物理器件長寬比例的數(shù)學(xué)模型(包含一元線性回歸模型、SPSS軟件、顯著性檢驗、殘差分析)

1、數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計物理器件長寬比例的數(shù)學(xué)模型摘要本文用測得的某物理器件16個長和寬的數(shù)據(jù)做回歸分析，以長為自變量，寬為因變量，來建立兩者之間的關(guān)系模型。并預(yù)測長為188cm的器件寬的值。針對問題一，我先利用Excel軟件繪制出了樣本數(shù)據(jù)的散點圖，接著對散點圖進(jìn)行分析。分析結(jié)果是其長和寬大致呈線性相關(guān)；針對問題二，我建立了關(guān)于該物理器件長和寬的一元線性回歸模型，通過SPSS軟件得到了回歸方程。并利用T統(tǒng)計量對回歸系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗，利用得到的可決系數(shù)R2和F統(tǒng)計量對模型的顯著性進(jìn)行檢驗；檢驗結(jié)果均顯著；針對問題三，我先利用殘差分析來剔除樣本中的異常數(shù)據(jù)，接著用SPSS軟件對剔除異常點后的樣本數(shù)據(jù)

2、進(jìn)行線性回歸，得到了新的回歸方程，并得到了相應(yīng)的F檢驗結(jié)果與T檢驗結(jié)果，檢驗結(jié)果均顯著；針對問題四，我先利用第三問中得到的新回歸方程預(yù)測了長為188cm器件的寬度為117.434cm。再用matlab軟件對剔除異常點后的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，得到相應(yīng)的擬合圖形及擬合方程，并預(yù)測了長為188cm器件的寬度為117.4853cm。在誤差允許的范圍內(nèi)這兩個預(yù)測結(jié)果是相同的。關(guān)鍵詞 一元線性回歸模型 SPSS軟件 顯著性檢驗 殘差分析3一、問題重述測得某物理器件16個長和寬的數(shù)據(jù)（單位：厘米）如： 表1:某物理器件16個長和寬的數(shù)據(jù)長143145146147149150153154寬88858891929

3、39395長155156157158159160162164寬969897969899100102問題一：請繪制散點圖，分析數(shù)據(jù)特點；問題二：建立回歸模型，并進(jìn)行回歸分析和檢驗；問題三：改進(jìn)模型，或者剔除異常數(shù)據(jù)，進(jìn)行新的回歸分析；問題四：預(yù)測及作圖，預(yù)測一個器件若長為188cm,則其寬應(yīng)為多少。二、 問題分析針對問題一：首先對于繪制散點圖我們可以使用Excel軟件完成，接著可以通過分析散點圖的走勢大致判斷出這個物理器件長和寬之間的關(guān)系。針對問題二：我們可以根據(jù)問題一中得到的長和寬之間的線性關(guān)系，可以建立關(guān)于該物理器件長和寬的一元線性回歸模型。通過SPSS軟件就可以解出這個回歸模型，并且還可以

4、得到該回歸模型的T檢驗結(jié)果與F檢驗結(jié)果。針對問題三：我們可以利用Excel軟件對回歸模型做殘差分析，這樣能夠剔除樣本中的異常數(shù)據(jù)。接下來就可以用SPSS軟件對剩下的樣本數(shù)據(jù)做一元線性回歸。這樣可以得到新的回歸方程及相應(yīng)的檢驗結(jié)果。針對問題四：我們可以根據(jù)第三問中得到的新回歸程來預(yù)測一個長為188cm器件的寬度值。并且還可以通過matlab軟件對剔除異常的后的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，這樣可以得到相應(yīng)的線性擬合圖與擬合方程，還可以預(yù)測長為188cm器件的寬度值。兩個值如果在誤差允許的范圍內(nèi)相同，那預(yù)測值就正確。三、基本假設(shè)（1）假設(shè)樣本是在總體之中隨機(jī)抽取出來的；（2）假設(shè)因變量在實直線上是連續(xù)的；

