已知一點的應力狀態(tài)MPa

1、1-10.已知一點的應力狀態(tài)匚j二第一章20-1510 MPa ,試求該應力空間中0一10 丿x -2y 2z = 1的斜截面上的正應力；n和切應力 n為多少?解：若平面方程為 Ax+By+Cz+D=0,則方向余弦為:lA2 B2 C2m =JA2 +B2 +C2.A2 B2 C2因此：I二J12 +(-2)2 +22-2Sx =Sy=Sz =12 (-2)2222;n =3 12 (-2)2221-T x I + t xy m + t xz n= 20050 -331 2T xy I + T y m + T zyn = 50150 32002 100335032T xz I + T yz m

2、+ (T z n= - 10032_200 2-Sxl Sym Szn 二型 1-型333333煙1119浮卜12500二12500 -叫2 =13.41-11 已知 OXYZ坐標系中，物體內(nèi)某點的坐標為(4 , 3 , -12 ),其應力張量為:解:J21004050，求出主應力，應力偏量及球張量，八面體應力。-203010丿J1pz 2 2 2-40 -(-20) -30二 z =100+50-10=140一 Tyz2 -Txz2-Xy =100 X 50+50 X( -10 ) +100 X( -10 )22=600J3 =；x；y；z ' 2 xy yz xz _ ；x yz2

3、22y xz z xy =-1920003二-140 二600二-192000 =053.3<46.7、叫=403.3046.7<-2030-56.7 、00046.7 ;o- 8= d m =46.7”=140/3=46.7d 1 =122.2, d 2=31.7, d 3=49.512228 =： 3(1-6)(；2 -二 3)(二 3 -)3= 39.1231-12設(shè)物體內(nèi)的應力場為 二x - -6xy qx ,-| C2 xy2 , xy 一 -C2y32-C3X y ,= yz = - zx =0，試求系數(shù) C1, c2, c3°解:由應力平衡方程的:222-6

4、y 3c1x -3c2y2-c3x0CT CCT CTyx十 y十 yzcz-X:y=-2c3xy - 3c2xy =0254x-X：:y1弦為l=m= ,212的斜截面上的全應力、主應力和剪應力。即：_(6+302”2+3-5*2=0(1)- 2c3 - 3c2 = 0(2)有（1）可知：因為x與y為任意實數(shù)且為平方，要使（1）為零，必須使其系數(shù)項為零，因此，-6-3c2=0(3)3C1-C3=0(4)聯(lián)立（2 ）、（ 3 ）和（4）式得：即：C1 = 1 , c2 = 2 , C3=350508011-13.已知受力物體內(nèi)一點應力張量為：Wj -500-75 MPa,求外法線方向余型0-7

5、530丿111解：Sxx i + t xy m+ t xz n = 505080 ：50 40.22 2 2Sy = T xy l + (T y m+ T zy n =50 - - 7512 、2= 25-375 2111f-Sz = t xz l + t yz m+ t z n= 8075302.5 -15 22 2 2S=111.7J1=20J2=16025J3=-80625032T -20 T -16025 T +806250=0方程具有三個不相等的實根!t 1=-138.2, t 2=99.6, t 3=58.61-14.在直角坐標系中，已知物體內(nèi)某點的應力張量為100-10'

6、0500-10-5-10a) Wj =0-100MPa ;匕)5 =5000MPa; c)b ij =-5-20<10010<0010<-1006MPa1）畫出該點的應力單元體；2）求出該點的應力不變量，主應力和主方向、主剪應力、最大剪應力、八面體應力、等效 應力、應力偏張量及球張量。解：a）點的應力單元體如下圖2）10-10-10MPa該點的應力不變量:J1=10 MPa , J 2=200 MPa , J 3=0 MPa ,10丿t 1=20 MPa, l=；m=0;2n=2-10主應力和主方向:t 2=-10 MPa, l=m= n=0.3=0 MPa，匸仝m=0; n

7、=一二;2 2主剪應力 T2=±15 MPa； T3= ±5 MPa ; T2= ±10 MPa 最大剪應力 Tmax=15 MPaT=12.47 MPa。八面體應力 d 8=3.3 MPa ;等效應力壬二26.45MPa 應力偏張量及球張量。(200-10100033401000MPa; a打=0037'J32010-100003丿3丿MPa;Gjb）點的應力單元體如下圖*0 50 0 '5j = 5000 MPa 該點的應力不變量：Ji=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa，<00 10主應力和主方向：d 1=1

