[高三數(shù)學(xué)]文科立體幾何知識(shí)點(diǎn)方法總結(jié)高三復(fù)習(xí)

1、mll立體幾何知識(shí)點(diǎn)整理（文科）一直線(xiàn)和平面的三種位置關(guān)系：1. 線(xiàn)面平行l(wèi)符號(hào)表示：2. 線(xiàn)面相交al符號(hào)表示：3. 線(xiàn)在面內(nèi)l符號(hào)表示：二平行關(guān)系：1.線(xiàn)線(xiàn)平行：方法一：用線(xiàn)面平行實(shí)現(xiàn)。mlmll/方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。mlml/方法三：用線(xiàn)面垂直實(shí)現(xiàn)。若ml,，則ml /。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共線(xiàn)且 l、 m 不重合，則ml /。2.線(xiàn)面平行：方法一：用線(xiàn)線(xiàn)平行實(shí)現(xiàn)。/llmml方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。/ll方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。若n為平面的一個(gè)法向量 ，ln且l, 則/l。3.面面平行：方法一：用線(xiàn)線(xiàn)平行實(shí)現(xiàn)。/, ,/且相交且相交mlmlmmll方法二：用線(xiàn)面平

2、行實(shí)現(xiàn)。/,/且相交mlml三垂直關(guān)系：1. 線(xiàn)面垂直：方法一：用線(xiàn)線(xiàn)垂直實(shí)現(xiàn)。labacaabacablacl,方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。mlnlmllmmlabcllmllmlm,2. 面面垂直：方法一：用線(xiàn)面垂直實(shí)現(xiàn)。ll方法二：計(jì)算所成二面角為直角。3.線(xiàn)線(xiàn)垂直：方法一：用線(xiàn)面垂直實(shí)現(xiàn)。mlml方法二：三垂線(xiàn)定理及其逆定理。poloalpal方法三：用向量方法：若向量l和向量m的數(shù)量積為0，則ml。三夾角問(wèn)題。(一)異面直線(xiàn)所成的角：(1) 范圍：90,0(2)求法：方法一：定義法。步驟 1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：abcba2

3、cos222(計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角) 方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角(計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角)：acabacabcos(二 )線(xiàn)面角(1)定義：直線(xiàn)l 上任取一點(diǎn)p（交點(diǎn)除外） ，作po于 o,連結(jié) ao ， 則 ao 為斜線(xiàn) pa 在面內(nèi)的射影，pao(圖中)為直線(xiàn) l 與面所成的角。aop(2)范圍：90,0當(dāng)0時(shí)，l或/l當(dāng)90時(shí)，l(3)求法：方法一：定義法。步驟 1：作出線(xiàn)面角，并證明。步驟 2：解三角形，求出線(xiàn)面角。(三 )二面角及其平面角(1)定義： 在棱 l 上取一點(diǎn) p，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l 的垂線(xiàn)（射線(xiàn)）m、 n，則射線(xiàn)m 和 n 的夾角為二面角 l的平面角。lmlmlcb

4、aabcnaoplaopnmlp(2)范圍：180,0(3)求法：方法一：定義法。步驟 1： 作出二面角的平面角(三垂線(xiàn)定理 )， 并證明。步驟 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟 1： 如圖，若平面 poa 同時(shí)垂直于平面和，則交線(xiàn) (射線(xiàn) )ap 和 ao 的夾角就是二面角。步驟 2：解三角形，求出二面角。aop方法三：坐標(biāo)法(計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ))。n1n2步驟一：計(jì)算121212cosnnnnnn步驟二：判斷與12nn的關(guān)系，可能相等或者互補(bǔ)。四距離問(wèn)題。1點(diǎn)面距。方法一：幾何法。oap步驟 1： 過(guò)點(diǎn) p 作 po于 o， 線(xiàn)段 po 即為所求。步驟 2：計(jì)算

5、線(xiàn)段po 的長(zhǎng)度。 (直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法) 2線(xiàn)面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。3異面直線(xiàn)之間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面距離。nm如圖， m 和 n 為兩條異面直線(xiàn)，n且/m， 則異面直線(xiàn)m 和 n 之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn) m 與平面之間的距離。方法二：直接計(jì)算公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。方法三：公式法。dcbamdcbamn如圖， ad 是異面直線(xiàn)m 和 n 的公垂線(xiàn)段，/ mm，則異面直線(xiàn)m 和 n 之間的距離為：cos2222abbacd高考題典例考點(diǎn) 1 點(diǎn)到平面的距離例 1 如圖，正三棱柱111abcab c的所有棱長(zhǎng)都為2，d為1cc中點(diǎn)（）求證：1ab 平面1a bd； （

