《數(shù)值分析》實驗報告書

1、數(shù)值分析實驗報告1實驗一、誤差分析誤差問題是數(shù)值分析的基礎(chǔ)，又是數(shù)值分析中一個困難的課題。在實際計算中，如果選用了不同的算法，由于舍入誤差的影響，將會得到截然不同的結(jié)果。因此，選取算法時注重分析舍入誤差的影響，在實際計算中是十分重要的。同時，由于在數(shù)值求解過程中用有限的過程代替無限的過程會產(chǎn)生截斷誤差，因此算法的好壞會影響到數(shù)值結(jié)果的精度。一、實驗?zāi)康?、通過上機編程，復(fù)習(xí)鞏固以前所學(xué)程序設(shè)計語言及上機操作指令；2、通過上機計算，了解誤差、絕對誤差、誤差界、相對誤差界的有關(guān)概念；3、 通過上機計算，了解舍入誤差所引起的數(shù)值不穩(wěn)定性。二、實驗任務(wù)對 n0,1,2,20 ，計算定積分1x ndx

2、.yn0 x5算法 1： 利用遞推公式y(tǒng)n15 yn 1,n1,2,20 ,n11取y00 xdxln 6ln 50.182322 .5算法 2：利用遞推公式y(tǒng)n 111 ynn20,19,1.5n5注意到11 1201 x201 120dx11266 0xdxdx5 0x,0x 51052取y201(11 ) 0.008730 .20105126思考：從計算結(jié)果看，哪個算法是不穩(wěn)定的，哪個算法是穩(wěn)定的。算法 1：t=log(6.0)-log(5.0);n=0;y=zeros(1,21);y(1)=t;for k=2:21y(k)=1/k-5*y(k-1);n=n+1;endy(1:6)y(7

3、:21)運行結(jié)果：ans = 0.1823-0.41162.3914 -11.706958.7343 -293.5049算法 2：y=zeros(21,1);n=1;y1=(1/105+1/126)/20;for k=21:-1:2y(k-1)=1/(5*k)-y(k)/5;n=n+1;end運行結(jié)果：y =0.08840.05800.04310.03430.02850.02430.02120.01880.01690.01540.01410.01300.01200.01120.01050.00990.00930.00890.00810.00950由數(shù)據(jù)對比可知，算法2 較為穩(wěn)定。3實驗二、插值

4、法插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，它是數(shù)值積分、微分方程數(shù)值解等數(shù)值計算的基礎(chǔ)與工具，其中多項式插值是最常用和最基本的方法。拉格朗日插值多項式的優(yōu)點是表達式簡單明確，形式對稱，便于記憶，它的缺點是如果想要增加插值節(jié)點，公式必須整個改變，這就增加了計算工作量。而牛頓插值多項式對此做了改進，當(dāng)增加一個節(jié)點時只需在原牛頓插值多項式基礎(chǔ)上增加一項，此時原有的項無需改變，從而達到節(jié)省計算次數(shù)、節(jié)約存儲單元、應(yīng)用較少節(jié)點達到應(yīng)有精度的目的。一、實驗?zāi)康?、理解插值的基本概念，掌握各種插值方法，包括拉格朗日插值和牛頓插值等，注意其不同特點；2、通過實驗進一步理解并掌握各種插值的基本算法。二、實驗任務(wù)1、已知

5、函數(shù)表xi0.561600.562800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.82495用二次拉格朗日插值多項式求x0.5635時的函數(shù)近似值。2、已知函數(shù)表xi 0.40.550.650.80.9yi 0.41075 0.578150.696750.88811 1.02652用牛頓插值多項式求 N 3 (0.596)和 N 4 (0.895) 。1.function y,R=lagranzi(X,Y,x,M)x=0.5635;M=2;X=0.56160,0.56280,0.56401,0.56521;Y=0.82741,0.82659,0.82577,0

