考研數(shù)學線代3向量與線性方程組

1、一 內(nèi)容概要1 向量的概念：（1）定義；（2）與矩陣之間的關(guān)系；（3）向量的相等；2 向量的運算：（1）向量的和、差；（2）向量的數(shù)乘；（3）向量的線性運算；3 向量組的線性關(guān)系（1） 線性組合：對于給定的向量組；如果存在一組數(shù)使得：則稱向量的一個線性組合，或稱可以由向量組：線性表示；（2） 線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義設是一組n維向量（當然是同型），如果存在一組不全為0的數(shù)使得：則稱向量組線性相關(guān)指出，這里一定要注意關(guān)鍵詞：（1）它是不全為0的數(shù)；（2）存在；至于這一組數(shù)具體是什么樣的一組數(shù)無關(guān)緊要。反之 則稱向量組線性無關(guān)，即若要成立，必有，則稱向量組線性無關(guān)。（3） 向量組的線性相關(guān)性與方程

2、組之間的關(guān)系向量組線性關(guān)系式具體表示出來實際上就是一個方程組：其中：因此，通俗的話來說，向量組線性相關(guān)的充要條件是：上述方程組有非0解。這是判斷一個向量組是否線性相關(guān)最常用的方法。（2） 向量 設的意義同上，則方程組可表示成：，或因此向量的充要條件是方程組有解。如果有唯一的解，則，且表示法是唯一的。如果方程組有無窮多組解，則，且表示法有無窮多種，此時向量組線性相關(guān)。如果方程組無解，則。4 關(guān)于向量組的等價（1） 設向量組：如果向量組中每一個向量可以被向量組線性表示，則稱向量組可被向量組線性表示。用式子表示就是：（2） 如果與能相互線性表示，則稱向量組與等價。（3） 如果向量組與等價，且與等價，

3、則與等價；這就是說，等價具有傳遞性；（4） 設等價；則向量組等價；5 向量組的極大線性無關(guān)組（1） 極大線性無關(guān)組的定義向量組：的一個部分組本身是線性無關(guān)的，其次再任意添進去一個都線性相關(guān)，則稱是向量組：的一個極大線性無關(guān)組；特別注意：1 一個向量組若僅含有一個0向量，此時不存在極大線性無關(guān)組，或稱其極大線性無關(guān)組所含有向量的個數(shù)為0； 2 若向量組本身是線性無關(guān)的，則其極大線性無關(guān)組就是該向量組本身；3一個向量組的極大線性無關(guān)組可能不止一組，可能有很多組；4 如果向量組與都是向量組的極大線性無關(guān)組，那么這兩個向量組與是等價的，因而所含有的向量的個數(shù)是相同的；6向量組的秩（1） 向量組秩的定義

4、：向量組：的極大線性無關(guān)組所含有的向量的個數(shù)稱為向量組的秩；（2） 設：，若可以被線性表示，則r()r();(3) 若向量組與等價，則其秩相同，即等價的向量組其秩是相同的；但注意反之是不能成立的，即兩個向量組的秩相同，但未必等價。 7 關(guān)于線性相關(guān)性常用的結(jié)論（1） 若一個向量組僅含有一個向量（2） 若一個向量組含有0向量，則此向量組一定線性相關(guān)；（3） 若一個向量組僅含有兩個向量，則此向量組線性相關(guān)的充要條件是對應分量成比例；（4） 向量組：線性相關(guān)的充要條件是：至少有一個向量可被其余向量線性表示；（5） 若向量組：線性無關(guān)，而向量組：線性相關(guān)，則向量一定可以被線性表示，且表示式是唯一的；（

5、6） 若向量一定可以被線性表示，且表示式是唯一的，則向量組：一定線性無關(guān)；（7） 若：中有部分組線性相關(guān)，則原向量組一定線性相關(guān)；若原向量組：線性無關(guān)，則它的任意一個部分組也線性無關(guān)；（8） 若：可被向量組線性表示，且s>t,則：必是線性相關(guān)的；即多的能被少的線性表示，則多的向量組一定線性相關(guān)；這個定理是比較重要的。（9） 若：是一個n維向量組，且s>n，則此向量組一定線性相關(guān)；這是因為：可被線性表示；例如：在三維幾何空間中，任意四個向量都是線性相關(guān)的，而在二維空間平面上，任意三個向量都是線性相關(guān)的；（10） 若：可被向量組線性表示，且線性無關(guān)，則必有這只要反證即可：即若s>

