例說數(shù)學(xué)解題的思維過程

1、例說數(shù)學(xué)解題的思維過程陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 羅增儒在數(shù)學(xué)教學(xué)中暴露思維過程早就引起了人們的關(guān)注。暴露概念的形成過程，暴露命題的發(fā)現(xiàn)過程，暴露證明的探究過程等，包括暴露這些過程中犯錯誤的真實(shí)活動，但是，這種暴露大多停留在可見事實(shí)的陳述上，而內(nèi)在思維性質(zhì)的細(xì)致揭示不多，也常常進(jìn)行到思路初步打通、結(jié)論初步得出時就停了下來。本文想從解題分析的角度提供一個簡單例子，展示內(nèi)在的思維過程，并在證明得出之后仍繼續(xù)進(jìn)行下去。先給出題目：兩直線被第三條直線所截，外錯角相等，則兩直線平行。1.浮現(xiàn)數(shù)學(xué)表象通過認(rèn)真閱讀，我們接收到題目所提供的信息，首先在腦子里出現(xiàn)了一個圖形(幾何型表象)，與這個圖形相伴隨的是一個問題(

2、代數(shù)型表象)：由數(shù)量關(guān)系去確定位置關(guān)系。在問題的牽引下，思維的齒輪開始啟動，有3 個展開的起點(diǎn)。(1)由圖形表象，我們回想起“三線八角”基本圖形，回想起與此圖形有關(guān)的命題，如兩直線被第三條直線所截，有：1）同位角相等 兩直線平行；2）內(nèi)錯角相等 兩直線平行。這些命題的附圖，在我們腦海里逐幅浮現(xiàn)出來。(2)由條件 1= 2(數(shù)量關(guān)系)所喚起的問題有：1）由角的相等關(guān)系能得出什么? 2）圖1 中有與 1 相等的角嗎?3) 圖1 中有與 2 相等的角嗎?一開始，“由條件能推出什么”是一道開放性問題，我們不知道該往哪些地方推進(jìn)，但隨著對結(jié)論思考的深化，會慢慢明朗起來。(3) 由結(jié)論ABCD(位置關(guān)系)

3、所喚起的問題有：得出直線平行需要什么條件?題目提供了這樣的條件沒有？如果不是直接提供，那么間接提供沒有？由此激活了記憶儲存中的相關(guān)知識，并又激活更多的記憶儲存(擴(kuò)散)：1) 同位角(內(nèi)錯角)相等，則兩直線平行；進(jìn)而問2) 什么是同位角(內(nèi)錯角)？圖1 中有同位角(內(nèi)錯角)嗎?有相等的同位角(內(nèi)錯角)嗎?3) 己知條件的相等角能導(dǎo)出“同位角(內(nèi)錯角)相等”嗎？這是表象的一個有序深化的過程。2.產(chǎn)生數(shù)學(xué)直感上述三方面的思考，促使我們更專注于圖形，圖中有3 條直線，8 個角，8 條射線，1 條線段，其中哪些信息對于我們解題是有用的，哪些是多余的呢？(這相當(dāng)于一道條件過剩、結(jié)論發(fā)散的開放題)當(dāng)然，一開

4、始我們并不清楚，但是目標(biāo)意識驅(qū)使我們?nèi)タ紤]角的關(guān)系,因?yàn)檎n本中兩條直線平行的判定均與角有關(guān)，而已知條件又給出了等角。所以，我們的思考逐漸集中到：從圖形中找同位角(或內(nèi)錯角)，找相等的角，找相等的同位角(或內(nèi)錯角)。這時，伴隨著問題的需要，圖1 被分解出一系列的部分圖形(圖2 中實(shí)線圖)，并凸現(xiàn)在我們的眼前：圖2(1 )有與 1 成同位角的角嗎？圖2-(1)出現(xiàn)， 1 與 3 會相等嗎？(2) 有與 2 成同位角的角嗎？圖2-(2)出現(xiàn)， 2 與 4 會相等嗎？(3) 與 1(或 2)成內(nèi)錯角關(guān)系的角，圖1 找不到。(4) 與 1 相等的角除 2 外，還有它的對頂角 4(圖2-(3)；與 2 相

5、等的角除 1外，還有它的對頂角 3(圖2-(4)。于是，對圖1 的感知，出現(xiàn)了圖3 的右方圖形。我們認(rèn)為，從圖1 的8 個角中找出 2 的對頂角 3(或 1 的對頂角 4)，是解題的重大進(jìn)展，它能為圖形各部分?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)系的溝通起橋梁作用。3.展開數(shù)學(xué)想象對具體形象的感知和判別，使我們看到 3 與 2 成對頂角(圖2-(4)是相等的，而 3又與 1 成同位角(圖2-(1)，這促使我們思考 1 與 3 會不會相等，也促使我們將已有的表象， 1= 2 與 2= 3(或 1= 4)，產(chǎn)生新的聯(lián)結(jié)(有邏輯思維的推動)，得 1= 3(或 2= 4 或 3= 4)，從而產(chǎn)生新的表象ABCD。于是，在數(shù)量關(guān)系 1

