小晨精品第四周--數(shù)的整除-余數(shù)和周期問題上海四年級(jí)競賽版-【XCJP】(共4頁)

1、10.31-11.6第四周 數(shù)的整除，余數(shù)和周期問題1.【第 11 屆中環(huán)杯初賽第 2 題】 a24b8 是一個(gè)五位數(shù)，且是 8 的倍數(shù)，則 a24b8 最大是（ ），最小是（ ）。2.【第 8 屆小機(jī)靈初賽第 13 題】N 是一個(gè)四位數(shù)。如果 N+25 是 8 的倍數(shù)，N 的最小值是_。3.【第 14 屆中環(huán)杯初賽第 2 題】在 325 后面補(bǔ)上 3 個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它分別能被 3、4、5 整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能小，則這個(gè)新六位數(shù)是 _。4.【第 11 屆小機(jī)靈杯初賽第 11 題】黑板上寫有 1，2，3.，1989 這 1989 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，先做這樣的變換：擦去黑板上任意的兩

2、個(gè)數(shù)，并添上被擦去的兩個(gè)數(shù)的和除以 19 所得的余數(shù)。經(jīng)過若干次變換后，黑板上還剩下兩個(gè)數(shù)，一 個(gè)是 89，另一個(gè)數(shù)是一位數(shù)，這個(gè)一位數(shù)是（ ）。5.【第 13 屆中環(huán)杯初賽第 14 題】如果一個(gè)正整數(shù)除以它的數(shù)碼和后所得的余數(shù)為 22，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“好數(shù)”。最小的“好數(shù)”是（ ）。110.31-11.66.【第 14 屆中環(huán)杯初賽第 13 題】將既能被 5 整除又能被 7 整除的自然數(shù)自 105起從小到大排成一行，取前 2013 個(gè)數(shù)。這 2013 個(gè)數(shù)的和被 12 除的余數(shù)是_。7.【第 12 屆中環(huán)杯初賽第 4 題】今年是中國共產(chǎn)黨建黨 90 周年。據(jù)考證，偉大 的中國共產(chǎn)黨的確切

3、成立日期是 1921 年 7 月 23 日。今年（2011 年）的 7 月 23日是星期六，那么 90 年前的這一天是星期（ ）。8.【第 11 屆中環(huán)杯初賽第 4 題】某年的 2 月有 5 個(gè)星期五，那么這年的 1 月 31日是星期（ ）。9.【第 8 屆中環(huán)杯初賽第 2 題】從 1000 里減去 100，加上 50，再減去 100，再加上 50.這樣算下去，要運(yùn)算（ ）次后結(jié)果才是 0。10.【第 13 屆中環(huán)杯決賽第 6 題】123123.123（2013 個(gè) 123）÷13 的余數(shù)是（ ）。210.31-11.6解析：1.【考點(diǎn)】數(shù)論（整除）【解析】能被 8 整除的特點(diǎn)是末三

4、位能被 8 整除，則這個(gè)數(shù)就能被 8 整除。4b8 最大是 488，最小是 408。所以這個(gè)五位數(shù)最大 92488，最小 12408。2.【考點(diǎn)】數(shù)論（整除）【解析】N+25 是 8 的倍數(shù)，且 25 除以 8 的余數(shù)是 1，那么 N 除以 8 的余數(shù)應(yīng)該是 7，這樣的最小的四位數(shù)是 1007。3.考點(diǎn)】數(shù)論整除【解析】先滿足 4、5 的整除，個(gè)位為 0；再要最小，百位為 0，然后滿足 3 的整除，十位為 2。這個(gè)六位數(shù)是 325020。4.【考點(diǎn)】余數(shù)性質(zhì)【 解 析 】 根 據(jù) 和 的 余 數(shù) 等 于 余數(shù) 的 和的 余 數(shù) ，（ 1+2+3+.+1989 ）÷19=104160.

5、15；89÷19=4.13；則剩下的數(shù)除以 19 的余數(shù)必然為 2，而且還是一位數(shù)，只能是 2。5.【考點(diǎn)】數(shù)論余數(shù)【解析】余數(shù)必然小于除數(shù)，余數(shù)為 22，除數(shù)最小為 23；此時(shí)這個(gè)數(shù)最小為 599；599÷23=26.1；不符合；繼續(xù)檢驗(yàn) 689=23×30-1 符合要求；而若正整數(shù)數(shù)碼和大于等于 24，其至少要大于等于 699；所以 689 為最小的好數(shù)。6.【考點(diǎn)】余數(shù)與周期【解析】即求一個(gè)首項(xiàng)為 105、公差為5,7=35 的等差數(shù)列前 2013 項(xiàng)的和。第 2013 項(xiàng)為 105+（2013-1）×35=35×3+35×20

6、12=35×2015。前 2013 項(xiàng)的和為（105+35×2015）×2013÷2=35×1009×2013。35´1009 ´ 2013 º 11´1´9 º 3(mod12)，這個(gè)和除以 12 余 3。7.【考點(diǎn)】余數(shù)與周期【解析】 考慮 90 年（2011-90=1921）前，就要考慮過去了多少天。從 1921 開始到 2011 年，由 90÷4=22（個(gè)）.2（年）可知，共有 22 個(gè)閏年。那么，就一共過去了（365×90+22）天，我們需要算得

7、的是它除以 7 的余數(shù)，根310.31-11.6據(jù)我們學(xué)過的性質(zhì)，可以分別求出各自除以 7 的余數(shù)以后進(jìn)行簡算，即（365×90+22）÷7 商為整數(shù)。即所有天數(shù)和能夠被 7 整除，那么那一天，也仍然和今年的相同，為星期六。8.【考點(diǎn)】周期問題【解析】某年的 2 月有 5 個(gè)星期五，說明這個(gè) 2 月至少有 4×7+1=29 天，并且 2月 29 日是周五，所以 2 月 1 日也是周五，所以 1 月 31 日是周四。9.【考點(diǎn)】周期問題【解析】每操作兩次實(shí)際就是少了 50，但是當(dāng)減到 100 的時(shí)候，只減少一次就變成了 0。所以（1000-100）÷50=18（組）。經(jīng)過 18 組操作后變成 100，所以18×2+1=37（次）變成 0。10.【考點(diǎn)】余數(shù)，周期問題【解析】123÷