6、t ，則應用上面的結(jié)論，則線性相關(guān)，與條件矛盾；（11） 若：與向量組是等價的，且這兩個向量組都是線性無關(guān)的，則必有s=t；這只要應用上面的結(jié)論即可；（12） 若：與向量組是等價的，則其秩相同。這是因為與等價，那么它們的極大線性無關(guān)組也是等價的，因而其秩相同；從而向量組的不同的極大線性無關(guān)組所含有向量個數(shù)相等；（13） 若：線性無關(guān)，則它的延伸組：也必是線性無關(guān)，反之若線性相關(guān)，則原向量組也必是線性相關(guān)；事實上，這只要考慮方程組：與方程組：的解集關(guān)系即可。顯然Z()Z()若向量組：線性無關(guān)Z()=,又Z(),故Z()=；另一個同理可證。（14） 設：，則：線性無關(guān)的充要條件是：證明：設若：線性

7、無關(guān)由這個結(jié)論可以得到一個常見問題的一般解法：例如，三個三維向量要判斷它是否線性相關(guān)，這只要考慮是否為0即可，如果等于0，那么它是線性相關(guān)的，若不是0，則是線性無關(guān)的。8 關(guān)于向量空間（數(shù)一用）（1） 定義：設V是一個n維向量的一個集合，且非空，如果集合V中的向量對于向量的加法，和數(shù)乘仍然還在集合V中，即對于任意的則稱V是一個向量空間。（2） 關(guān)于向量空間的例：例1 ，則是一個向量空間，通常稱為方程組AX=0的解空間；這是因為：對于任意例2：，則是一個向量空間，通常稱為由向量組生成的向量空間；例3 ，則不是一個向量空間。這是因為：，從而，.例4 通常所說的三維幾何空間滿足上述空間的要求。最常見

8、的向量空間是實數(shù)域上n維向量的全體構(gòu)成的集合，記為。（3） 子空間如果,則稱。例如，上述的例1中；（4） 基、維數(shù)、與坐標基的定義：設V是一個向量空間，如果線性無關(guān)，都可以被其線性表示，則稱向量組是的一組基。例如：在中是V的一組基，通常稱為是的自然基。一個向量空間中可能有很多組基，例如在上述的例1中就有很多組基，每一個基礎解系就是它的一組基；在中除了自然基外，還有其他的基。一般地，向量空間V中不同基中所含有向量的個數(shù)是相同的。維數(shù):在向量空間中，一組基中基向量的個數(shù)稱為向量空間的維數(shù)；例如：在中，基向量的個數(shù)是n個，所以稱為是n維向量空間，而在上述的例1中,的基（基礎解系）向量的個數(shù)是n-r個

9、，所以是n-r維向量空間。坐標：設的一組基，則稱下的坐標。注意：同一個向量在不同的基下的坐標是不同的。（5）向量空間中兩組不同的基之間的關(guān)系：（基變換）設的兩組基，若或者表示為：即,則稱是由基的過渡矩陣。注意：這里過渡矩陣中元素的次序與兩組基的表示式之間的關(guān)系。過渡矩陣都是可逆的。中一般過渡矩陣A的求法以例說明此具體求法：例：設是的一組基，而V的另一組基為，求由到基的過渡矩陣A。解 設是的一組自然基，顯然從而：故則矩陣就是所求的由到基的過渡矩陣A。9 向量的內(nèi)積（數(shù)一用） 內(nèi)積的定義：設，則稱為向量。上述向量的內(nèi)積的定義正是三維幾何空間中向量內(nèi)積的定義的推廣。向量的長度：兩向量的夾角：的夾角。

10、由此可以計算向量的夾角；也記為向量的正交：設是兩個非0的向量，當時稱為是正交的。正交是三維幾何空間中向量垂直的推廣；關(guān)于正交向量的例：設方程組的任意一個非0解為，則向量是正交的；正交向量組的性質(zhì)：設向量都是正交的，則稱此向量組是正交向量組。正交向量組都是線性無關(guān)向量組。向量組的規(guī)范正交化：是一組線性無關(guān)向量組，由此得到一組單位正交向量組，稱為向量組的單位正交化，又稱施密特正交化方法。以具體的例說明此種方法的具體程序例 設為一組線性無關(guān)向量組，由此求一組單位正交向量組。第一步先將向量組正交化即同理：再將，即可得到單位正交向量組。具體單位化略。二 題型歸納1 有關(guān)向量組的線性相關(guān)性及其線性表示的問