8、0 MPa, l=m= n=0d 2=50 MPa , l= m= ； n=0;2d 3=-50 MPa , l= m= 2； n=0。2主剪應力 T2=±20 MPa； T3=±50 MPa ; T2= ±30 MPa最大剪應力 Tmax=30 MPa八面體應力 d 8=3.3 MPa ; T=41.1 MPa。 等效應力廠-87.2 MPa應力偏張量及球張量。(10#10、5000033501000100MPa; a 耳=3203100000k3丿I3丿MPa;c）點的應力單元體如下圖廣-10-5-10、=-5-20MPa該點的應力不變量I-100一6丿Ji=

9、-18 MPa , J 2=33 MPa , J 3=230 MPa ,主應力和主方向:er i =10 MPa, l=m= n=0(T 2=50 MPa,l= m= ； n=0;2e 3=-50 MPa , l= m=； n=0。2主剪應力 t i2=± 20 MPa； t 23= ±5 0 MPa； t i2=± 30 MPa最大剪應力 t max=30 MPa八面體應力 e 8=-6MPa ; t=9.7 MPa。等效應力；=20.6MPa應力偏張量及球張量。<16-5-10 ''-600、°ij =-5-80C.=>j

10、0-60C100一12丿<00一61-19.平板在x方向均勻拉伸（圖1-23 ）,在板上每一點=常數(shù)，試問ay為多大時，等效 應力為最??？并求其最小值。解：等效應力:x2 2 2 11 -y）（二 y）（；二）I2 2 2 2 2 2 n-；y）（二 y -；z）（匚 x -；z）6 xy yz xz J令y =（；_；_- ）、二 m1 （二 一）2（二 yT x）' =3 二 x1- 20.在平面塑性變形條件下，塑性區(qū)一點在與x軸交成B角的一個平面上，其正應力為d（b V 0）,切應力為T,且為最大切應力K,如圖1-24所示。試畫出該點的應力莫爾圓，并求出在y方向上的正應力

11、d y及切應力t xy，且將d y、t yz及d x、t xy所在平面標注 在應力莫爾圓上。 -（二y）2 （二x）2，要使等效應力最小，必須使y值最小，兩邊微分得:2（- a ）du + 2b 曲=-dyy / yy y.doy2；- 0xy等效應力最小值：圖 1-24 （題 20）解：由題意得知塑性區(qū)一點在與 x軸交成B角的一個平面上的切應力為為最大切應力K,因此可以判斷該平面為主剪平面， 又由于切應力方向為逆時針， 因此切應力為負，其位置為應 力莫爾圓的最下方，該點的應力莫爾圓如圖1-25所示。Ksin2xy = Kcos2第二章2 2 22-9設(shè)、=a（x - 2y ）; ；y =bx

12、 ; xy = axy，其中a、b為常數(shù)，試問上述應變場在什么情況下成立？解：對；x = a（x2 - 2y2）求y的2次偏導，即：(1)(2)孑；x /2- = 4ay2對' =bX求x的2次偏導，即:=2b:x對xy二axy求x和y的偏導，即:(3)帶（1）、（2）和（3）入變形協(xié)調(diào)方程（4），得:乎:2:xy:xy(4)（2）；x =x2 y2，2y =y，z = 0， xy = 2xy， y z = xz = °C(4a 2b) =a即：a =-b時上述應變場成立。2-10試判斷下列應變場是否存在？（1 2） ；x=xy2， y =x2y， ；z =xy， xy =

13、0， yz 二z2 y， xz=x2y2）解：對;x = xy 2、；y = x2y和；z = xy分別求x、y或z的2次偏導，對xy = °、yz中2 y和y2分別求x、y和z的2次偏導，則:= 2x，-2-_z(a):.2x二 2y，:.2-'z(b)f 2 ；z；x2=0,2z2 =0 ；y(c)? xy? yz=0，yz 0:xz _ 0(d)u ?_ ux y:y :zXZ將（a）、（b）、（。）和（d）代入變形協(xié)調(diào)方程（e）：1 八2 ；x T ；y、嚴 xy2 寸：x2" :x-y1 ,' y2(：2yz:z2:y ：z(e);2.z2：z：x

