中考專題復(fù)習(xí)線段和差的最大值與最小值

1、中考專題 -線段和（差）的最值問(wèn)題一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析 ：一） 、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1、在一條直線m上，求一點(diǎn) p，使 pa+pb最小；（1）點(diǎn) a、b在直線 m兩側(cè)：（2）點(diǎn) a、b在直線同側(cè)：a、a 是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。2、在直線 m 、n 上分別找兩點(diǎn)p、q，使 pa+pq+qb最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2） 一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（ 4） 、臺(tái)球兩次碰壁模型變式一： 已知點(diǎn) a、b位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)d、e點(diǎn)，使得圍成的四邊形adeb 周長(zhǎng)最短. 填空：最短周長(zhǎng)=_ 變式二：已知點(diǎn) a位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè)

2、 , 在直線 m 、n 分別上求點(diǎn) p、q點(diǎn) pa+pq+qa 周長(zhǎng)最短 . pmabqpnmabpqnmabqpnmabbnmabedmnababpqmnaaa二） 、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：（一） 動(dòng)點(diǎn) 在直線上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn) b在直線 n 上運(yùn)動(dòng)， 在直線 m上找一點(diǎn) p，使 pa+pb 最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)p和點(diǎn) b）1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)：2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)：（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn) b在 o上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn) p，使 pa+pb最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)p和點(diǎn) b）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：三） 、已知 a、b是兩個(gè)定點(diǎn)， p、q是直線 m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， p在 q的左側(cè) , 且 pq

3、間長(zhǎng)度恒定 , 在直線 m上要求p、q兩點(diǎn)，使得pa+pq+qb 的值最小。 ( 原理用平移知識(shí)解) （1）點(diǎn) a、b在直線 m兩側(cè)：過(guò) a點(diǎn)作 ac m,且 ac長(zhǎng)等于 pq長(zhǎng)，連接 bc,交直線 m于 q,q向左平移 pq長(zhǎng)，即為 p點(diǎn)，此時(shí) p、q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn) a、b在直線 m同側(cè)：練習(xí)題1如圖，aob=45，p是aob內(nèi)一點(diǎn)，po=10，q、r分別是oa、ob上的動(dòng)點(diǎn)，求pqr周長(zhǎng)的最小值為pmoaba2、如圖 1，在銳角三角形abc中， ab=4,bac=45 ， bac的平分線交bc于點(diǎn) d，m,n分別是ad和 ab上的動(dòng)點(diǎn)，則bm+mn 的最小值為3、如圖，在銳角三角形

4、abc 中 ，ab=5 2，bac=45 ，bac的平分線交 bc于 d，m 、n分別是 ad和 ab上的動(dòng)點(diǎn)，則bm+mn 的最小值是多少4、如圖 4 所示，等邊 abc的邊長(zhǎng)為 6,ad 是 bc邊上的中線 ,m 是 ad上的動(dòng)點(diǎn) ,e是 ac邊上一點(diǎn) . 若 ae=2,em+cm 的最小值為 . 5、如圖 3，在直角梯形abcd 中， abc 90，ad bc ，ad 4，ab 5，bc 6，點(diǎn) p是 ab上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)pc pd的和最小時(shí)， pb的長(zhǎng)為 _6、如圖 4，等腰梯形 abcd 中，ab=ad=cd=1，abc=60 ， p是上底，下底中點(diǎn)ef直線上的一點(diǎn)，則pa+pb的最小

5、值為7、如圖 5 菱形 abcd 中，ab=2 ，bad=60 ，e 是 ab的中點(diǎn)， p是對(duì)角線 ac上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則pe+pb的最小值為8、如圖，菱形 abcd 的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)p是對(duì)角線 ac 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)m 、n分別是邊 ab 、bc 的中點(diǎn)，則 pm+pn 的最小值是9、如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm ，底面周長(zhǎng)為 18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn) cq處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)a處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)cm 10、 如圖，菱形abcd中， ab=2， a=120 ，點(diǎn) p，q， k 分別為線段bc，cd， bd上

6、的任意一點(diǎn)，則pk+qk的 最 小 值 為11、如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為 2，e為ab的中點(diǎn)，p是ac上一動(dòng)點(diǎn)則pb+pe的最小值是12、如圖 6 所示，已知正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為 8，點(diǎn)m 在 dc上，且 dm=2 ，n是 ac上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則dn+mn 的最小值為 13、如圖，正方形 abcd 的邊長(zhǎng)是 2，dac的平分線交 dc于點(diǎn) e，若點(diǎn) p、q分別是 ad和 ae上的動(dòng)點(diǎn)，則dq+pq 的最小值為14、如圖 7，在邊長(zhǎng)為 2cm的正方形 abcd 中，點(diǎn) q為 bc邊的中點(diǎn)，點(diǎn) p為對(duì)角線ac上一動(dòng)點(diǎn)，連接pb 、pq ，則 pbq 周長(zhǎng)的最小值為cm （結(jié)果不取近似值）1

