存在性與恒成立

1、x專題訓(xùn)練恒成立存在性問題知識點(diǎn)梳理1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化:恒成立 amaxa f x恒成立X min2、能成立問題的轉(zhuǎn)化:能成立 aX mina f x能成立xmax8 設(shè)函數(shù) f X > g X，存在 Xi a, b，存在 X2 c, d，使得 f Xig X?，則 fmin x gmax X9、 若不等式f X g X在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上函數(shù)y f x和圖象在 函數(shù)y g x圖象上方；10、若不等式f x g x在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上函數(shù)y f x和圖象 在函數(shù)y g x圖象下方；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：a f x在M上恒成立 a f x在CrM上恒成

2、立在M上恰成立aX的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若x D, f(x)若xf (X)在D上的最小值fmin(X)D, f(x) B在D上恰成立，則等價(jià)于f(x)在D上的最大值fmax(x)A在D上恰成立，等價(jià)于4、設(shè)函數(shù)f x、，對任意的兀a,b，存在X2c, d，使得 f xig X2，則min X g min X5、設(shè)函數(shù)f x、，對任意的Xia , b，存在X2c, d，使得f %g X2，則max X g max X6設(shè)函數(shù)f x、，對任意的Xia , b，存在X2c ,d ，使得 f Xi =gX2，則 f在Xia ,b上的值域M是g x在X2c,d上的值域N的子集。即：M No題型一、常見

3、方法i、已知函數(shù) f (x) x2 2ax i， g(x)-，其中 a 0， x 0 .x1) 對任意X i,2，都有f(x) g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2) 對任意Xi i,2,X2 2,4，都有f(xj g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【分析：】1) 思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x) g(x) 0恒成立，在通過分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決.2) 思路、對在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù) f(x)和g(x)分別求最值，即只需滿足fmin(x) gma”)即可.7、設(shè)函數(shù) f x > g x，存在 Xi a , b，存在 X2c , d，使得 f Xi g X2，則 fmax x g

4、min xX簡解：(1)由x22ax33廿1成立，只需滿足(x)尸的最小值大于3、已知兩函數(shù)f(x) x2 , g(x) -2對任意Xi0,2，存在X21,2，使得a即可.對(x)x32x2i求導(dǎo),(X)2x4帚1 0，故(X)在x 1,2是增函數(shù),f (Xi)g X2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為min (x)(i)所以a的取值范圍是0 a解析：對任意Xi 0,2,存在X21,2，使得f (Xi) g X2等價(jià)于g(X)m在i,2上2、設(shè)函數(shù)h(X)1 1X b，對任意a ?,2，都有h(x) 10在x ：,1恒成立，求實(shí)數(shù)b的1的最小值- m不大于42if(X) X2在0'2上的最小值0,

5、既；取值范圍.分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù), 實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決.再處理另一個(gè)參數(shù)以本題為例,4.已知 f(x) 2ax -x1Inx在x 1與x -處都取得極值.2ii意的Xi -,2，總存在X2 -,2，使得、Xi方法i:化歸最值,h(X) I0hmax ( x)I0 ；b解析：I f(x) 2ax - Inx, f (x)2a方法2:變量分離,b I0 (axx)或a(i0b)X ;方法3:變更主元,1(a)-xI0取得極值f (i)0，f(?)2a2a函數(shù)g(x) =g(Xi) f(X2) ln X2，b2X1 Hf (x) 2axxb i4b 2 0解得:簡

6、解：方法i：對 h(x) g(x)b求導(dǎo),h(x)(x a)(x a)f(x) Ii3x212(x1)(x3x2由此可知,iih(x)在丄,i上的最大值為h(2)與h(i)中的較大者.442mx+m，若對任求實(shí)數(shù)m的取值范圍-Inx 在 x 1 與 x x所以函數(shù)f(x)在X i與X處都取得極值.ih(-) I04h(i) I0I4a b I04i a b I039b 4ai74，對于任意a -,2，得b的取值范圍是b -b 9 a24又函數(shù)y=f (x)In x211x+在,2上遞減，二33x2f(x)Xmf(2)=-Q又 函數(shù)g(x) = x 2mx+m圖象的對稱軸是x=m函數(shù)大于等于0恒

7、成立的問題。(n )略解：由(I )知：f(x) x , g(x) x sinx，: g(x)在11當(dāng)噸時(shí)：g(x)min=g(=4，依題意有17成立,1m< 2上單調(diào)遞減,g(x)cosx 0cosx在 1 ,上恒成立,1, g(X)max g( 1)sin1,只需 sin1 t(t 1) t21 2(2)當(dāng) 2 m 2 時(shí)：g(x)min=g(m)=m m，: m6m 70 ,解得:f (t 1)t2sinl 10(1),則sin1 1 0 (其中t 10t 1 t2 sin1 101)恒成立，由上述結(jié)論:t 1由22，而 t t sin1t2 t sin1 0 '可令0恒成