6、）求二面角1aadb的大?。籥 b c d 1a1c1b（）求點(diǎn)c到平面1abd的距離解答過(guò)程 （）取bc中點(diǎn)o，連結(jié)aoabc為正三角形，aobc正三棱柱111abca bc中，平面abc 平面11bccb，ao平面11bcc b連結(jié)1bo，在正方形11bb c c中，od，分別 為1b cc c，的中點(diǎn)，1bobd，1abbd在正方形11abb a中，11abab，1ab 平面1a bd（）設(shè)1ab與1ab交于點(diǎn)g，在平面1abd中，作1gfad于f， 連 結(jié)af，由（）得1ab 平面1abd1afa d，afg為二面角1aadb的平面角在1aad中，由等面積法可求得4 55af，又112

7、2agab，210sin44 55agafgaf所以二面角1aadb的大小為10arcsin4（）1abd中，11152 26a bdbdadabs，1bcds在正三棱柱中，1a到平面11bccb的距離為3設(shè)點(diǎn)c到平面1abd的距離為d由11abcdca bdvv，得111333bcda bdssd，1322bcda bdsds點(diǎn)c到平面1abd的距離為22考點(diǎn) 2 異面直線(xiàn)的距離例 2 已知三棱錐abcs，底面是邊長(zhǎng)為24的正三角形，棱sc的長(zhǎng)為 2，且垂直于底面.de、分別為abbc、的中點(diǎn)，求cd 與 se 間的距離 . 解答過(guò)程 ： 如圖所示，取bd 的中點(diǎn) f，連結(jié) ef，sf，cf

8、 ，ef為bcd的中位線(xiàn)，efcdcd,面sef,cda b c d 1a1c1bo f 到平面sef的距離即為兩異面直線(xiàn)間的距離.又線(xiàn)面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)cd上一點(diǎn) c 到平面sef的距離，設(shè)其為h，由題意知，24bc,d、e、f 分別是 ab、bc 、bd 的中點(diǎn)，2,2,621,62scdfcdefcd33222621312131scdfefvcefs在 rtsce中，3222cescse在 rtscf中，30224422cfscsf又3,6sefsef由于hsvvsefcefssefc31，即332331h，解得332h故 cd 與 se 間的距離為332. 考點(diǎn) 3 直線(xiàn)到平面的距

9、離例 3 如圖，在棱長(zhǎng)為2 的正方體1ac中， g 是1aa的中點(diǎn)，求bd 到平面11dgb的距離 . 思路啟迪 ：把線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解. 解答過(guò)程 ：解析一bd平面11dgb，bd上任意一點(diǎn)到平面11dgb的距離皆為所求，以下求點(diǎn) o 平面11dgb的距離 , 1111cadb，aadb111，11db平面11acca, 又11db平面11dgb平面1111dgbacca，兩個(gè)平面的交線(xiàn)是go1, 作gooh1于 h，則有oh平面11dgb，即 oh 是 o 點(diǎn)到平面11dgb的距離 . 在ogo1中，222212111aooosogo. 又362,23212

10、111ohohgoohsogo. 即 bd 到平面11dgb的距離等于362. b a c d o g h 1a1c1d1b1o解析二bd平面11dgb，bd上任意一點(diǎn)到平面11dgb的距離皆為所求，以下求點(diǎn)b 平面11dgb的距離 . 設(shè)點(diǎn) b 到平面11dgb的距離為h，將它視為三棱錐11dgbb的高，則，由于632221,111111dgbgbbddgbbsvv34222213111gbbdv, ,36264h即 bd 到平面11dgb的距離等于362. 小結(jié) ：當(dāng)直線(xiàn)與平面平行時(shí)，直線(xiàn)上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線(xiàn)面距離.所以求線(xiàn)面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)， 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解

11、析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離. 考點(diǎn) 4 異面直線(xiàn)所成的角例 4 如圖，在rtaob中，6oab，斜邊4abrtaoc可以通過(guò)rtaob以直線(xiàn)ao為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角baoc的直二面角d是ab的中點(diǎn)（i）求證：平面cod平面aob；（ii）求異面直線(xiàn)ao與cd所成角的大小解答過(guò)程 ： （i）由題意，coao，boao，boc是二面角baoc是直二面角，cobo，又aoboo，co平面aob，又co平面cod平面cod平面aob（ii）作deob，垂足為e，連結(jié)ce（如圖），則deao，cde是異面直線(xiàn)ao與cd所成的角在rtcoe中，2cobo，112oebo