7、5、如圖，o的半徑為 2，點(diǎn)a、b、c在o上，oaob，aoc=60，p是ob上一動(dòng)點(diǎn)，則pa+pc的最小值是16、如圖 8，mn是半徑為 1 的o的直徑，點(diǎn)a在 o上， amn 30， b為 an弧的中點(diǎn)， p是直徑 mn上一動(dòng)點(diǎn)，則pa pb的最小值為 ( ) (a)2 (b)(c)1 (d)2 解答題1、如圖 9，正比例函數(shù)y=x 的圖象與反比例函數(shù)y=（k0）在第一象限的圖象交于 a點(diǎn)，過(guò) a點(diǎn)作 x 軸的垂線，垂足為m ，已知三角形oam 的面積為 1. （1）求反比例函數(shù)的解析式；（2） 如果 b為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn) b與點(diǎn) a不重合），且b 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在 x

8、軸上求一點(diǎn) p，使 pa+pb 最小 . 2、 如圖，一元二 次 方程 x2+2x-3=0的二根x1，x2（ x1 x2）是拋物線y=ax2+bx+c 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)b， c的橫坐標(biāo)，且此拋物線過(guò)點(diǎn)a（ 3， 6） （ 1）求 此 二次函數(shù)的解析式；（ 2）設(shè) 此 拋 物 線 的 頂 點(diǎn) 為p， 對(duì) 稱 軸 與ac相 交于 點(diǎn) q， 求 點(diǎn) p 和 點(diǎn) q的坐標(biāo)；（ 3）在 x 軸上有一動(dòng)點(diǎn)m ， 當(dāng) mq+ma 取 得最小 值時(shí) ， 求 m點(diǎn) 的 坐標(biāo) 3、如圖 10，在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) a 的坐標(biāo)為（1，） ，aob 的面積是.（1）求點(diǎn) b的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn) a、o、b的拋

9、物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)c，使 aoc 的周長(zhǎng)最小若存在，求出點(diǎn) c的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；4如圖，拋物線y35x2185x3 和 y 軸的交點(diǎn)為a，m為oa的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)p，自m點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)e） ，再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)f） ，最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)a，求使點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)e，點(diǎn)f的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)5如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直角梯形oabc的邊oa在y軸的正半軸上，oc在x軸的正半軸上，oa=ab=2，oc=3，過(guò)點(diǎn)b作bdbc，交oa于點(diǎn)d將dbc繞點(diǎn)b按順時(shí)針?lè)较?/p>

10、旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)e和f（1）求經(jīng)過(guò)a、b、c三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）當(dāng)be經(jīng)過(guò)（ 1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求cf的長(zhǎng)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)p、q（點(diǎn)q在點(diǎn)p的上方），且pq1，要使四邊形bcpq的周長(zhǎng)最小，求出p、q兩點(diǎn)的坐標(biāo)6如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(2 ， 3），b(4 ，1）若c(a，0) ，d(a+3，0) 是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形abdc的周長(zhǎng)最短7、如圖 11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn) o在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)a、b分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上， oa=3 ，ob=4 ，d為邊 ob的中

11、點(diǎn) . （1）若 e為邊 oa上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)cde 的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)e的坐標(biāo)；（2）若 e、f為邊 oa上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ef=2 ，當(dāng)四邊形 cdef 的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) e、f 的坐標(biāo) . 二、求兩線段差的最大值問(wèn)題 ( 運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊) 基本圖形解析 ：1、在一條直線m上，求一點(diǎn) p，使 pa與 pb的差最大；（1）點(diǎn) a、b在直線 m同側(cè)：解析：延長(zhǎng)ab交直線 m于點(diǎn) p，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，papbab ，而 pa pb=ab此時(shí)最大， 因此點(diǎn) p為所求的點(diǎn)。mbapp（2）點(diǎn) a、b在直線 m異側(cè)：解析： 過(guò) b作關(guān)于直線 m的對(duì)稱點(diǎn)b,連接ab 交 點(diǎn)

12、直 線m 于p, 此 時(shí)pb=pb ，pa-pb最大值為 ab 練習(xí)題1. 如圖，拋物線y14x2x2的頂點(diǎn)為a，與y軸交于點(diǎn)b(1) 求點(diǎn)a、點(diǎn)b的坐標(biāo)；(2) 若點(diǎn)p是x軸上任意一點(diǎn)，求證：papbab；(3) 當(dāng)papb最大時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo) . 2. 如圖，已知直線y21x1 與y軸交于點(diǎn)a，與x軸交于點(diǎn)d，拋物線y21x2bxc與直線交于a、e兩點(diǎn)，與x軸交于b、c兩點(diǎn)，且b點(diǎn)坐標(biāo)為 (1 ，0) （1）求該拋物線的解析式；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)m，使|ammc| 的值最大，求出點(diǎn)m的坐標(biāo)3、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為（ 4， 1）和（ 2，5） ；點(diǎn) p是y 軸上的