14、則（e）第一式不等，即: 這說明應變場不存在。-(2x2y) =02(2)對彷=x2 y2、2；y = y和遼=0分別求x、y或z的2次偏導，對 xy = 2xy和yz = xz = 0分別求x、y和z的2次偏導,:yJ。；:z-i=0 ；:z-0，J。；-y£2Y1=2，x y二 0 ；y：z1 aSd2z則：-(七 -v)2 yxxz蘭0 xz(a)(b)(c)(d)xy二2，說明應變場不存在。2- 11 .設(shè)物體中任一點的位移分量為u =10 10”0.1 10 "xy 0.05 10“zv =5 10-0.05 10“x 0.1 10 “yz_33w =10 10-

15、0.1 10 xyz求點A （ 0.5,- 1 , 0）的應變分量、應變球張量，主應變，八面體應變、等效應變。解:-U30.1 10_y :x0.1 10zyco3-0.1 10 xy zxyyx1 u33-()=0.05 10'x - 0.025 102 :y :xyz1 匚二)=0.05 10y-0.05 10 xz2 ；z；:yxz丄( u)= 0.025 10- -0.05 10-yz2 : x:z將點A的x=0.5, y= 1, z=0代入上式，得點 A的應變分量 j-0.1"0“0025 x 10山對于點A :-0.05 10-30.025 漢 10"-

16、0.05 漢 10-30.05X0”mA1(3( x yijmA-5 103_511= -0.05 10I2= （；x ；y，y ；z；z；x）-（2xyyz2zx2) =-8.125 10 "I3-2.5 10-131 ,14弓"6 10一?8 =±3斗'(乞一gy)2 +(gy 4)2 +( 5)2 +6(?x,十：2 +匯2)3= 7.73 10-z = v'27 =1.09x10 上2-12.物體中一點應變狀態(tài)為：；x -0.001 ,；y 二 0.005 ,;z 二-0.0001 , xy 二 0.0008 , yz 二 0.0006 ,

17、xz二-0.0004，試求主應變。解：由題可知：*108-4、z= 8506 x10-4"6-1h = x y z =5.9 10：I2=(；x ；y ；y ；z ；z ；x)-(2 2 2xyyzzx )=3.2410-6l3 二-1.98 10-9即：；3-5.9 10-3；CUUy=-(xL) = 0.0325 ；y；x-3.24 10-6； 1.98 1O-10=O解方程得主應變：“ =6.4 10-3，- -8.3 10-3， ；3=3.7 10”2-13 .已知平面應變狀態(tài)下，變形體某點的位移函數(shù)為U- y，420040111Uyxy，試求該點的應變分量；X, ；y, x

18、y，并求出主應變；1, ；2的大小與525200方向。解:叢=0.015xUy= -0.005VxyI1 =；x ；y-1.0 10212 二；x y - xy2 1.13125 10"13=0即：；3 -1.0 10-2 ；2 -1.13125 10-3 ； = 0解方程得主應變：-0.039, ；2 = 0.029, ；3 = 0j532.50*39032.550"0-3m=02900°1<00由:0'0 X 10-3 得:0>151 32.5m =39l2 m2 -1解這個方程得：m1=0.5575, m2=5.16。由于 m2=5.16

19、 > 1,與方向余弦規(guī)定不符，因此,m1=0.5575才是正確解。由此得：1=0.689。即 & 1=-0.039 時，方向余弦為：1=0.689 , m=0.5575 , n=0。同理可求：£ 2=0.029 時，方向余弦為：1=0.8025 , m=0.5966, n=0。第三章3-6.某理想塑性材料在平面應力狀態(tài)下的各應力分量為ax=75 , oy=15 , oz=0 , Ty=15 (應力單位為MPa,若該應力狀態(tài)足以產(chǎn)生屈服，試問該材料的屈服應力是多少？解：由由密席斯屈服準則：2)+6Wxyyzxz得該材料的屈服應力為:十(150$ +(075$ 十6(152

