空間向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、基本概念1、空間向量：2、相反向量：3、相等向量4、共線向量：5、共面向量6、方向向量：7、法向量8、空間向量基本定理：、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算:1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a = (a1,a2,a3) , b = (b1,b2,b3)則a - b = (a1 b1,a2 b2,a3 b3)；r ra b = a1b1 a2b2 a3b3 ；r r(I) a + b = (ai b1,a2 b2,a3 b3)； a = ( ai, a2, a3) ( R)；(4) 2.設(shè) A(X1, y1,Z1) , B(X2, y2, Z2),則UjUiUUuJUAB OB OA=

2、(x2 X1, y2 y1,z2 Z1).3、設(shè) a (,Y,Z), b(X2, y2,Z2)'則aPb a b(b0)；X1X2y1y2Z1Z20.CC4.夾角公式r bra,rr設(shè) a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3),則 COSCOS5 異面直線所成角X1X2 My Z1Z2222222XiyZi . X2y2 Z26.平面外一點(diǎn) P到平面 的距離已知AB為平面 的一條斜線，n為平面 的一個(gè)法向量，A到平面uuu r的距離為：d IAB"?n|Inl空間向量與立體幾何練習(xí)題、選擇題1.如圖，棱長(zhǎng)為 2的正方體ABCD A1B1C1D1在空間直角坐

3、標(biāo)UUU系中，若E,F分別是BC, DD1中點(diǎn)，則EF的坐標(biāo)為()A(1,2, 1) B. ( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)A B2.如圖，ABCABCD是正方體，BE= DFI-L-L ,貝U BE與4DF所成角的余弦值是()圖A.15B.17C A17D.3.在四棱錐ABCD 中,底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn),麗PcB PB D r C r CI- 2 1 - 2 r b r b 1-2 3-2 r a r aI- 2 1 - 2 A Cr C r C 12 3-2 r b r bI- 2 1 - 2 r a r aI- 2 1 - 2圖5在正方體

4、ABCD ABIGDI中，直線AD與平面ABC1夾角的余弦值為0 ,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為、填空題IUur uur4.若點(diǎn) A(1,2,3) , B( 3,2,7),且 AC BC三、解答題1在正四棱柱ABCD-ABCD中,AB 與底面 ABCD所成的角為一，4(1) 求證 BDl 面ABlC(2)求二面角B1 AC B的正切值C2 在三棱錐P ABC中，AB AC 3 AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 點(diǎn)E在BC上，且BE 2CE,(1)求證：AC BD ;求直線DE與PC夾角的余弦值； 求點(diǎn)A到平面BDE的距離d的值.3在四棱錐 P-ABCE中，底面 ABCt是一直角梯形， BA!=

5、90°, AD/ BC AB=BC=a, At=2a, 且PAI底面 ABCD PD與底面成30°角.(1)若AEL PD E為垂足，求證：BEL PD(2) 求異面直線 AE與CD所成角的余弦值.4、已知棱長(zhǎng)為1的正方體ACi, E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)(1) 求證：E、F、D B共面；(2) 求點(diǎn)A到平面的BDEF的距離；(3) 求直線AD與平面BDEF所成的角.5、已知正方體 ABCB Ai Bi C D的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，求:(I) DE與平面BCD所成角的大?。?)二面角 D- BC- C的大小;一、考點(diǎn)概要：1、空間向量及其運(yùn)算(1) 空間向量的

6、基本知識(shí)： 定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向 量，并且仍用有向線段表示空間向量， 且方向相同、 長(zhǎng)度相等的有向線段表示相 同向量或相等的向量。 空間向量基本定理：i定理：如果三個(gè)向量 不共面，那么對(duì)于空間任一向量，存在唯一的有序 實(shí)數(shù)組x、y、Z ,使。且把叫做空間的一個(gè)基底，都叫基向量。ii正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直， 那么這個(gè)基 底叫正交基底。iii單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱為單 位正交基底，通常用 表示。iv空間四點(diǎn)共面：設(shè)O A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)P， 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

7、X、y、z，使。 共線向量 (平行向量 ) ：i定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作 。i規(guī)定：零向量與任意向量共線；i共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量 平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù) , 使。 共面向量：i定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量。i向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或 在內(nèi)，則說向量 平行于 平面a，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。iii共面向量定理：如果兩個(gè)向量 、不共線，則向量 與向量、共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)X、y,使Oiv空間的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng)

8、、都是非零向量時(shí)，共面向量定理 實(shí)際上也是 、 所在的三條直線共面的充要條件,但用于判定時(shí),還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。V共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)P在平面MAB的充要條件是：存在有序 實(shí)數(shù)對(duì)x、y,使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn) Q有。 空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)0,作，（兩 個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同 ），則叫做向量 與 的夾角，記作 ，且 。 兩個(gè)向量的數(shù)量積：i定義：已知空間兩個(gè)非零向量 、，則 叫做向量、的數(shù)量積，記作， 即： 。ii規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0。iii注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量 、的點(diǎn)積（或內(nèi)積），它的結(jié)