13、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p在何處時(shí)， pa pb的和為最小并求最小值。點(diǎn)p在何處時(shí)， pa pb 最大并求最大值。4. 如圖，直線y3x2 與 x 軸交于點(diǎn)c，與y軸交于點(diǎn)b，點(diǎn)a為y軸正半軸上的一點(diǎn)，a經(jīng)過(guò)x c b a d o e y mabbppy c x b a 點(diǎn)b和點(diǎn)o，直線bc交a于點(diǎn)d（1）求點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2）過(guò)o，c，d三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)p，使線段po與pd之差的值最大若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)p的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5、拋物線的解析式為223yxx，交 x 軸與 a與 b,交 y 軸于 c，在其對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)p，使 apc周長(zhǎng)最小，若存在，求其坐標(biāo)

14、。在其對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)q，使 qb qc 的值最大，若存在求其坐標(biāo)。6、 已知：如圖，把矩形 ocba 放置于直角坐標(biāo)系中， oc=3 ， bc=2 ，取 ab的中點(diǎn) m ，連接 mc ，把 mbc 沿 x 軸的負(fù)方向平移oc的長(zhǎng)度后得到dao （1）試直接寫出點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)b 與點(diǎn) d在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)p 在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)p作 pq x 軸于點(diǎn) q ，連接 op 若以 o、p、q為頂點(diǎn)的三角形與dao 相似，試求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)t，使得 |to-tb| 的值最大7、如圖，已知拋物線c1的解析式為y=-x2+2x+8，圖象與

15、 y 軸交于 d點(diǎn)，并且頂點(diǎn)a在雙曲線上（1）求過(guò)頂點(diǎn)a的雙曲線解析式；（2）若開(kāi)口向上的拋物線c2與 c1的形狀、大小完全相同，并且c2的頂點(diǎn) p 始終在 c1上，證明：拋物線c2一定經(jīng)過(guò) a點(diǎn)；（3）設(shè)（ 2）中的拋物線c2的對(duì)稱軸 pf與 x 軸交于 f 點(diǎn)，且與雙曲線交于e點(diǎn)，當(dāng) d、o、e、f 四點(diǎn)組成的四邊形的面積為時(shí)，先求出p點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線y=x 上求一點(diǎn) m ，使|md-mp|的值最大8、如圖 , 已知拋物線經(jīng)過(guò) a(3，0) ，b(0，4) ，（1）.求此拋物線解析式（2）若拋物線與x 軸的另一交點(diǎn)為c，求點(diǎn) c關(guān)于直線 ab的對(duì)稱點(diǎn) c 的坐標(biāo)（3） 若點(diǎn)d是第二象限內(nèi)點(diǎn)

16、，以d為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線ab相切于點(diǎn)e、f、h，問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)p，使得 |phpa| 的值最大若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。三、其它非基本圖形類線段和差最值問(wèn)題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問(wèn)題往往是將各條線段串聯(lián)起來(lái)，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)a b c o x y a b c o x y d e f h 之間線段最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最

17、短的基本依據(jù)解決。1、如圖，在abc中，c=90，ac=4，bc=2，點(diǎn)a、c分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)a在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)c隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)b到原點(diǎn)的最大距離是（）a222 b 52 c。62 d 6 2、已知 : 在 abc 中， bc=a，ac=b ，以 ab 為邊作等邊三角形abd. 探究下列問(wèn)題 : （1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) d與點(diǎn) c位于直線 ab的兩側(cè)時(shí)，a=b=3，且 acb=60 ，則 cd= ；（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) d與點(diǎn) c位于直線 ab的同側(cè)時(shí)， a=b=6，且 acb=90 ，則cd= ；（3）如圖 3，當(dāng) acb變化, 且點(diǎn) d與點(diǎn) c位于直線 ab的兩

18、側(cè)時(shí)，求 cd 的最大值及相應(yīng)的 acb的度數(shù) . 圖1 圖2 圖 3 3、在 rtabc中，acb=90，tan bac=12. 點(diǎn)d在邊ac上（不與a，c重合） ，連結(jié)bd，f為bd中點(diǎn) . （1）若過(guò)點(diǎn)d作deab于e，連結(jié)cf、ef、ce，如圖 1 設(shè)cfkef，則k= ；（2）若將圖 1 中的ade繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，使得d、e、b三點(diǎn)共線，點(diǎn)f仍為bd中點(diǎn)，如圖 2 所示求證：be-de=2cf；（3）若bc=6，點(diǎn)d在邊ac的三等分點(diǎn)處，將線段ad繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)f始終為bd中點(diǎn)，求線段cf長(zhǎng)度的最大值4、如圖，四邊形abcd是正方形， abe 是等邊三角形， m為對(duì)角線bd （不含 b點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將bm繞點(diǎn) b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到 bn ，連接 en 、am 、cm. 求證： amb enb ； 當(dāng) m點(diǎn)在何處時(shí)， am cm的值最??；當(dāng) m點(diǎn)在何處時(shí)， am bm cm的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng) am bm cm的最小值為13時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng). 5、 如