12、，225cecooe又132deao在rtcde中，515tan33cecdede異面直線(xiàn)ao與cd所成角的大小為15arctan3小結(jié) ： 求異面直線(xiàn)所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)上選擇“特殊點(diǎn)” ，作另一條直線(xiàn)的平行線(xiàn)，如解析一，或利用中位線(xiàn)，如解析二；補(bǔ)形法：把空間ocadbeocadbxyz圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系，如解析三 .一般來(lái)說(shuō)， 平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線(xiàn)所成的角的首選方法.同時(shí)要特別注意異面直線(xiàn)所成的角的范圍：2,0. 考點(diǎn) 5 直線(xiàn)和平面所成的角例 5. 四棱錐 sabcd 中，底面a

13、bcd為平行四邊形， 側(cè)面sbc底面abcd 已知45abc，2ab，2 2bc，3sasb（）證明sabc； （）求直線(xiàn)sd與平面sab所成角的大小解答過(guò)程：（） 作sobc，垂足為o，連結(jié)ao，由側(cè)面sbc底面ab，得so底面abcd因?yàn)閟asb，所以aobo，又45abc， 故a o b為 等 腰 直 角 三 角 形 ，aobo，由三垂線(xiàn)定理，得sabc（）由（）知sabc，依題設(shè)adbc，故saad， 由2 2adbc，3sa，2ao，得1so，11sdsab的面積22111222sabsaab連結(jié)db，得dab的面積21sin13522sab ad設(shè)d到平面sab的距離為h，由于ds

14、absabdvv，得121133h sso s，解得2h設(shè)sd與平面sab所成角為，則222sin1111hsd所以，直線(xiàn)sd與平面sbc所成的我為22arcsin11小結(jié) ：求直線(xiàn)與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是（1）先判斷直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線(xiàn)和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線(xiàn)與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計(jì)算常用解三角形的方法求角，結(jié)論點(diǎn)明直線(xiàn)和平面所成的角的值. 考點(diǎn) 6 二面角例 6如圖， 已知直二面角pq，apq，b，c，cacb，45bap，直線(xiàn)ca和平面所成的角為30 （i）證明bcpq（ii）求二面角bacp的大小a b c q p dbcas

15、odbcas過(guò)程指引 ： （i）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)c作copq于點(diǎn)o，連結(jié)ob因?yàn)椋琾q，所以co，又因?yàn)閏acb，所以oaob而45bao，所以45abo，90aob，從而bopq，又copq，所以pq 平面obc因?yàn)閎c平面obc，故pqbc（ii）由（ i）知，bopq，又，pq，bo，所以bo 過(guò)點(diǎn)o作ohac于點(diǎn)h，連結(jié)bh，由三垂線(xiàn)定理知，bhac故bho是二面角bacp的平面角由（ i）知，co，所以cao是ca和平面所成的角，則30cao，不妨設(shè)2ac，則3ao，3sin 302ohao在rtoab中 ，45abobao， 所 以3b oa o， 于 是 在rtboh中 ，3t a

16、n232bobhooh故二面角bacp的大小為arctan2小結(jié) ：本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)確定棱，由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線(xiàn)找出棱，補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小. 考點(diǎn) 7 利用空間向量求空間距離和角例 7 如圖，已知1111abcdabc d是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)e在1aa上，點(diǎn)f在1cc上，且11aefc（1）求證：1ebfd， ， ，四點(diǎn)共面；（2）若點(diǎn)g在bc上，23bg，點(diǎn)m在1bb上，gmbf，垂 足 為a b c q p o h cbaghmdef1b1a1d1ch，求證：em 平面11bcc b；（3）用表示截面1ebfd和側(cè)面11bcc b所成的銳二面角的大小，求tan過(guò)程指引 ： （1）如圖，在1dd上取點(diǎn)n，使1dn，連結(jié)en，cn，則1aedn，12cfnd因?yàn)閍edn，1ndcf，所以四邊形adne，1cfd n都為平行四邊形從而enad，1fdcn又因?yàn)閍dbc，所以enbc，故四邊形bcne是平行四邊形，由此推知cnbe，從而1fdbe因