8、立,3 .513+ .51m -6 63+ .516題型三、分離參數(shù)法(欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來)(3)當(dāng) m>2 時(shí)：g(x)min=g(2)=47317， m 18，又 m>2，二 m1、當(dāng)x 1,2時(shí)，不等式x2 mx 4 0恒成立，則m的取值范圍是.綜上：m生型所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(63+ .51 62解析：當(dāng) x (1,2)時(shí)，由 x2 mx 4 0 得 m-一 .二 m 5.x題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)題型四、數(shù)形結(jié)合(恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點(diǎn)、根的分布法)1、對于滿足|p2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2px

9、2x恒成立的x的取值范圍1、若對任意x R,不等式|x| ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解：不等式即x/2小1 p x 2x10,設(shè) f p2x1，則 f p 在-2,2解析：對 x R,不等式|X| ax恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知1 a 1，即1 a 1。恒大于0,故有:x2 4x 30x2 102、已知函數(shù)f xx2 2kx2 ,在x 1恒有f x k，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。2、已知函數(shù)f(x)xln(e a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g xf(x) sinx是區(qū)間1,1上分析：為了使f x k在x1, 恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F x f x k，則把原題轉(zhuǎn)化成的減函數(shù)，(

10、I)求a的值；(n)若g(x) t2t 1在X1,1上恒成立，求t的取值范圍;左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,時(shí)恒大于等于0的問題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討(n)分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母:及t,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量,論，使問題得到圓滿解決。另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將 視作自變量,則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在 ，1內(nèi)關(guān)于 的一次解：令F x f x k x2 2kx 2 k，則F x 0對x 1,恒成立，而F x是開口向上的拋物線。當(dāng)圖象與x軸無交點(diǎn)滿足0，即4k2 2 2 k 0，解得2 k 1。當(dāng)圖象與x軸有交點(diǎn)，且在x 1,時(shí)F x 0，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識及圖 象可

11、得：0F 1 0解得3 k 2，故由知3 k 1。2k122、已知函數(shù)f x解:0,4，.°. a2 3a 4，解得 a 4或a 1。ln x 1 ax2 2x a 0存在單調(diào)遞減區(qū)間,a的取值范圍因?yàn)楹瘮?shù)f有解.即a存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f x1 12xx 0, 能成立,設(shè)U1-ax x1 得，umin x 1.于是，a1,ax2 2x 10a 0小結(jié)：若二次函數(shù)y ax2 bx c a 0大于0恒成立，則有0，同理，若二次函數(shù)a 0y ax2 bx ca 0小于0恒成立，則有。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題,還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。題型五、不等式能成立

12、問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f x A成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f x max A ；由題設(shè)a 0,所以a的取值范圍是 1,0 0,小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn) 化，切不可混為一體。若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f xB成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的f Xmin B.1、存在實(shí)數(shù)x，使得不等式x 3 x 1 a2 3a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。解：設(shè) f x x 3 x 1，由 f X a2 3a 有解， a2 3a f x min，不等式f x M對x不等式f x M對x不等式f x M對

13、x時(shí)恒成立時(shí)有解時(shí)恒成立f max(x)M?，fmin(x) M?， xfmin(x) M?，f x的上界小于或等于M ;或f x的下界小于或等于M ;即f x的下界大于或等于M ;不等式f x M對x I時(shí)有解 fmax(X)M， x I .?；騠 X的上界大于或等于M ；5、已知兩函數(shù)f x 7x2 28x c，32g x 2x 4x 40x。題型六、等式能成立問題(有解、存在性)的處理方法(1)對任意x 3,3，都有f xg x成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍;1.已知函數(shù)f (x) ax ln x, x (1,e),且f (x)有極值(2)存在x3,3，使 f x g x成立，求實(shí)數(shù)c的取值范

14、圍;(I )求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)對任意X1，X23,3，都有fx1 g x2，求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(H) 若 l<m<n<e,證明(4)存在 X1 , X23,3，都有f Xg x2，求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(川)函數(shù)g(x) x32,證明：人(1,e), x°(1,e),使得 g(x°)f(xj 成立.6、設(shè)函數(shù)f(x)1 3 2 2x 2 ax 3a x b (0 a 1, b R). 3課后作業(yè):(I)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值;1、設(shè)a 1 ,若對于任意的a,2a，都有y a,a2滿足方程logaX loga y 3,這時(shí)a的(U)若對任意的x a 1,a 2,不等式fa成立，求a的取值范圍。取值集合為(A) a |1 a2(B) a|a 2(C) a|2 a 3(D) 2,37、已知A、BC是直線 上的三點(diǎn)，向量6AOB OC滿足：OA y 2f 1 OB l nx 1OC 0.2、若任意滿足05 0的實(shí)數(shù)x,y，不等式a(x2 y2) (x y)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大0(1)求函數(shù)y = f(x)的表達(dá)式;(2)若 x>0,證明:f(x)2x> x + 2;值是3、不等式sin2x4sin x1