二次根式知識點總結(jié)及常見題型

1、第 1 頁二次根式知識點總結(jié)及常見題型資料編號 :20190802 一、二次根式的定義形如a（a 0）的式子叫做二次根式.其中 “” 叫做二次根號,a叫做被開方數(shù). （1）二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù). 據(jù)此可以確定字母的取值范圍; （2）判斷一個式子是否為二次根式, 應(yīng)根據(jù)以下兩個標(biāo)準(zhǔn)判斷: 是否含有二次根號“”; 被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù). 若兩個標(biāo)準(zhǔn)都符合, 則是二次根式; 若只符合其中一個標(biāo)準(zhǔn), 則不是二次根式. （3）形如am（a0） 的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系數(shù), 它表示的是 : amam（a0） ; （4）根據(jù)二次根式有意義的條件, 若二次根式ba與ab都

2、有意義 , 則有ba. 二、二次根式的性質(zhì)二次根式具有以下性質(zhì): （1）雙重非負(fù)性:a0,a0;（主要用于字母的求值）（2）回歸性 :aa2（a0）;（ 主要用于二次根式的計算）（3）轉(zhuǎn)化性 :)0()0(2aaaaaa.（主要用于二次根式的化簡）重要結(jié)論 : （1）若幾個非負(fù)數(shù)的和為0, 則每個非負(fù)數(shù)分別等于0. 若02cba, 則0,0,0cba. 應(yīng)用與書寫規(guī)范 : 02cba, a0,2b0,c 0 0, 0, 0cba. 該性質(zhì)常與配方法結(jié)合求字母的值. 第 2 頁（2）baabbabababa2; 主要用于二次根式的化簡. （3）0022abaababa, 其中b0; 該結(jié)論主要用

3、于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡: 可以考慮把二次根號外面的系數(shù)根據(jù)符號以平方的形式移到根號內(nèi), 以達(dá)到化簡的目的. （4）baba22, 其中b0. 該結(jié)論主要用于二次根式的計算. 例 1. 式子11x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是_. 分析 : 本題考查二次根式有意義的條件, 即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù), 注意分母不能為0. 解:由二次根式有意義的條件可知:01x,1x. 例 2. 若yx,為實數(shù) ,且2111xxy,化簡 :11yy. 分析 : 本題考查二次根式有意義的條件, 且有重要結(jié)論: 若二次根式ba與ab都有意義 , 則有ba. 解:1x 0,x10 x 1,x 11x1212100y

4、11111yyyy. 習(xí)題 1. 如果53a有意義 ,則實數(shù)a的取值范圍是_. 習(xí)題 2. 若233xxy,則yx_. 習(xí)題 3. 要使代數(shù)式x21有意義 ,則x的最大值是 _. 習(xí)題 4. 若函數(shù)xxy21,則自變量x的取值范圍是_. 習(xí)題 5. 已知128123aab,則ba_. 第 3 頁例 3. 若04412bba,則ab的值等于【】（a）2（b）0 （c）1 （d）2 分析 : 本題考查二次根式的非負(fù)性以及結(jié)論: 若幾個非負(fù)數(shù)的和為0, 則每個非負(fù)數(shù)分別等于0. 解:04412bba0212ba1a0,22b002,01ba2, 1 ba221ab.選擇【d 】. 例 4. 無論x取

5、任何實數(shù) ,代數(shù)式mxx62都有意義 ,則m的取值范圍是_. 分析 : 無論x取任何實數(shù) , 代數(shù)式mxx62都有意義 , 即被開方數(shù)mxx620 恒成立, 所以有如下兩種解法: 解法一 :由題意可知 :mxx62093622mxmxx023xm923x 0m9 0,m9. 解法二 :設(shè)mxxy62無論x取任何實數(shù) ,代數(shù)式mxx62都有意義mxxy62 0恒成立即拋物線mxxy62與x軸最多有一個交點mm436462 0 解之得 :m 9. 例 5. 已知cba,是 abc 的三邊長 ,并且滿足ccba20100862,試判斷 abc第 4 頁的形狀 . 分析 : 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)常和配方法結(jié)合