20、 +0十0p=73.5MPa3- 7.試證明密席斯屈服準則可用主應力偏量表達為:證明：由密席斯屈服準則:J頁打+吋+苛)“s6 一口2 f +(6 -2+ 佃1 一6 i = J2CTs(1)即：J(1 丫 +(2 2 +(3 f而:3 - . 2 . 2 2123丿(2)66時趙6亠6十2® -擰 V ；擰-二1二2 -二1二3 八3 二 2所以：(1)式與(2)式相等。3-8 試分別用密席斯和屈雷斯加屈服準則判斷下列應力狀態(tài)是否存在？如存在，應力處于 彈性還是塑性狀態(tài)？缶s00 '5。s00 'a)W =000,b)6j =0-5兀0<00asj1 00(材

21、料為理想塑性材料)00000.5 J12二c)Fd)f 0.6J 丿"s0000.45b s0、e) ij 00.5cTs0,D j =0.45J00<00-匸5 s )< 00°解：a）由屈雷斯加屈服準則：閔-C3=bs得：c&-0= Os,存在。應力處于塑性狀態(tài)。=一0.75二-s由密席斯屈服準則 -1a存在。應力處于塑性狀態(tài)。b）由屈雷斯加屈服準則: 由密席斯屈服準則O-O=O得：-4 O+5 O=OS,存在。應力處于塑性狀態(tài)。2 2 21 -2 .1 亠 I'. ' 3 -2 !亠“ i -31 2 2 2 =石譏 5% +56

22、) +(-4兀 +5 ) +(-5% +4,)存在。應力處于塑性狀態(tài)。c）由屈雷斯加屈服準則：o-o=os得：1.2 cs-0 =1.2 o>o，不存在。由密席斯屈服準則占=犬討何-理$ +（a 2 +（耳-丫二 -1- 1.2J -0仁 20仁 -0 20 -1.2J22二- 1.33二"s不存在。d）由屈雷斯加屈服準則: 由密席斯屈服準則o-o=o得: 0.5 O+0.6 o =1.1 os> O，不存在。-1-C2二 V. 0.5s -020 06s 2-0.6；s 0.5s二 0.96；s ；s存在。應力處于彈性狀態(tài)。e）由屈雷斯加屈服準則： 由密席斯屈服準則o-

23、 o= O得：-0.5 O+1.5 o= 0= 0,存在，應力處于塑性狀態(tài)。-s 0.5J 2-0.5J 1.5s 2-1.5s存在。應力處于彈性狀態(tài)。f)由屈雷斯加屈服準則: 態(tài)。由密席斯屈服準則2 2 2 2 一二 z)(二 z；x)- 6( xyyz2zx )Tax= ( 01- 03) /2=百S2 得： Tmax =0.45 X存在，應力處于彈性狀=3 0.45；s .(75 -15)2 (15 -0)2(0 - 75)26(152 0 0)-73.480=73.48 =0.78；s 6存在。應力處于彈性狀態(tài)。廣75-150'3-9已知開始塑性變形時點的應力狀態(tài)為療ij-15

24、150< 000丿試求：(1) 主應力大??；(2) 作為平面應力問題處理時的最大切應力和單軸向屈服應力；(3) 作為空間應力狀態(tài)處理時按屈雷斯加和米塞斯準則計算的單軸向屈服應力。解：由于點的應力狀態(tài)為平面應力狀態(tài)，由'-1,2匚 x ；y2+巧xy得主應C1,2 =75 1527515、152主應力為:01=78.54, 0=11.46, (53=0最大切應力:Tmax=33.54單軸向屈服應力為：；- =2s 厶2xy =67.08作為空間應力狀態(tài)處理時按屈雷斯加準則計算: 單軸向屈服應力：0= co- 03=78.54;作為空間應力狀態(tài)處理時按米塞斯準則計算的單軸向屈服應力：

25、二痔 Yy)2 (F 7)2 (J 7)2 6( J y：)第四章4-5.有一金屬塊，在 x方向作用有150MPa的壓應力。在 Y方向作用有150MPa的壓應力，3z方向作用有200MPa的壓應力。試求金屬塊的單位體積變化率（設(shè)E=207 X 10 MPa ,尸0.3）。解：各方向應力為：d x= d y=-150MPa , d z=-200MPa，則球應力為：<r m=-166.7 MPa單位體積變化率為：1 - 2、.E4-6 .已知一點的應力狀態(tài)如圖4-16所示，試寫出其應力偏量并畫出主應變簡圖。圖 4-16 （題 15）解：設(shè)d > d> d，則:平均應力：J m應力

