對一般非線性系統(tǒng)x(k 1)F(x(k), k 0, 1, 2, L(5.18)在Xe 0(設(shè)F (0)0)的穩(wěn)定性判定方法有定理5.13對(5.18),若x(k)的標量函數(shù)V(x(k),滿足(i) V(x(k)為正定；(ii) V(x(k) V(x(k 1) V(x(k)

4、負定；(iii) 當(dāng)|x(k)|時，有V(x(k).則xe 0全局漸近穩(wěn)定的. 若無(iii),則Xe 0是漸近穩(wěn)定的； 再若(ii)中V(x(k)為半負定，則Xe 0僅是穩(wěn)定的. 定理用于定常系統(tǒng)(5.17),即得定理5.14線性定常離散(5.17)的xe 0為漸近穩(wěn)定Q > 0,李雅普諾夫方程At PA Pat paQ有唯一解P 0,有唯一正定解P. 證只證充分性, 即已有對 Q > 0,TXkiPXk 1 x：PXk x：QXk,令 V(xQ x：PXk,則有V(xk) V(Xk i) V(Xk) x；(AtPA P)Xk顯見V(XQ為負定,故Xe 0漸近穩(wěn)定.例5.6設(shè)x(k1)a 0x(k)0 b試分析穩(wěn)定的條件. 解選Q = 1,則有AtPAP I ,即a 0P11P12a0pi1pi21 00 b p21 p220b p21 p220 1整理且比較，得Pn(1 a2) 1, P12(1 ab) 0, P22CI b2) 1, 要P為正定，需滿足|a| 1, |b| 1,(5.19)解出1小1p1