6、.82495;4n=length(X);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;q1=1.0;c1=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-X(j)/(X(k)-X(j);endq1=abs(q1*(z-X(j);c1=c1*j;ends=p*Y(k)+s;endy(i)=s;endR=M.*q1./c1;運行結(jié)果：ans = 0.82612.N3(0.596)function y,R= newcz(X,Y,x,M)x=0.596;M=3;X=0.4,0.65,0.9;Y=0.41075,0.69675,1.02652;n=

7、length(X); m=length(x);5for t=1:mz=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y's=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1);endq1=abs(q1*(z-X(j-1);c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k);d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k); endy(k)= polyval

8、(C, z);endR=M*q1/c1;運行結(jié)果：ans = 0.6313N4（0.895 ）function y,R= newcz(X,Y,x,M)x=0.895;M=4;X=0.4,0.55,0.65,0.8,0.9;Y=0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652;n=length(X); m=length(x);for t=1:mz=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y's=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;6for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(

9、i)-X(i-j+1);endq1=abs(q1*(z-X(j-1);c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k);d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k)= polyval(C, z);endR=M*q1/c1;運行結(jié)果：ans = 1.01947實驗三、解線性方程組的直接法解線性方程組的直接法是指經(jīng)過有限步運算后能求得方程組精確解的方法。但由于實際計算中舍入誤差是客觀存在的，因而使用這類方法也只能得到近似解。目前較實用的直接法是古老的高斯消去法的變形，即主元

10、素消去法及矩陣的三角分解法。引進選主元的技巧是為了控制計算過程中舍入誤差的增長，減少舍入誤差的影響。一般說來，列主元消去法及列主元三角分解法是數(shù)值穩(wěn)定的算法，它具有精確度較高、計算量不大和算法組織容易等優(yōu)點，是目前計算機上解中、小型稠密矩陣方程組可靠而有效的常用方法。一、實驗?zāi)康?、了解求線性方程組的直接法的有關(guān)理論和方法；2、會編制列主元消去法、LU分解法的程序；3、 通過實際計算，進一步了解各種方法的優(yōu)缺點，選擇合適的數(shù)值方法。二、實驗任務(wù)、用列主元高斯消去法求解方程組0.101x12.304x23.555x31.1831.347x13.712x24.623x32.137.2.835x11

11、.072x25.643x33.0352、用矩陣直接三角分解法求解方程組Axb ，其中12128275472，b4A795.31161283491.主程序：function RA,RB,n,X=liezhu(A,b)B=A b; n=length(b); RA=rank(A); ('求矩陣的秩 ')RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('請注意：因為 RA=RB，所以此方程組無解 .')8returnendif RA=RBif RA=ndisp('請注意：因為 RA=RB=n，所以此方程組有唯一解.')

12、X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1Y,j=max(abs(B(p:n,p); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)/A(q,q); endelsedisp('請注意：

13、因為 RA=RB<n，所以此方程組有無窮多解.')endend計算程序：A=0.101 2.304 3.555;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643; b=1.183;2.137;3.035; RA,RB,n,X=liezhu(A,b)運行結(jié)果：ans = 求矩陣的秩請注意：因為 RA=RB=n，所以此方程組有唯一解.RA=3RB=3n = 39X = -0.39820.01380.33512.程序：function X=LUjfcz(A,b)n,n =size(A);X=zeros(n,1);Y=zeros(n,1);C=zeros(1,n

14、);r=1:n;for p=1:n-1max1,j=max(abs(A(p:n,p);C=A(p,:);A(p,:)= A(j+p-1,:);A(j+p-1,:)=C;g=r(p);r(p)= r(j+p-1);r(j+p-1)=g;if A(p,p)=0disp('A是奇異陣 , 方程組無唯一解 ');break;endfor k=p+1:nH= A(k,p)/A(p,p);A(k,p) = H;A(k,p+1:n)=A(k,p+1:n)- H* A(p,p+1:n);10endendY(1)=b(r(1);for k=2:nY(k)= b(r(k)- A(k,1:k-1)*