26、偏量為：19 4 21 6 653 34 00 "= 0-10<00-3>由列維一米賽斯增量理論d、-； d，- 4d-d ；2 = '2 d，- -d' d ；3 = ；丁 '3 d = -3d' 主應變簡圖如圖示：1-2 0.3；m3166.7207 103即:-4£ m =-3.22 X 10de4-7.兩端封閉的細長薄壁管平均直徑為r，平均壁厚為I，承受內(nèi)壓力p而產(chǎn)生塑性變形，設(shè)管材各向同性，試計算切向、軸向及徑向應變增量比及應變比。解：4- 8 .求出下列兩種情況下塑性應變增量的比:單向應力狀態(tài)：C - s 純剪力應力狀

27、態(tài)：.s -；s/、3解：設(shè)5 > 02 >0,則:45-s，因此，應力偏量為:3£s3CTs-T由列維米賽斯增量理論d ；ij = ；” ij d 得:2CT d 3-sd 3-sd '3塑性應變增量的比為:2bd ；!d ；2-d'3-2,同理:d解：已知純剪力應力狀態(tài)：兀=crs/J3 應力張量為:(066 'v'，f36 =a s<306a s<<3x'' 30丿由列維一米賽斯增量理論 d ；j =：;'j d 得:. sd xyd 13d yzs d'3dxzdYxz =1 dYy

28、 z塑性應變增量的比為:dYxy d"""y z第六章1. 20#鋼圓柱毛坯，原始尺寸為 50x 50mm,室溫下壓縮至高度 h=25mm,設(shè) 接觸表面摩擦切應力t =0.2Y，已知丫=746 & 0.20MPa,試求所需變形力 P和單位 流動壓力p。解：圓柱壓縮時體積不變，則當 h=25mm時，13R =50= 25 2 mm。 4 x 25H-h 50 -25 門廠總= 0.5H 50t =0.2 丫 =0.2x 746 & 0.20=129.9MPa 當 t = t max，t max=K=129.9MPa由于圓柱壓縮是軸對稱問題，宜采用柱座

29、標。由題意得圓柱界面上的摩擦為 t =0.2Y, Y=746 °.20MPa，設(shè)三個坐標方向的正應力or、閃和龜視為主應力，且與對稱軸z無關(guān)。某瞬間圓柱單元體上的應力如圖所示，單元體沿徑向的靜力平 衡方程為：（5 + 2礙）（尸 +於護曲-5 用和+2T asrd9dr-2二 0令sin(d02)d 02，并忽略二次微分項，則得迄*込一可+空“由于軸對稱條件，0=(0。此時平衡方程簡化為tjdr1-1根據(jù)米賽斯屈服條件，可得近似表達式為d；r=d代入式（1-1）, 得d-dr因此259.8Ge1-2邊界條件：當r二R時，匚r =0。由近似屈服條件知，此時的匚z =2K，代入方程 式（

30、1-2），可得窖&2K 二 C1e h或-259. 8&C2Keh代入式（1-2），得-259.8（R-z = 2Ke h1-3因為：h=25，R=25、2，K=129.9MPa10.36(25 2 -r)259.8e()所需變形力P為:PRzds 二R10.36(25 2 -r)0 259.8 e () 2rdr二 7.5 105壓板上的平均單位壓力用p表示，則_ Pp 2 = 191.12MPa-R22.模內(nèi)壓縮鋁塊，某瞬間錘頭壓力為 500kN，坯料尺寸為50x 50X100mm3,如 果工具潤滑良好，并將槽壁視為剛體，試計算每側(cè)槽壁所受的壓力（如圖6-11） o圖 6-

