第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)題答案

1、第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)題答案1-1質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為2x =12t -6t其中t以s為單位，x以m為單位，求：（1） t = 4s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；質(zhì)點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)時(shí)的速度；（3）質(zhì)點(diǎn)速度為零時(shí)的位置；（4）做出x-t圖、v-t圖、a-t圖解：（1）根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)情況下的定義，可得質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度分別為x=12t-6t2（ 1）dxv12 -12t（ 2）dtd 2x a 212（ 3）dt2當(dāng) t = 4s時(shí)，代入數(shù)字得： x - -48 m v - -36 m/s a - -12 m/s2（2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)時(shí)，x = 0，代入運(yùn)動(dòng)方程得：12t-6t2 = 0解得：ti

2、 =0,t2 =2，代入（2）式得：v, =12 m/sv2= 12m/s（3）將v=0代入（2）式，得 12-12t=0 解得：t=1s 代入（1）式得： x = 12m 6m=6m1.2一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為1 2 n . x=3t +5, y = t +3t -4.2式中t以s計(jì)，x, y以m十.（1）以時(shí)間t為變量，寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出t =1s時(shí)刻和t = 2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這 1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算t = 0s時(shí)刻到t = 4s時(shí) 刻內(nèi)的平均速度；（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算t = 4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算t = 0s到t = 4

3、s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算t = 4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度.1 2解：（1）r =（3t5）i（ t 3t - 4） j m2將t =1,2代入上式即有r1 =8i -0.5j mr2 = 11j4 j mr = r2A = 3j 4.5j mr。=5j -4j ,r4 =17i 16jv.: t4一012i20 j4=3i 亠 5 j m s'-dr -_1 v3i (t 3) j m sdt則v4 = 3i 7j m s'Vo =3i 3jM =3i 7j_2 m s-VV4 - Vo4a1 jAt 44dva =dt這說(shuō)明該點(diǎn)只有y方向的加速度

4、，且為恒量vv1-4 一質(zhì)點(diǎn)沿一直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為a = -2x，式中x的單位為 m a的單位為 m/s2,試求該質(zhì)點(diǎn)的速度 v與位置坐標(biāo)x之間的關(guān)系.設(shè)x = 0時(shí)，v0 = 4m/s 解：依題意dvdvdxdv小av = 2xdtdxdtdxxv0 -2xdx = v vdv積分得_X2 =(v2 _v02)2v =、.、v02 -2x216 -2x31-5質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，加速度a = 4 - t2，如果當(dāng)t = 3時(shí)，x=9 , v = 2，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（其中a以m/s2為單位，t以s為單位，x以m為單位，v以m/s為單位）解：加速度表示式對(duì)t積分，得1 3v = adt t 4t

5、 v03x 二 vdt t4 2t2 v°t X。12將 t = 3s, x = 9m, v=2m/s 代入以上二式，得積分常數(shù)v0 二-1m/s, x0 = 0.75m，貝V1 3v t 4t -13112x t4 2t2 -t 0.751-6當(dāng)物體以非常高的速度穿過(guò)空氣時(shí)，由空氣阻力產(chǎn)生的反向加速度大小與物體速度的平方成反比，即a二-kv2，其中k為常量.若物體不受其他力作用沿x方向運(yùn)動(dòng)，通過(guò)原點(diǎn)時(shí)的速度為v0，試證明在此后的任意位置x處其速度為v=：v0eh.解：根據(jù)加速度定義得：色 =a = -kv2，因a =空 =包蟲(chóng) 二v，代入上式，分離變量，整理后得： dtdt dx

6、dt dx1一 dv = -kdx，應(yīng)用初始條件x = 0,v = Vo，兩邊積分得vv 1Xvkxdv 二 kdx 得 In kx 即有：v = voev0 v0v01-7試寫(xiě)出以矢量形式表示的質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并證明做勻速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì) 點(diǎn)的速度矢量v和加速度a矢量的標(biāo)積等于零，即 V_a = 0解：以直角坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x = Rcos t,目二 Rsin t以矢量形式表示的指點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為r = Rcos ti Rsin tj速度和加速度分別為drv = Rsin ti Rcos tjdta 二一 2Rcos ti f 2Rsin tj所以v_a = 01-8 一質(zhì)

7、點(diǎn)在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 r = a cos ti bsin tj，其中a,b,-均為大于零的常量.dr解：（1 ）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度 va - sin ti - b - cos tjdt（2）由 x 二 acos，t, y 二 bsin消去t，可得軌道方程2 2務(wù)占=1可見(jiàn)是橢圓方程，表明質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)a bdv22（3）加速度 a（a cos ti bsin tj）二一 rdt因?yàn)?>0,所以a的方向恒與r反向，即a恒指向橢圓中心1-9路燈離地面高度為 H，個(gè)身高為h的人，在燈下水平路面上以勻速度V。步行.如圖所示，求當(dāng)人與燈的水平距離為 x時(shí)，他的頭頂在地 面上的影子移