15、 Y(1:k-1);endX(n)= Y(n)/ A(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)= (Y(i)- A(i, i+1:n) * X (i+1:n)/ A(i,i);endEnd計算程序：A=1,2,-12,8;5,4,7,-2;-3,7,9,5;6,-12,-8,3; b=27;4;11;49;X=LUjfcz(A,b)運行結(jié)果：X = 3.0000-2.00001.00005.000011實驗四、解線性方程組的迭代法解線性方程組的迭代法是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，即是從一個初始向量x(0) 出發(fā)，按照一定的迭代格式產(chǎn)生一個向量序列 x( k) ，使其收

16、斂到方程組 Axb 的解。迭代法的優(yōu)點是所需計算機存儲單元少，程序設(shè)計簡單，原始系數(shù)矩陣在計算過程中始終不變等。但迭代法存在收斂性及收斂速度問題。迭代法是解大型稀疏矩陣方程組的重要方法。一、實驗?zāi)康?、熟悉迭代法的有關(guān)理論和方法；2、會編制雅可比迭代法、高斯- 塞德爾迭代法的程序；3、注意所用方法的收斂性及其收斂速度問題。二、實驗任務(wù)1、用雅可比迭代法解方程組x12x22x37x1x2x32 .2x12x2x35注意：若用高斯 - 塞德爾迭代法則發(fā)散。2、用高斯 - 塞德爾迭代法解方程組x10.9x20.9x31.90.9x1x20.9x32.0.0.9x10.9x2x31.7注意：若用雅可比

17、迭代法則發(fā)散。1.主程序：function X=jacdd(A,b,X0,P,wucha,max1)n m=size(A);for k=1:max1k12for j=1:mX(j)=(b(j)-A(j,1:j-1,j+1:m)*X0(1:j-1,j+1:m)/A(j,j);endXdjwcX=norm(X'-X0,P); xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps); X0=X'if (djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha)disp('請注意：雅可比迭代收斂, 此方程組的精確解jX 和近似解 X 如下： ')

18、returnendendif (djwcX>wucha)&(xdwcX>wucha)disp('請注意：雅可比迭代次數(shù)已經(jīng)超過最大迭代次數(shù)max1 ')End計算程序：A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;b=7;2;5; X0=0 0 0'X=jacdd(A,b,X0,inf,0.01,100)運行結(jié)果：k = 1X = 725k = 2X=13-10-13k = 3X = 12-1k = 4X = 12-12.主程序：function X=gsdddy(A,b,X0,P,wucha,max1)13D=diag(diag(A);U=-triu(

19、A,1);L=-tril(A,-1); dD=det(D); if dD=0disp('請注意：因為對角矩陣D 奇異，所以此方程組無解.')elsedisp('請注意：因為對角矩陣D 非奇異，所以此方程組有解.')iD=inv(D-L); B2=iD*U;f2=iD*b;jX=Ab; X=X0;n m=size(A);for k=1:max1X1= B2*X+f2; djwcX=norm(X1-X,P);xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);if (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)returnelsek,X1&#

20、39;,k=k+1;X=X1;endendif (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp('請注意：高斯 - 塞德爾迭代收斂 , 此 A 的分解矩陣 D,U,L 和方程組的精確解 jX 和近似解 X 如下： ')elsedisp('請注意：高斯 - 塞德爾迭代的結(jié)果沒有達到給定的精度，并且迭代次數(shù)已經(jīng)超過最大迭代次數(shù) max1,方程組的精確解jX 和迭代向量 X 如下： ')X=X'jX=jX'endendX=X'D,U,L,jX=jX'計算程序：A=1 0.9 0.9;0.9 1 0.9;0.9

21、 0.9 1;b=1.9;2.0;1.7;X0=0 0 0'X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100)運行結(jié)果：14k =1ans =1.90000.2900-0.2710k =2ans =1.88290.5493-0.4890k = 3ans =1.84570.7789-0.6622k =4ans =1.79490.9805-0.7979k =5ans =1.73561.1560-0.9025k =6ans =1.67181.3076-0.9815k = 7ans =1.60651.4375-1.0396k = 8ans =1.54191.5479-1.0808k =9ans =1.47961.6411-1.1086