31、11 （題 2）解：從變形區(qū)內(nèi)取一單元體作受力分析。單元體的高度為平板間的高度 h，寬度 為dx,長度為一個單位。假定是主應力且均勻分布，當沿 x軸坐標有dx的變量 是，氐相應的變化量就可用微分d氐來表示。y方向上的壓應力用oy表示。摩擦 力f的方向同金屬質(zhì)點流動方向相反，設(shè)每側(cè)槽壁所受的壓力 p,如圖所示。列出單元體的微分平衡方程:匚xh -（；二 dj）h -2f；ydx =0h d 二 x 2 f 二 y dx = 0xy屈服條件為：二y - ；x =2k2-1因此，d；x =d；y將此式代入式（2-1）整理得 旦一2f魚-yh積分后得：ln；y2fh2f2-2根據(jù)應力邊界條件確定積分常

32、數(shù)。應力邊界條件為：當x=b/2時，o=p由屈服條件式，得 y % 士/2 = 2k + p代入式(2-2)求系數(shù)Ci得:Ci =因此：匚y2f b2k pf (?_x)二 2k peh 2bboyhdx = j 2k p e2f b(X)J 2 hdx已知錘頭壓力P為500kN,代入上式即可求得每側(cè)槽壁所受的壓力p。3.圓柱體周圍作用有均布壓應力，如圖6-12。用主應力求鐓出力P和單位流動壓力。，設(shè)t =mk。圖 6-12 (題 3)P *%解：圓柱壓縮為軸對稱冋題，米用柱座標。設(shè)二個坐標方向的正應力(T、和oz視為主應力，且與對稱軸z無關(guān)。某瞬間圓柱單元體上的應力如圖所示，單 元體沿徑向的

33、靜力平衡方程為：(丐 + 込)(尸 + 曲悶® - A 孑卩 +sin(= 0令sin(d02)d 02，并忽略二次微分項，則得dr rh由于軸對稱條件，=岡。此時平衡方程簡化為2wzd ordrh根據(jù)米賽斯屈服條件，可得近似表達式為匚 z _ 二 r = 2K或d；r 二 d；z代入式（3-1），得2mdr h因此2mk2mkr 二廠 Ge h邊界條件：當r = R時，cr= 00。由近似屈服條件知，此時的匚Z3-13-2=2K + o，代入方2mk或R _2mk C 2K o e h代入式（3-2），得2m42K 0 e h所需變形力P為：3-3壓板上的平均單位壓力用p表示，則P

34、R25試用主應力法求解板料拉深某瞬間凸緣變形區(qū)的應力分布 工硬化）（不考慮材料加程式（3-2），可得圖 6-14 （題 5）解：板料拉深某瞬間凸緣變形區(qū)受力如圖6-14，為平面應力狀態(tài)，設(shè)正應力5-1CT、丙為主應力，單元體沿徑向的靜力平衡方程為： d；r r dr hd v - ；rrhd J - 2 sin 令sin(d 02)d 02,并忽略二次微分項，則得互odr將屈服條件or-斫2K代入上式得積分常數(shù)C根據(jù)凸緣的外緣處(r=R)的二r=0邊界條件，得積分常數(shù)C =2KIn R5-2凸緣變形區(qū)的應力分布為:j =2KI nR/r第七章7-10解：已知90MPa,最大切應力為a族是直線族

35、，B族為一族同心圓，c點的平均應力為：（T mc=-K=60MPa。C點應力為：de -2ksin 2 cJI-90-60sin - |=-30MPal 2丿Sc =；： me 2ksin 2 e由于B點在a族上,a族是直線族，因此，所以B點應力狀態(tài)和C點相同。 d點在B族上，B族為一族同心圓，因此由沿線性質(zhì)得：-mcimd =2k( c -、)即:"-'md= ；mc 2k(- d)-90 2kJI 1 I '、6 .丿-£0 -20二D點應力為:-xd=:md -2ksin2 e=一90 - 20二-60 sin乂md 2ksin2 e-90 - 20二

36、 60sin(5兀-|= -122.8MPaI 6丿*5兀1i = -182.8MPa< 6丿J = K cos2e =60 cos -D點的應力莫爾圓圖 7-2z7-11試用滑移線法求光滑平?jīng)_頭壓入兩邊為斜面的半無限高坯料時的極限載荷P(圖7-36)。設(shè)沖頭寬度為2b,長為I，且l»2b。解：(1)確定滑移線場。設(shè)沖頭的表面壓力為p且均勻分布，由于平?jīng)_頭光滑，故可認為沖頭與坯料 之間無摩擦，因此AO區(qū)域可看成是光滑(無摩擦)接觸表面，滑移線場和確定 a B方向如圖教材中圖7-100 AB區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受A0D 區(qū)域金屬流動影響，因此為不受力自由表面的第2

