中考專題復(fù)習(xí)線段和差的最大值與最小值

1、中考專題 -線段和（差）的最值問題一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析 ：一） 、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點 p，使 pa+pb最?。唬?）點 a、b在直線 m兩側(cè)：（2）點 a、b在直線同側(cè)：a、a 是關(guān)于直線m的對稱點。2、在直線 m 、n 上分別找兩點p、q，使 pa+pq+qb最小。（1）兩個點都在直線外側(cè)：（2） 一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：（3）兩個點都在內(nèi)側(cè)：（ 4） 、臺球兩次碰壁模型變式一： 已知點 a、b位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點d、e點，使得圍成的四邊形adeb 周長最短. 填空：最短周長=_ 變式二：已知點 a位于直線 m,n 的內(nèi)側(cè)

2、 , 在直線 m 、n 分別上求點 p、q點 pa+pq+qa 周長最短 . pmabqpnmabpqnmabqpnmabbnmabedmnababpqmnaaa二） 、一個動點，一個定點：（一） 動點 在直線上運動：點 b在直線 n 上運動， 在直線 m上找一點 p，使 pa+pb 最?。ㄔ趫D中畫出點p和點 b）1、兩點在直線兩側(cè)：2、兩點在直線同側(cè)：（二）動點在圓上運動點 b在 o上運動，在直線m上找一點 p，使 pa+pb最小（在圖中畫出點p和點 b）1、點與圓在直線兩側(cè)：2、點與圓在直線同側(cè)：三） 、已知 a、b是兩個定點， p、q是直線 m上的兩個動點， p在 q的左側(cè) , 且 pq

3、間長度恒定 , 在直線 m上要求p、q兩點，使得pa+pq+qb 的值最小。 ( 原理用平移知識解) （1）點 a、b在直線 m兩側(cè)：過 a點作 ac m,且 ac長等于 pq長，連接 bc,交直線 m于 q,q向左平移 pq長，即為 p點，此時 p、q即為所求的點。（2）點 a、b在直線 m同側(cè)：練習(xí)題1如圖，aob=45，p是aob內(nèi)一點，po=10，q、r分別是oa、ob上的動點，求pqr周長的最小值為pmoaba2、如圖 1，在銳角三角形abc中， ab=4,bac=45 ， bac的平分線交bc于點 d，m,n分別是ad和 ab上的動點，則bm+mn 的最小值為3、如圖，在銳角三角形

4、abc 中 ，ab=5 2，bac=45 ，bac的平分線交 bc于 d，m 、n分別是 ad和 ab上的動點，則bm+mn 的最小值是多少4、如圖 4 所示，等邊 abc的邊長為 6,ad 是 bc邊上的中線 ,m 是 ad上的動點 ,e是 ac邊上一點 . 若 ae=2,em+cm 的最小值為 . 5、如圖 3，在直角梯形abcd 中， abc 90，ad bc ，ad 4，ab 5，bc 6，點 p是 ab上一個動點，當(dāng)pc pd的和最小時， pb的長為 _6、如圖 4，等腰梯形 abcd 中，ab=ad=cd=1，abc=60 ， p是上底，下底中點ef直線上的一點，則pa+pb的最小

5、值為7、如圖 5 菱形 abcd 中，ab=2 ，bad=60 ，e 是 ab的中點， p是對角線 ac上的一個動點，則pe+pb的最小值為8、如圖，菱形 abcd 的兩條對角線分別長6和8，點p是對角線 ac 上的一個動點， 點m 、n分別是邊 ab 、bc 的中點，則 pm+pn 的最小值是9、如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm ，底面周長為 18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點 cq處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點a處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_cm 10、 如圖，菱形abcd中， ab=2， a=120 ，點 p，q， k 分別為線段bc，cd， bd上

6、的任意一點，則pk+qk的 最 小 值 為11、如圖，正方形abcd的邊長為 2，e為ab的中點，p是ac上一動點則pb+pe的最小值是12、如圖 6 所示，已知正方形 abcd 的邊長為 8，點m 在 dc上，且 dm=2 ，n是 ac上的一個動點，則dn+mn 的最小值為 13、如圖，正方形 abcd 的邊長是 2，dac的平分線交 dc于點 e，若點 p、q分別是 ad和 ae上的動點，則dq+pq 的最小值為14、如圖 7，在邊長為 2cm的正方形 abcd 中，點 q為 bc邊的中點，點 p為對角線ac上一動點，連接pb 、pq ，則 pbq 周長的最小值為cm （結(jié)果不取近似值）1