11、題例1 設向量組，當？解 注意此向量組是4維的，且有四個向量，因此應用條件：線性相關(guān)的充要條件是，由此可以求出的值。具體略。例2 已知向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是：解 方法1 直接觀察可得（1）的向量組是線性相關(guān)的；方法2 若直接觀察有困難，可按照定義來進行，此種方法較繁，利用線性無關(guān)的條件，考察方程組：是否僅有0解，若僅有0解，就是線性無關(guān)，若有非0解，則就是線性相關(guān)（具體略）；方法3：注意而是可逆的，因此向量組與（2）是等價的，等價的向量組其秩相等，而線性無關(guān)，故（2）也是線性無關(guān)的。同理向量組（3）、（4）都是線性無關(guān)的例3 設：均為n維列向量，矩陣，則下列正確的是：（1）

12、若線性無關(guān)，則:線性相關(guān)；（2） 若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（3） 若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；（4） 若線性相關(guān)，則也線性無關(guān)解：注意這里不知道矩陣A的條件如何，而向量組的線性相關(guān)性不僅與向量組：的線性相關(guān)性相關(guān)，且與矩陣A的秩也有關(guān)系。按定義進行：設，此方程組未必僅有0解，可能僅有0解，也可能有非0解。若僅有0解，則又因為，但是矩陣A的條件如何并不知道,因此，結(jié)論（2）是正確的。例3 設向量組線性表示，則對于任意的常數(shù)k有：；解：注意這里的k是任意的，因此（1）、（3）、（4）都是不正確的，（2）對；事實上，由條件可得:由此可知等價，因而（2）是正確的，同理此方法可用于其他3個的判斷。（注意

13、：等價的向量組其秩相同）例4 設向量組，試問：當為何值時，（1）（2） ？（3）解：設，那么上述的問題分別是：（1）此方程組有唯一的解；（2）此方程組無解；（3）有無窮多組解；由于系數(shù)行列式因此，（1）當；（2） 當由可知，當線性表示；（3） 當線性表示；且表示法不是唯一的。例5 設向量組用分量表示分別是：，證明：若證明：令,這就是說：向量組是等價的；而等價向量組其秩相同。故結(jié)論成立。例6 設A是矩陣，而矩陣，若，證明矩陣B的列向量組線性無關(guān)。證明：方法1：設使得：即兩邊同時左乘以，故結(jié)論成立。方法2：因為，從而的列向量組的秩是m,故結(jié)論成立。題型2：有關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組的問題1 求已知

14、向量組的極大線性無關(guān)組的問題例 設，求此向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余的向量用極大線性無關(guān)組表示。解：由此可見：向量組等價，從而向量組有相同的秩，由上顯然可見，向量組的秩為3，而等價的向量組其秩相同，故向量組的秩是3，又，因此向量組的一個極大線性無關(guān)組是，且，如果是行向量組，作（T是一個階梯形矩陣）方法同上。例2 已知向量組：的秩為r，證明中任意r個線性無關(guān)的向量均是向量組的一個極大線性無關(guān)組。證明：設中的任意一個向量，有條件知道向量組：線性相關(guān)，而線性無關(guān)，因此可以被向量組線性表示，根據(jù)極大線性無關(guān)組的定義可知：是向量組的一個極大線性無關(guān)組。故結(jié)論成立。題型3 關(guān)于向量組的秩這里提請大

15、家注意：（1）向量組的秩即是向量組所含向量的個數(shù)，因此常常與向量組的極大線性無關(guān)組相聯(lián)系；（2） 若向量組可被表示，則r()r()；等價的向量組其秩相同；（3）向量組的秩與其構(gòu)成的矩陣的秩相等，因此常常與矩陣的秩的性質(zhì)相聯(lián)系。一般地1 若向量組是具體的m維數(shù)字列向量組，求此極大線性無關(guān)組和秩，方法如前；2 對于抽象的向量組（沒有給出具體的數(shù)字），常用上述原理來轉(zhuǎn)換。例1 設是一個n維向量組，如果向量組，證明證明:由條件知道線性表示，故又容易計算：這就是說向量組等價，故結(jié)論成立。例2證明：該結(jié)論大家都知道，但是它的來源并不是很清楚，下面給予證明證明：設線性表示，因此,故。例3 設，證明證明：因為（2） 若又，結(jié)合以上可得（3） 當是A的所有代數(shù)余子式例4 如果線性表示。證明：設是其一個極大線性無關(guān)組，因此線性無關(guān)，又，因此也是的極大線性無關(guān)組，從而可被線性表示，從而可被線性表示。題型4 與向量空間有關(guān)的問題1 已知的一組基，此問題就是解方程組：，此方程組的解所求。2 已知線性空間，求此線性空間的一組基；此問題事實上就是求向量組的一個極大線