5、（3）假設(shè)殘差項是獨(dú)立同分布的，也就是殘差是獨(dú)立且服從正態(tài)分布。四、符號說明 : 物理器件的長度； : 物理器件的寬度； ：可決系數(shù)； ：回歸方程中自變量的系數(shù)； ：回歸方程中的常數(shù)項； ：對自變量系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗的t值； ：自由度為15，顯著性水平為0.05的t值； ：擬合結(jié)果中的標(biāo)準(zhǔn)偏差；五、模型的建立與求解5.1繪制散點圖，分析數(shù)據(jù)特點某物理器件16個長和寬的數(shù)據(jù)如下表：表2 某物理器件16個長和寬的數(shù)據(jù)序號12345678長143145146147149150153154寬8885889192939395序號910111213141516長1551561571581591601621

6、64寬969897969899100102相關(guān)性分析1 首先對這兩組長和寬的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，SPSS結(jié)果輸出如下所示：表3 物理器件16個長和寬的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)我們從上述結(jié)果中可以得到這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)等于0.963，這是一個很趨近1.000的值，因此我們可以得出這兩組數(shù)據(jù)具有很高的相關(guān)性。散點圖接下來用散點圖對這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，以長為橫坐標(biāo)值，寬為縱坐標(biāo)值，用Excle畫出散點圖的結(jié)果如下： 圖1 物理器件16個長和寬的數(shù)據(jù)的散點圖從散點圖中我們可以看出這兩組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)同增同減的線性趨勢。5.2 回歸模型的建立以及模型的分析與檢驗?zāi)Ｐ偷慕Φ谝粏栔械纳Ⅻc圖添加上線性趨勢線的結(jié)果如下圖

7、所示：圖2 加上線性趨勢線的散點圖從圖中我們可以得出線性關(guān)系的公式為 （1）y表示物理器件的長，x表是物理器件的寬。并且可決系數(shù) （2）可決系數(shù)很趨近于1，即線性回歸效果很好。模型的分析與檢驗11.樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗在對模型做回歸分析的T檢驗之前我們先分別對長和寬這兩組進(jìn)行正態(tài)性檢驗，SPSS檢驗結(jié)果的正態(tài)QQ圖如下所示：圖 3 長樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)QQ圖圖 4 寬樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)QQ圖可以看出圖3和圖4中的點均近似的排成一條直線，即長和寬這兩組數(shù)據(jù)的總體都是正態(tài)的。 2.對回歸方程的T檢驗回歸方程設(shè)為原假設(shè)和備擇假設(shè)：利用SPSS對物理器件的長和寬兩組數(shù)據(jù)做線性回歸，輸出結(jié)果如下所示：表4 線性

8、回歸結(jié)果的可決系數(shù)表5 線性回歸的F檢驗結(jié)果表6 線性回歸后的系數(shù)值及t檢驗結(jié)果由回歸結(jié)果可以得到回歸方程為 （3）可決系數(shù)為 （4）式(3)(4)與式(1)(2)的結(jié)果基本上相同，并且 23 （5）因此拒絕原假設(shè)，即。又F值的P值為0.000，因此回歸模型的顯著性很強(qiáng)，回歸結(jié)果有效。5.3 模型的改進(jìn) 對于模型的改進(jìn)，首先對回歸模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析，利用Excel得到的殘差結(jié)果如下圖所示：圖5 殘差分析圖由上圖可以看出只有第二個點落在之外，因此可以認(rèn)為第二個點為異常數(shù)據(jù)。于是就對模型進(jìn)行改進(jìn)，就是將異常點剔除后再進(jìn)行回歸。剔除異常點后的樣本數(shù)據(jù)如下表所示：表7 剔除異常點后某物理器件15個