8、動(dòng)的速度的大小 .解：建立如圖所示的坐標(biāo)，t時(shí)刻頭頂影子的坐標(biāo)為d(x x)v 二dtdx dxdxd7 "d? 一V。dt由圖中可看出有H h rx x x則有xhxH hdx _ hv0 dt " H -h所以有v 二 V。.hv°H -hx x，設(shè)頭頂影子的移動(dòng)速度為 V ,則1 21-10質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按s = v0t bt2的規(guī)律2運(yùn)動(dòng)，式中s為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧長(zhǎng)，v0 , b都是常量，求：（1） t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度;（2） t為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于b -bt- ds -v vl dtandvdt-bv2 _ (v° - bt)

9、2RR則加速度與半徑的夾角為4.(v。- bt)R2由題意應(yīng)有二 arcta n電-Rb2M - bt).(v° - bt)4R2b圧(v° bt)4,二R2(v° - bt)4 ".當(dāng) t 0 時(shí)，a = b b1-11質(zhì)點(diǎn)做半徑為20cm的圓周運(yùn)動(dòng)，其切向加速度恒為 5cm/s，若該質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn) 動(dòng)，需要多少時(shí)間：(1)它的法向加速度等于切向加速度；(2)法向加速度等于切向加速度的二倍解：質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)半徑 r = 20cm，切向加速度a = 5cm/s 2 , t時(shí)刻速度為v = at，法向加VV速度為an=v2/r，因此有 t =v/a = j

10、aF/aT= 寸2(1)當(dāng) a = an 時(shí)，t -=4s(2)an 2 r a2ra-2.83s1-12(1)地球的半徑為6.37106 m求地球赤道表面上一點(diǎn)相對(duì)于地球中心的向心加速度(2)地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑為111.5 10 m求地球相對(duì)于太陽(yáng)的向心加速度.(3)天文測(cè)量表明，太陽(yáng)系以近似圓形的軌道繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)，半徑為202.810 m,速率為2.5105 m/s，求太陽(yáng)系相對(duì)于銀河系的向心加速度解：( 1)地球赤道表面一點(diǎn)相對(duì)于地球中心的向心角速度為2 二j=6.37 106 ()2 =3.36 10, m/s 2"24 60 60(2 )地球相對(duì)太陽(yáng)的向心加速度為

11、2112 兀2_3an -R2 2-1.5 1011 ()-5.95 10 m/s2365 24 60 60(3)太陽(yáng)系相對(duì)銀河系的向心加速度n225 2盯誌也310'0 m/s21-13以初速度Vo = 20m s拋出一小球，拋出方向與水平面成60°的夾角，求：(1)球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑 R ； (2)落地處的曲率半徑 R2 .解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-13圖所示.V-題1-13圖(1) 在最咼點(diǎn)，W = vx 二 v0 cos60°_2an1 = g = 10 m s又2V1 a"=打2 2-v1 (20 X cos60 J2'1 :a

12、n110=10 m(2)在落地點(diǎn)，v2 = v0 = 20 m s',而an2 = g cos60o“J (20)2 =80m an 10 cos6021-14 一架飛機(jī)在水平地面的上方，以174m/s的速率垂直俯沖，假定飛機(jī)以圓形路徑脫離俯沖，而飛機(jī)可以承受的最大加速度為78.4m/s2，為了避免飛機(jī)撞到地面，求飛機(jī)開(kāi)始脫離俯沖的最低高度解：設(shè)飛機(jī)以半徑為.假定整個(gè)運(yùn)動(dòng)中速率恒定.R圓形路徑俯沖，其加速度為an 二 v2 / R當(dāng)an為飛機(jī)所能承受的最大加速度時(shí)，R即為最小，所以78.4 = 1742 / Rmin ,Rmin = 1742 / 78.4 二 386.2m1-15 一

13、飛輪以速度n =1500rev/min轉(zhuǎn)動(dòng)，受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)t = 50 s靜止，求(1) 角加速度一：和從制動(dòng)開(kāi)始到靜止飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)N ；(2) 求制動(dòng)開(kāi)始后，t=25s時(shí)飛輪的角速度-；(3) 設(shè)飛輪半徑R=1m，求t =25s時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度.解：(1)飛輪的1500初角速度0=2 n： - 250 二，當(dāng) t =50s 時(shí)， =0 ；代入- - : t 得60從開(kāi)始到靜止，飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度及其轉(zhuǎn)數(shù)為:1 Q 212v -ot-t =50 50m- m(50) =1250二 rad2 2eN625 rev2兀(2) t = 25 s 時(shí)，飛輪的角速度為二 0 亠 It