6、用于求字母的值. 解:ccba20100862010020862ccba010862cba6a0,8b0,210c0010, 08,06cba10, 8,6cba10010,10086222222cba222cba abc 為直角三角形 . 習(xí)題6. 已知實數(shù)yx,滿足084yx,則以yx,的值為兩邊長的等腰三角形的周長為【】（a）20 或 16 （b）20 （c）16 （d）以上答案均不對習(xí)題 7. 當(dāng)x_時,119x取得最小值 ,這個最小值為 _. 習(xí)題 8. 已知24422xxxy,則yx的值為 _. 習(xí)題 9. 已知非零實數(shù)ba,滿足ababaa415316822,求1ba的值 . 提

7、示 : 由152ba0, 且012b可得 :5a0, a5. 第 5 頁例 6. 計算 : （1）26; （2）232x; （3）2323. 分析 : 本題考查二次根式的性質(zhì):aa2（a0）.該性質(zhì)主要用于二次根式的計算. 解:（1）662; （2）32322xx; （3）6329323323222. 注意 :baba22, 其中b0. 該結(jié)論主要用于二次根式的計算. 例 7. 化簡 : （1）225; （2）2710; （3）962xx3x. 分析 : 本題考查二次根式的性質(zhì):)0()0(2aaaaaa. 該性質(zhì)主要用于二次根式的化簡. 解:（1）2525252; （2）7107107102

8、; （3）339622xxxx3x原式x3. 注意 :結(jié)論 :baabbabababa2. 該結(jié)論主要用于二次根式和絕對值的化簡.例 8. 當(dāng)3x有意義時 ,化簡 :22125xxx. 解:二次根式3x有意義3x0 x 3第 6 頁xy圖（ 1）o22125xxx23125125xxxxxxx例 9. 化簡 :2223xx. 分析 :222xx, 繼續(xù)化簡需要x的取值范圍 , 而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件 :3x的被開方數(shù)3x為非負(fù)數(shù) . 解:由二次根式有意義的條件可知:3x0 x 32223xx522323xxxxx例 10. 已知10a,化簡2121aaaa_. 解:10aa

9、a12121aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21111111122例 11. 已知直線23nxmy（nm,是常數(shù)） , 如圖（ 1）,化簡1442mnnnm. 第 7 頁解:由函數(shù)23nxmy的圖象可知 : 02,03nm2, 3 nm1442mnnnm1121212122mnnmmnnmmnnmmnnm例 12. 已知cba,在數(shù)軸上的位置如圖（2）所示 ,化簡 :222baccaa. bac圖（ 2）0解:由數(shù)軸可知 :bac00ca222baccaababcacaabaccaa習(xí)題 10. 要使2222xx,x的取值范圍是_. 習(xí)題 11. 若02aa,則a的取值范圍是 _.

10、習(xí)題 12. 計算 :243_. 習(xí)題 13. 計算 :2221_. 習(xí)題 14. 若332xx成立 ,則x的取值范圍是_. 習(xí)題 15. 下列等式正確的是【】（a）332（b）332第 8 頁（c）333（d）332習(xí)題 16. 下列各式成立的是【】（a）21212（b）332（c）21212（d）74322習(xí)題 17. 計算 :272_. 習(xí)題 18. 化簡 :22xx_. 習(xí)題 19. 若baabbaa22221,01213則_. 習(xí)題 20. 已知01a,化簡414122aaaa得_. 習(xí)題 21. 實數(shù)cba,在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖（3）所示 ,化簡代數(shù)式 : 222212babacb

11、aa的結(jié)果為【】（a）12cb（b）1（c）12ca（d）1cbabc圖（ 3）10習(xí)題 22. 化簡 :2232144xxx. 例 13. 把aa1中根號外的因式移到根號內(nèi),結(jié)果是【】（a）a（b）a（c）a（d）a分析 :本題實為二次根式的化簡: 某些二次根式在化簡時, 把根號外的系數(shù)移到根號內(nèi), 可以達(dá)到化簡的目的, 但要注意根號外面系數(shù)的符號. 有如下的結(jié)論: 第 9 頁0022abaababa, 其中b0. 解:由二次根式有意義的條件可知:01a0aaaaaa112.選擇【d 】. 習(xí)題 23. 化簡212aa得 _. 三、二次根式的乘法一般地 ,有: abba（a0,b0）（1）以

12、上便是二次根式的乘法公式, 注意公式成立的條件:a0,b0. 即參與乘法運算的每個二次根式的被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù); （2）二次根式的乘法公式用于二次根式的計算; （3）兩個帶系數(shù)的二次根式的乘法為:abmnbnam（a0,b0） ; （4）二次根式的乘法公式可逆用, 即有 : baab（a0,b0）公式的逆用主要用于二次根式的化簡. 注意公式逆用的條件不變. 例 14. 若66xxxx成立 ,則【】（a）x 6 （b）0 x6 （c）x0 （d）x為任意實數(shù)分析 : 本題考查二次根式乘法公式成立的條件:abba（a0,b0）解:由題意可得 :060 xx解之得 :x6. 選擇【a 】. 例 15