9、果是一個(gè) 實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。iv數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影（其中為向量和的 夾角 ） 。即：數(shù)量積 等于向量 的模與向量 在 方向上的投影的乘積。V基本性質(zhì)：Vi運(yùn)算律：（2）空間向量的線性運(yùn)算： 定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下： 加法： 減法： 數(shù)乘向量： 運(yùn)算律：i加法交換律：i加法結(jié)合律：iii數(shù)乘分配律： 二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究?？臻g 向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效 的工具。2、根據(jù)空間向量的基本定理， 出現(xiàn)了用基向量解決立體

10、幾何問題的向量法， 建立空間直角坐標(biāo)系， 形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法， 它們的解答通 常遵循“三步”：一化向量問題，二進(jìn)行向量運(yùn)算，三回到圖形問題。其實(shí)質(zhì)是 數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律 和分配律，但不滿足結(jié)合律， 因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過程中不可以隨意組 合。值得一提的是： 完全平方公式和平方差公式仍然適用， 數(shù)量積的運(yùn)算在許多 方面和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍， 尤其去括號(hào)就顯得更為突出， 下面兩個(gè)公式較為 常用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用： 。2、空間向量的坐標(biāo)表示：（1） 空間直角坐標(biāo)系： 空間直角坐標(biāo)系O-Xy

11、Z ,在空間選定一點(diǎn)0和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)0 為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：X軸、y軸、Z軸，它們都叫做 坐標(biāo)軸，點(diǎn)0叫做原點(diǎn)，向量 叫做坐標(biāo)向量，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐 標(biāo)平面，分別稱為XOy平面，y0z平面，ZOX平面。 右手直角坐標(biāo)系： 右手握住 Z 軸，當(dāng)右手的四指從正向 X 軸以90°角度轉(zhuǎn) 向正向 y 軸時(shí)，大拇指的指向就是 Z 軸的正向 ; 構(gòu)成元素：點(diǎn)（原點(diǎn)）、線（X、y、Z軸）、面（XOy平面，yOz平面，ZOX平 面）; 空間 直角 坐標(biāo) 系 的 畫法： 作空間 直角 坐標(biāo) 系 O-XyZ 時(shí)， 一 般使 xOy=135 （或45°

12、; ）, yOz=90 ， Z軸垂直于y軸，Z軸、y軸的單位長(zhǎng)度相同，X軸上的單位長(zhǎng)度為y軸（或Z軸）的一半；（2） 空間向量的坐標(biāo)表示：已知空間直角坐標(biāo)系和向量 ，且設(shè) 為坐標(biāo)向量 （如圖） ， 由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 叫做向量在此直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)，記作 。 在空間直角坐標(biāo)系O-XyZ中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，若, 則有序數(shù)組 （x， y， z） 叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為 A（x， y， z） ， 其中X叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，Z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)，寫點(diǎn)的 坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。 空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：過 P分別作三個(gè)與

13、坐標(biāo)平面平行的平面（或垂 面），分別交坐標(biāo)軸于 A B、C三點(diǎn)，丨X I = I OA, y I = I OB,丨Z = OCl， 當(dāng)與的方向相同時(shí)，x>0,當(dāng)與的方向相反時(shí)，v,同理可確y、z（如圖）。 規(guī)定： 一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)， 于是， 空間任意一個(gè)向量與 它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的 坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè) ， ，則：（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算： 空間兩點(diǎn)間距離： ; 空間線段的中點(diǎn)M（x, y, Z）的坐標(biāo)：； 球面方程：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：4、過定點(diǎn)O,作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以 O為原點(diǎn)且一般具有相同

14、的長(zhǎng)度單位。這三條軸分別叫做Z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）;統(tǒng)稱坐標(biāo) 軸。通常把 X 軸和 y 軸配置在水平面上，而 Z 軸則是鉛垂線 ； 它們的正方向要符 合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系， 點(diǎn)O叫做坐 標(biāo)原點(diǎn)。5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn)(1) 點(diǎn)(原點(diǎn))的坐標(biāo)： (0,0,0);(2) 線( 坐標(biāo)軸 ) 上的點(diǎn)的坐標(biāo)： x 軸上的坐標(biāo)為 (x,0,0) ， y 軸上的坐標(biāo)為 (0,y,0) ， z 軸上的坐標(biāo)為 (0,0,z);(3)面(Xoy平面、yz平面、ZoX平面)內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0) 、平面上的坐標(biāo)為 (0,y,z) 、平面上的坐標(biāo)為 (x,0,z)6要使向量 與Z軸垂直，只要Z=O即可。事實(shí)上，要使向量 與哪一個(gè)坐 標(biāo)軸垂直，只要向量 的相應(yīng)坐標(biāo)為