6、= 2 與位置關(guān)系A(chǔ)BCD 之間，在空曠而缺少聯(lián)系的畫面上(見圖1)，添上了兩個數(shù)量關(guān)系 2= 3， 1= 3：再將它們組成和諧的邏輯結(jié)構(gòu)，便得出證明。4.給出邏輯證明證明略這些證明是抽象思維的過程，表達(dá)得干凈簡潔而嚴(yán)密。而獲得這些結(jié)果的過程卻是歷經(jīng)“表象直感想象”的形象思維過程，在得出ABCD 之前，四個角 1、 2、 3、 4 之間的關(guān)系是一個條件與結(jié)論都發(fā)散的開放題。為了與簡捷的邏輯證明相對照，我們將思考過程(證明1)圖示如下：5.反思解題過程上述解題的過程，把“題”作為考察的對象，把“解”作為研究的目標(biāo)。我們推崇“解題分析”，是希望解題研究不要停留在這一階段上，繼續(xù)把上述解題活動(包括

7、問題和解)作為研究對象，探究解題規(guī)律，學(xué)會怎樣解題(基本任務(wù))。具體解題研究的方法是分析解題過程。事實(shí)上，給出的證明也是一個思維過程，也需要我們?nèi)ケ┞?，并且這種暴露比前一階段的暴露有更高的層次，需要更強(qiáng)的自覺性。是培養(yǎng)思維深刻性與批判性的極好途徑。我們一再說過，解題教學(xué)缺少這一階段是進(jìn)寶山而空還。而把這一階段停留在檢驗(yàn)、回顧、尋找一題多解、做出若干推廣的常識層面上，則是一種損失與浪費(fèi)。讓我們對證明1 的書寫做出具體結(jié)構(gòu)的分析。(1) 首先，我們將證明1 分解為三個步驟。第1 步：從圖形中看出 3 與 2 成對頂角，并得出 3= 2。這是由位置關(guān)系推出數(shù)量關(guān)系的過程。第2 步：把另一已知條件用上

8、，將兩個等式 1= 2、 2= 3 結(jié)合起來，得出 1= 3。這是由數(shù)量關(guān)系推出新數(shù)量關(guān)系的過程。第3 步：從圖形中看出 1 與 3 為同位角，其相等可得出ABCD。這是由數(shù)量關(guān)系推出位置關(guān)系的過程。 (2) 其次，根據(jù)上面的整體分解，可將證明1 的書寫加以充實(shí)：(3)由于這個圖形已經(jīng)顯示出，解題中用到了哪些知識(或方法)，先用哪些后用哪些，哪個與哪個作了配合。所以，只須將其再作充實(shí)(圖7)，便可更自覺、也更直觀地看到，解題過程是這樣一個“三位一體”的工作：有用捕捉、有關(guān)提取、有效組合：1) 從理解題意中捕捉有用的信息包括從題目的敘述及題目的附圖兩方面去充分理解題意。從圖7 可見，這共有3 條

9、信息。(a)從題目的文字?jǐn)⑹鲋蝎@取“符號信息”。 1= 2。 (b)從題目的圖形中獲取“形象信息”。 1 與 3 為同位角， 2 與 3 為對頂角， 2) 從記憶儲存中提取有關(guān)的信息。這是一批被解題需要激活的知識，并隨著解題的進(jìn)展而擴(kuò)散，從圖7 可見，這有3 條信息。(a)對頂角相等。 (b)等于第三個量的兩個量相等(傳遞性)。 (c)同位角相等，則兩直線平行。 3)把這兩方面的信息(共6 條)進(jìn)行有效的組合，使之成為一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu)(共有3步推理)。這樣，通過分析解題過程我們看清了，這個題目在解決過程中的知識結(jié)構(gòu)與邏輯關(guān)系，進(jìn)一步還歸納出“什么叫解題”的一個可操作回答：從理解題意中捕捉有用

10、的信息，從記憶儲存中提取有關(guān)的信息，并將這兩組信息有效組成一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu)。6. 展開動態(tài)想象也許我們一開始就直感到圖形表象有一種對稱結(jié)構(gòu)(對稱美的召喚)，它朦朦朧朧只是因?yàn)閷ΨQ中心沒有顯化。也許是在解題分析中，由于已證明了ABCD，所以居中的平行線MN上每一點(diǎn)都是兩平行線 AB、CD 的對稱中心，而直線EF 上每一點(diǎn)都是直線本身的對稱中心（見圖8），因而圖1 本身是中心對稱圖形。于是，我們有這樣的直感。圖8 中若AB 與CD 不平行，必然破壞對稱性。這是一種不充分的推理，體現(xiàn)了形象思維的特征，同時也揭示了證明的一個新方向。設(shè)EF 上的截點(diǎn)為P、Q，而0 為線段PQ 的中心(圖8)。想象會使我們看到，當(dāng)圖形繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)180°時，射線PE 會與射線QF 重合，又由 1= 2 知，射線PB 會與射線QC 重合，從而直線AB 與直線CD 換位，且射線OE 與射線OF 換位。這一想象實(shí)際上已經(jīng)完成了舊表象到新表象的改造，數(shù)量關(guān)系 1= 2(保證了旋轉(zhuǎn)1