9、長和寬的數(shù)據(jù)序號12345678長143146147149150153154155寬8888919293939596序號9101112131415長156157158159160162164寬9897969899100102接下來就對這剔除異常點后兩組長和寬的數(shù)據(jù)重新進(jìn)行研究，首先進(jìn)行相關(guān)性分析，SPSS結(jié)果輸出如下所示：表8 剔除異常點后15個長和寬數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù) 此時這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)是0.976，明顯比未剔除異常點時的兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)0.963要大，剔除異常點后長和寬數(shù)據(jù)的相關(guān)性更高。 接下來用Excel畫出這15對數(shù)據(jù)的散點圖，并且添加相應(yīng)的線性趨勢線，結(jié)果如下圖所示： 圖6 剔除

10、異常點后的散點圖及相應(yīng)的線性趨勢線此時線性關(guān)系的公式為 （6）可決系數(shù) （7）此時的可決系數(shù)也比未剔除異常數(shù)據(jù)時的可絕系數(shù)0.9282大，即回歸的效果更好。最后對新的模型進(jìn)行分析與檢驗。首先對剔除異常數(shù)據(jù)后的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗，SPSS檢驗結(jié)果的正態(tài)QQ圖如下所示：圖7 剔除異常點后的長樣本數(shù)據(jù)正態(tài)QQ圖圖8 剔除異常點后的寬樣本數(shù)據(jù)正態(tài)QQ圖可以看出圖7和圖8中的點均近似的排成一條直線，即剔除異常點后的長和寬這兩組數(shù)據(jù)的總體也都是正態(tài)的。 接下來對就對新的回歸方程進(jìn)行T檢驗回歸方程設(shè)為原假設(shè)和備擇假設(shè)：利用SPSS對剔除異常點后物理器件的長和寬兩組數(shù)據(jù)做線性回歸，輸出結(jié)果如下所示：表9

11、剔除異常點后線性回歸結(jié)果的可決系數(shù)表10 剔除異常點后線性回歸的F檢驗結(jié)果表11 剔除異常點后線性回歸的系數(shù)值及t檢驗結(jié)果由回歸結(jié)果可以得到新的回歸方程為 （8）可決系數(shù)為 （9）式(8)、(9)與式(6)、(7)的結(jié)果基本上相同，并且 2 (10)因此拒絕原假設(shè)，即。又F值的P值為0.000，所以這個新回歸模型的顯著性很強(qiáng)，新的回歸結(jié)果有效。5.4利用模型進(jìn)行預(yù)測題中要求我們預(yù)測長為188cm的物理器件寬的值，因此只要將188代入式(8)中的x就可以得到結(jié)果。即 (11)接下來，通過matlab4對這剔除異常點后剩下的15對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合（即一次擬合），并且輸出一次擬合圖以及預(yù)測長為188

12、cm的物理器件寬的值。Matlab源程序：x=143 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;y=88 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;P,S=polyfit(x,y,1);Splot(x,y,'k*',x,polyval(P,x),'k-');y=poly2str(P,'x')polyval(P,188)運(yùn)行結(jié)果如下所示：S = R: 2x2 double df: 13 normr: 3.4050y = 0.66327

13、 x - 7.21ans = 117.4853 圖9 剔除異常點后剩下的15對樣本數(shù)據(jù)的線性擬合圖其中線性擬合方程 (12)標(biāo)準(zhǔn)偏差 (13)長為188cm的物理器件寬的預(yù)測值 (14)式(12)、(14)與式(8)、(11)幾乎相同，這進(jìn)一步加強(qiáng)了結(jié)果的可信度。六、模型的評價及推廣6.1模型的評價A優(yōu)點：一元線性回歸模型簡單易實現(xiàn)，很多種統(tǒng)計軟件工具都可以求解這個模型。另外，在使用軟件求解此模型的同時還可以得到相應(yīng)的假設(shè)檢驗的結(jié)果，這給模型的分析和檢驗帶來了很大的方便。B.缺點： 此模型的局限性強(qiáng)，一定要誤差項為均值為0的隨機(jī)變量，并且誤差項是相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布的情況下才能使用。6.2模型的推廣1.此模型可