7、5、如圖，o的半徑為 2，點a、b、c在o上，oaob，aoc=60，p是ob上一動點，則pa+pc的最小值是16、如圖 8，mn是半徑為 1 的o的直徑，點a在 o上， amn 30， b為 an弧的中點， p是直徑 mn上一動點，則pa pb的最小值為 ( ) (a)2 (b)(c)1 (d)2 解答題1、如圖 9，正比例函數(shù)y=x 的圖象與反比例函數(shù)y=（k0）在第一象限的圖象交于 a點，過 a點作 x 軸的垂線，垂足為m ，已知三角形oam 的面積為 1. （1）求反比例函數(shù)的解析式；（2） 如果 b為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點 b與點 a不重合），且b 點的橫坐標(biāo)為1，在 x

8、軸上求一點 p，使 pa+pb 最小 . 2、 如圖，一元二 次 方程 x2+2x-3=0的二根x1，x2（ x1 x2）是拋物線y=ax2+bx+c 與 x 軸的兩個交點b， c的橫坐標(biāo)，且此拋物線過點a（ 3， 6） （ 1）求 此 二次函數(shù)的解析式；（ 2）設(shè) 此 拋 物 線 的 頂 點 為p， 對 稱 軸 與ac相 交于 點 q， 求 點 p 和 點 q的坐標(biāo)；（ 3）在 x 軸上有一動點m ， 當(dāng) mq+ma 取 得最小 值時 ， 求 m點 的 坐標(biāo) 3、如圖 10，在平面直角坐標(biāo)系中， 點 a 的坐標(biāo)為（1，） ，aob 的面積是.（1）求點 b的坐標(biāo)；（2）求過點 a、o、b的拋

9、物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點c，使 aoc 的周長最小若存在，求出點 c的 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；4如圖，拋物線y35x2185x3 和 y 軸的交點為a，m為oa的中點，若有一動點p，自m點處出發(fā)，沿直線運動到x軸上的某點（設(shè)為點e） ，再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設(shè)為點f） ，最后又沿直線運動到點a，求使點p運動的總路程最短的點e，點f的坐標(biāo)，并求出這個最短路程的長5如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直角梯形oabc的邊oa在y軸的正半軸上，oc在x軸的正半軸上，oa=ab=2，oc=3，過點b作bdbc，交oa于點d將dbc繞點b按順時針方向

10、旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點e和f（1）求經(jīng)過a、b、c三點的拋物線的解析式；（2）當(dāng)be經(jīng)過（ 1）中拋物線的頂點時，求cf的長；（3）在拋物線的對稱軸上取兩點p、q（點q在點p的上方），且pq1，要使四邊形bcpq的周長最小，求出p、q兩點的坐標(biāo)6如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，a，b兩點的坐標(biāo)分別為a(2 ， 3），b(4 ，1）若c(a，0) ，d(a+3，0) 是x軸上的兩個動點，則當(dāng)a為何值時，四邊形abdc的周長最短7、如圖 11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點 o在坐標(biāo)原點，頂點a、b分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上， oa=3 ，ob=4 ，d為邊 ob的中

11、點 . （1）若 e為邊 oa上的一個動點，當(dāng)cde 的周長最小時，求點e的坐標(biāo)；（2）若 e、f為邊 oa上的兩個動點，且ef=2 ，當(dāng)四邊形 cdef 的周長最小時，求點 e、f 的坐標(biāo) . 二、求兩線段差的最大值問題 ( 運用三角形兩邊之差小于第三邊) 基本圖形解析 ：1、在一條直線m上，求一點 p，使 pa與 pb的差最大；（1）點 a、b在直線 m同側(cè)：解析：延長ab交直線 m于點 p，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，papbab ，而 pa pb=ab此時最大， 因此點 p為所求的點。mbapp（2）點 a、b在直線 m異側(cè)：解析： 過 b作關(guān)于直線 m的對稱點b,連接ab 交 點

12、直 線m 于p, 此 時pb=pb ，pa-pb最大值為 ab 練習(xí)題1. 如圖，拋物線y14x2x2的頂點為a，與y軸交于點b(1) 求點a、點b的坐標(biāo)；(2) 若點p是x軸上任意一點，求證：papbab；(3) 當(dāng)papb最大時，求點p的坐標(biāo) . 2. 如圖，已知直線y21x1 與y軸交于點a，與x軸交于點d，拋物線y21x2bxc與直線交于a、e兩點，與x軸交于b、c兩點，且b點坐標(biāo)為 (1 ，0) （1）求該拋物線的解析式；（3）在拋物線的對稱軸上找一點m，使|ammc| 的值最大，求出點m的坐標(biāo)3、在直角坐標(biāo)系中，點a、b的坐標(biāo)分別為（ 4， 1）和（ 2，5） ；點 p是y 軸上的