13、. 若1112xxx成立 ,則x的取值范圍是_. 第 10 頁分析 : 本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件:baab（a0,b0）解:由題意可得 :0101xx解之得 :x1. 例 16. 計算 :aa812（a 0）. 解:aaaaaaa21214181281222（a0）. 習(xí)題 24. 計算 :2731_. 習(xí)題 25. 已知21233m,則有【】（a）65m（b）54m（c）45m（d）56m習(xí)題 26. 化簡12的結(jié)果是 _. 四、二次根式的除法一般地 ,有: baba（a0,0b）（1）以上便是二次根式的除法公式, 要特別注意公式成立的條件; （2）二次根式的除法公式用于二次根

14、式的計算; （3）二次根式的除法公式可寫為:baba（a0,0b）; （4）二次根式的除法公式可逆用, 即有 : baba（a0,0b）公式的逆用主要用于二次根式的化簡, 注意公式逆用的條件不變. 五、最簡二次根式符合以下條件的二次根式為最簡二次根式: （1）被開方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式; 第 11 頁（2）被開方數(shù)中不含有分母或小數(shù). 注意 : 二次根式的計算結(jié)果要化為最簡二次根式. 六、分母有理化把分母中的根號去掉的過程,叫做分母有理化. 如對21進(jìn)行分母有理化,過程為 :2222221;對321進(jìn)行分母有理化,過程為:723232323321. 由舉例可以看出, 分母有理化是借

15、助于分?jǐn)?shù)或分式的性質(zhì)實現(xiàn)的. 例 17. 計算 : （1）654; （2）3223238; （3）22728yxy. 解:（1）39654654; （2）24338169388323383823383832383223238; （3）xxyxyyxy247287282222. 例 18. 化簡 : （1）65; （2）4.0; （3）aaa9623（3a）. 解:（1）63066656565; （2）51052524.0; （3）3aaaaaaaaaaa3396962223注意 : 隨著學(xué)習(xí)的深入, 在熟練時某些計算或化簡的環(huán)節(jié)可以省略, 以簡化計算 . 例 19. 式子2121xxxx成立的

16、條件是 _. 第 12 頁分析 : 本題求解的是x的取值范圍 , 考查了二次根式除法公式逆用成立的條件:baba（a0,0b）.解:由題意可得 :0201xx解之得 :2x. 例 20. 計算 : （1）7523; （2）5120; （3）2832. 解:（1）5225275237523; （2）552515205120; （3）解法 1:224416282322832. 解法 2:2248216642228322832. 二次根式的乘除混合運算例 21. 計算 : （1）21223222330; （ 2）182712. 解:（1）原式25238233023244321643523830212

17、3（2）原式228324182712. 第 13 頁習(xí)題 27. 下列計算正確的是【】（a）3212（b）2323（c）xxx3（d）xx2習(xí)題 28. 計算 :213827_. 習(xí)題 29. 計算 :32643xx_. 習(xí)題 30. 直線13xy與x軸的交點坐標(biāo)是_. 習(xí)題 31. 如果0, 0baab,那么下面各式: baba; 1abba; bbaab. 其中正確的是 _（填序號） . 習(xí)題 32. 若0ab,則化簡2ab的結(jié)果是 _. 習(xí)題 33. 計算 : （1）7225283212; （2）2143236181841. 例 22. 先化簡 ,再求值 :1441132xxxxx,其中

18、22x. 解:1441132xxxxx2221122211111322xxxxxxxxxxxxx第 14 頁當(dāng)22x時原式122242222222. 習(xí)題 34. 先化簡 ,再求值 :11121122aaaaaa,其中12a. 習(xí)題 35. 先化簡 ,再求值 :2222221yxyxyxxxyx,其中6,2 yx. 習(xí)題 36. 下列根式中是最簡二次根式的是【】（a）32（b）3（c）9（d）12例 23. 觀察下列各式: .;34434343431;23323232321; 12212121211（1）請利用上面的規(guī)律直接寫出100991的結(jié)果 ; （2）請用含n（n為正整數(shù)）的代數(shù)式表示上述規(guī)律,并證明 ; 第 15 頁（3）