37、種情況，滑移線場和確定 a B方向如圖如圖7-9b所示，在均勻滑移線場 ADO和ABC之間必然存在簡單滑移 線場，由此確定出光滑平?jīng)_頭壓入兩邊為斜面的半無限高坯料時滑移線場，如圖7-3zo(2)求平均單位壓力。取一條a線BCDO進行分析，由于B點在自由表面上，故其單元體只有一個 壓應力，由此可判斷出 5c=0，根據(jù)屈服準則，5 03=2k，因此，03c= 2ko而平均應力 cmc=( 5c+ o3c)/2，可得二 mB 二-k 0已知O點在光滑接觸表面上，因此 程-/4，其單元體上承受沖頭壓力和金屬向兩邊流動的擠壓力，即存在5，5作用，均為壓應力，且c3=w=-p，其絕對值應大于5，根據(jù)屈服準

38、則可得 5=5=-p+2k，平均應力5no=-p+k(3 )求角度。對a線BCDO進行分析。接觸面AO上的0點的夾角oo為一d4,在自由表 面AB上的B點的夾角ob為n4+y貝y a o= 00- ob=od- oc= 一 n4 一 ( n4+ y = 一 n2 一 丫(4)求極限載荷由漢蓋應力方程式二mo 一二 mB =2k( o - B)二 21，得：-p k -(-k) = 2k() = -k 二2即：p = k 二川極限載荷P為：P =2blp =2blk 7-13圖7-37為一中心扇形場，圓弧是a線，徑向直線是B線，若AB線上om=-k, 試求AC線上omo解：已知直線AB是B線，其

39、上om=-k，故B點的onB=-k, AC線是B線，但 也是直線，直線上的om相同，求出C點的am,即得到AC線上cmo C點的om 可通過圓弧BC求，已知圓弧BC是a線，由漢蓋應力方程式二 mC=2k( C 一 b)=2k即：貯 mC(k)=2k - I'、6 丿% = k + 1 II 3丿即AC線上om為：er mC=_k上+1l 3丿7-14具有尖角2 丫的楔體，圖7-38在外力P作用下插入?yún)f(xié)調(diào)角度的V型缺口， 試按1)楔體與V型缺口完全光滑和2)楔體與V型缺口完全粗糙做出滑移場， 求出極限載荷。第一種情況：楔體與解：(1)確定滑移線場。設(shè)沖頭的表面壓力為p且均勻分布，由于沖頭

40、光滑，故可認為沖頭與坯料之 間無摩擦，因此AB區(qū)域可看成是無摩擦接觸表面，滑移線場和確定a B方向如 圖教材中圖7-10。AE區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受 ABC區(qū)域金屬 流動影響，因此為不受力自由表面的第二種情況，滑移線場和確定a、B方向如圖如圖7-9b所示，在均勻滑移線場ABC和ADE之間必然存在簡單滑移線場，由 此確定出具有尖角2丫的楔體在外力P作用下插入完全光滑的V型缺口時的滑移 線場，如圖7-4z。(2)求平均單位壓力和角度。AB面是光滑接觸表面上，因此/4-吋。由于垂直于AB面的壓應力大 于平行于AB面的壓應力，因此，可以確定平行于 AB面的壓應力為6,垂直于 AB面的壓

41、應力為 6=-p，根據(jù)屈服準則，6 6=2k，因此，oi=2k+o3=2k-p，而 平均應力 6nB=( 6+ 6)/2，可得mB 二 k - P。AE面是自由表面上，故其只有一個壓應力，由此可判斷出6E=0,根據(jù)屈服準則，6 6=2k，因此，6E= 2k。而平均應力 6nE=( 6E+ 6E)/2，可得匚mE = - k。(3)求極限載荷已知BCDE線為a線，由漢蓋應力方程式mBmEzg丄兀* 兀*得：-p k -(-k)二 2k(-) - -2k44即：p = 2k1極限載荷 P為：P=2blp/sin =4blk1/sin第二種情況：楔體與V型缺口完全粗糙做出滑移場B圖 7-5z解：(1