13、一個動點，點p在何處時， pa pb的和為最小并求最小值。點p在何處時， pa pb 最大并求最大值。4. 如圖，直線y3x2 與 x 軸交于點c，與y軸交于點b，點a為y軸正半軸上的一點，a經(jīng)過x c b a d o e y mabbppy c x b a 點b和點o，直線bc交a于點d（1）求點d的坐標(biāo)；（2）過o，c，d三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點p，使線段po與pd之差的值最大若存在，請求出這個最大值和點p的坐標(biāo)若不存在，請說明理由5、拋物線的解析式為223yxx，交 x 軸與 a與 b,交 y 軸于 c，在其對稱軸上是否存在一點p，使 apc周長最小，若存在，求其坐標(biāo)

14、。在其對稱軸上是否存在一點q，使 qb qc 的值最大，若存在求其坐標(biāo)。6、 已知：如圖，把矩形 ocba 放置于直角坐標(biāo)系中， oc=3 ， bc=2 ，取 ab的中點 m ，連接 mc ，把 mbc 沿 x 軸的負(fù)方向平移oc的長度后得到dao （1）試直接寫出點d的坐標(biāo)；（2）已知點b 與點 d在經(jīng)過原點的拋物線上，點p 在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點p作 pq x 軸于點 q ，連接 op 若以 o、p、q為頂點的三角形與dao 相似，試求出點p的坐標(biāo)；試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點t，使得 |to-tb| 的值最大7、如圖，已知拋物線c1的解析式為y=-x2+2x+8，圖象與

15、 y 軸交于 d點，并且頂點a在雙曲線上（1）求過頂點a的雙曲線解析式；（2）若開口向上的拋物線c2與 c1的形狀、大小完全相同，并且c2的頂點 p 始終在 c1上，證明：拋物線c2一定經(jīng)過 a點；（3）設(shè)（ 2）中的拋物線c2的對稱軸 pf與 x 軸交于 f 點，且與雙曲線交于e點，當(dāng) d、o、e、f 四點組成的四邊形的面積為時，先求出p點坐標(biāo)，并在直線y=x 上求一點 m ，使|md-mp|的值最大8、如圖 , 已知拋物線經(jīng)過 a(3，0) ，b(0，4) ，（1）.求此拋物線解析式（2）若拋物線與x 軸的另一交點為c，求點 c關(guān)于直線 ab的對稱點 c 的坐標(biāo)（3） 若點d是第二象限內(nèi)點

16、，以d為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線ab相切于點e、f、h，問在拋物線的對稱軸上是否存在一點一點p，使得 |phpa| 的值最大若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由。三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點，根據(jù)兩點a b c o x y a b c o x y d e f h 之間線段最短以及點到線的距離垂線段最

17、短的基本依據(jù)解決。1、如圖，在abc中，c=90，ac=4，bc=2，點a、c分別在x軸、y軸上，當(dāng)點a在x軸上運動時，點c隨之在y軸上運動，在運動過程中，點b到原點的最大距離是（）a222 b 52 c。62 d 6 2、已知 : 在 abc 中， bc=a，ac=b ，以 ab 為邊作等邊三角形abd. 探究下列問題 : （1）如圖 1，當(dāng)點 d與點 c位于直線 ab的兩側(cè)時，a=b=3，且 acb=60 ，則 cd= ；（2）如圖 2，當(dāng)點 d與點 c位于直線 ab的同側(cè)時， a=b=6，且 acb=90 ，則cd= ；（3）如圖 3，當(dāng) acb變化, 且點 d與點 c位于直線 ab的兩

18、側(cè)時，求 cd 的最大值及相應(yīng)的 acb的度數(shù) . 圖1 圖2 圖 3 3、在 rtabc中，acb=90，tan bac=12. 點d在邊ac上（不與a，c重合） ，連結(jié)bd，f為bd中點 . （1）若過點d作deab于e，連結(jié)cf、ef、ce，如圖 1 設(shè)cfkef，則k= ；（2）若將圖 1 中的ade繞點a旋轉(zhuǎn)，使得d、e、b三點共線，點f仍為bd中點，如圖 2 所示求證：be-de=2cf；（3）若bc=6，點d在邊ac的三等分點處，將線段ad繞點a旋轉(zhuǎn)，點f始終為bd中點，求線段cf長度的最大值4、如圖，四邊形abcd是正方形， abe 是等邊三角形， m為對角線bd （不含 b點）上任意一點，將bm繞點 b逆時針旋轉(zhuǎn)60得到 bn ，連接 en 、am 、cm. 求證： amb enb ； 當(dāng) m點在何處時， am cm的值最?。划?dāng) m點在何處時， am bm cm的值最小，并說明理由； 當(dāng) am bm cm的最小值為13時，求正方形的邊長. 5、 如