14、 =5 0 二-2 5 二=2 5fad/s(3) t = 25 s時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度為v = R . =1 25 二=25 二 m/s相應(yīng)的切線和法線加速度為at = R -二 1 - -"： m/s2an = R，2 =(25二)2 1-625：2 m/s 21-16 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為v - 2 3t2，式中二以弧度計(jì)，t以秒計(jì),求：（1）t = 2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；當(dāng)加速度的方向和半徑成 45角時(shí)，其角位移是多少?解：(1) t =2 s時(shí),dt= 9t2,d dt= 18ta 二 R：=1 18 2 =36man 二 R 2 = 1

15、(9 22)2 = 1296 m s（2）當(dāng)加速度方向與半徑成 45角時(shí)，有tan45 = a = 1an即R '2 二 R '-亦即（9t2）2 -18t3 2則解得t3 = 29于是角位移為3 2- 2 3t =2 3爼=2.67 rad91-17 一圓盤(pán)半徑為3m,它的角速度在t = 0時(shí)為3.33二rad/s，以后均勻地減小，到 t = 4s時(shí)角速度變?yōu)榱?試計(jì)算圓盤(pán)邊緣上一點(diǎn)在t = 2s時(shí)的切向加速度和法向加速度的大小.解：角速度均勻減小，因此，角加速度為-0.83二rad/sp eo（4） co（0）0 一3.33兀-4-04圓盤(pán)做勻角加速度，故有-0 t 二 3

16、.330.831當(dāng) t=2s 時(shí)， -3.33二-0.83“ ； 2 =16.7 二 rad/s法向和切向加速度分別為an = R =82.4m/s a = RI；-” =一 7.8 m/s1-18某雷達(dá)站對(duì)一個(gè)飛行中的炮彈進(jìn)行觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)炮彈達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，正好位于雷達(dá)站的上方，且速率為V,高度為h，求在炮彈此后的飛行過(guò)程中，在t（以s為單位）時(shí)刻雷達(dá)的觀d .測(cè)方向與鉛垂直方向之間的夾角V及其變化率.=（雷達(dá)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度）dt解：以雷達(dá)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取坐標(biāo)系xoy如圖所示y h*gt2 可解得： cot2x知2v - arccot 2vt，根據(jù)題意，炮彈的運(yùn)動(dòng)方程為將（1）式兩邊對(duì)2 vtt求

17、導(dǎo)數(shù)，得-csc7gt2 h + ；gt2dtvt2則有.=ddth ：gt22vt2 CSC2 dh討vt2(cot2 丁1)1 2 v(h - gt )一如2)2 v2t21-19汽車(chē)在大雨中行駛，車(chē)速為80km/h，車(chē)中乘客看見(jiàn)側(cè)面的玻璃上雨滴和鉛垂線成60角，當(dāng)車(chē)停下來(lái)時(shí)，他發(fā)現(xiàn)雨滴是垂直下落的，求雨滴下落的速度解：取車(chē)為運(yùn)動(dòng)參考系 s'，雨滴相對(duì)于車(chē)的速度為vps'，雨滴對(duì)地速度為 vps，車(chē)對(duì)地的速度為vss，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度合成定理為Vps = vpsvss見(jiàn)如圖所示的速度合成圖，則有Vss& 1000= vpscot60 =80，： 0.577 = 12.8

18、 m/sps36001-20 一升降機(jī)以加速度1.22m/s 2上升，當(dāng)上升速度為 2.44 m/s2時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天 花板松落，天花板與升降機(jī)底面相距2.74m，計(jì)算：(1)螺帽從天花板落到底面所需的時(shí)間；(2)螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離.解：以升降機(jī)外固定柱子為參考系，豎直向上為y坐標(biāo)軸正向，螺帽松落時(shí)升降機(jī)底面位置為原點(diǎn).螺帽從y0 = 2.74m處松落，以初速度 v0 = 2.44m/s做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，升降機(jī)底面則從原點(diǎn)以同樣的初速度做向上的加速運(yùn)動(dòng)，加速度a = 1.22m/s2 ,它們的運(yùn)動(dòng)方程分別為12 1 2螺帽：y1=y° V0tgt底面：y2 =v°tat2 2螺帽落到底面上時(shí)，y二y，由以上兩式得 t = 0.705s(2 )螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離為1 2Snyo-yivotgt 0.715 m21-21某人騎自行車(chē)以速率 V向西行使，北風(fēng)以速率 V吹來(lái)(對(duì)地面)，問(wèn)騎車(chē)者遇到風(fēng)速及 風(fēng)向如何？解：地為靜系 E,人為動(dòng)系M。風(fēng)為運(yùn)動(dòng)物體 P絕對(duì)速度：Vpe =V，方向向南；牽連速度：VME =V，方向向西；求相對(duì)速度VPM =?方向如何？VpE - VPM ' VME:-=45°:22