42、)確定滑移線場。設(shè)沖頭的表面壓力為p且均勻分布，由于楔體與 V型缺口完全粗糙，故可認 為沖頭下坯料為變形剛性區(qū)。AE區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC 區(qū)域金屬流動影響，因此為不受力自由表面的第二種情況，滑移線場和確定a B方向如圖如圖7-9b所示，三角形ABC和ADE存在簡單滑移線場，由此確定出具 有尖角2丫的楔體在外力P作用下插入完全粗糙的V型缺口時的滑移線場，如圖 7-5z。(2)求平均單位壓力和角度。AE面是自由表面上，故其只有一個壓應力，由此可判斷出oie=0，根據(jù)屈服準則，01 (B=2k，因此，C3E= 2k。而平均應力 omE=( 01E+ 03E)/2，可得匚 mE

43、 二-k。E =二 /4，三角形ABC是難變形區(qū)，該區(qū)內(nèi)的金屬受到強烈的等值三相壓應力，AC面是摩擦接觸表面上，垂直于 AB面的壓應力大于平行于 AB面的壓應力作用，不 發(fā)生塑性變形，好像是沖頭下面的剛性金屬楔，成為沖頭的一個補充部分。CD為a線，C二二/4 -。由于垂直于CD面的壓應力大于平行于 CD面的壓應力,因此，可以確定平行于CD面的壓應力為0,垂直于CD面的壓應力為o二p,根 據(jù)屈服準則，oi o3=2k，因此，o=2k+ o=2k-p，而平均應力 omc=( oic+ c3c)/2，可 得 Omc= k-p o(3)求極限載荷 已知CDE線為a線，由漢蓋應力方程式二 mC =mE

44、=2kC'ce)JJE得：k _p 十k) =2k() - -2k44即：2k 1極限載荷 P為：P=2blp/sin；' =4blk1 /sin7-15何謂滑移線？用滑移線法求解寬度為 2b的窄長平面沖頭壓入半無限體的 單位流動壓力p。材料為理想剛塑性體，屈服剪應力為K;參見圖7-39。解：(1)確定滑移線場。設(shè)沖頭的表面壓力為p且均勻分布，設(shè)沖頭光滑，故可認為沖頭與坯料之間 無摩擦，因此AB區(qū)域可看成是無摩擦接觸表面， 滑移線場和確定a B方向如圖 教材中圖7-10。BE區(qū)域表面不受力，可看成是自由表面，但受 ABC區(qū)域金屬流 動影響，因此為不受力自由表面的第二種情況，滑移

45、線場和確定a B方向如圖如圖7-9b所示，在均勻滑移線場ABC和BDE之間必然存在簡單滑移線場，由此 確定出寬度為2b的窄長平面沖頭壓入半無限體的滑移線場，如圖7-6z。(2)求平均單位壓力和角度。AB面是光滑接觸表面上，因此、=-理/4。由于垂直于AB面的壓應力大于平行于AB面的壓應力，因此，可以確定平行于AB面的壓應力為6,垂直于AB 面的壓應力為o3=-p，根據(jù)屈服準則，(ji o3=2k，因此，ar=2k+(s=2k-p，而平均應力 crnmA=( 6 + 6)/2，可得匚 mA 二 k-p oBE面是自由表面上，即只有一個壓應力，由此可判斷出6E=0,根據(jù)屈服準則，6 6=2k，因此

46、，6E= 2k。而平均應力omE=( 6E+ 6E)/2，可得 omE=-k。(3)求極限載荷已知ACDE線為a線，由漢蓋應力方程式mA得：k _p _(_k) =2k(-)44即:p=2k；d< 2丿極限載荷P為:P=2blp=4bg)I 2丿第八章8-7模壁光滑平面正擠壓的剛性塊變形模式如圖8-19所示。試分別計算其上限載圖 819 （題 8）解：（1）模壁光滑平面正擠壓的剛性塊變形模式如圖8-19所示的第一個圖48pVoH 二 AB VabD廠兀兀丄 L=2（2 sin 2Vo sin+T2 4V。188sin2Vo k四個剛性區(qū)A、B、C和D相對滑動，剛性區(qū)0為死區(qū)，其速度圖如圖8-1z 若