正定矩陣概念及例題實用教案

1、會計學1正定正定(zhn dn)矩陣概念及例題矩陣概念及例題第一頁，共20頁。 二次型的標準形不是(b shi)唯一的。 標準形中所含項數(shù)是確定的( 即是二次型的秩 )。 限定變換為實變換時，標準形中正系數(shù)的個數(shù)是不變的。定理(dngl)11 ( 慣性定理(dngl) ) 設有實二次型, xAxfT 它的秩是 r ，有兩個實的可逆變換, zPxyCx 與與.,)0(,)0(,212122222112222211個數(shù)相等個數(shù)相等中正數(shù)的中正數(shù)的中正數(shù)的個數(shù)與中正數(shù)的個數(shù)與則則及及使使rrirrirrkkkzzzkykykyk 上頁下頁返回正數(shù)的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，負數(shù)的個數(shù)稱為負慣性指數(shù)第1頁/

2、共20頁第二頁，共20頁。對任何(rnh) x 0 , 都有 f(x) 0 , 則稱 f 為負定二次型，并稱對稱陣 A 是負定的 ，記作 A 0,（顯然 f(0) = 0 ），則稱 f 為正定二次型，并稱對稱陣 A 是正定的。記作 A 0 ；如果定理12 實二次型xAxfT 為正定的充分必要條件是：它的標準形的 n 個系數(shù)全為正。證 設可逆變換使使yCx 上頁下頁返回第2頁/共20頁第三頁，共20頁。先證充分性. 0)(, 0, 0)., 2 , 1(0121 niiiiykxfxCxnik故故則則任給任給設設 推論 對稱陣 A 為正定的充分(chngfn)必要條件是：A 的特征值全為正。再證

3、必要性：用反證法。假設(jish)有 ks 0 , 則,時時當當sey ( 單位(dnwi)坐標向量 ) 時，, 0)( sskeCf. 0 seC顯然顯然這與假設 f 正定矛盾，. 0 ik故故上頁下頁返回第3頁/共20頁第四頁，共20頁。 定理13 對稱陣 A 為正定(zhn dn)的充分必要條件是：A 的各階主子式都為正。即; 0, 0, 011112221121111 nnnnaaaaaaaaa對稱陣 A 為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子(zh zi)式為負，而偶數(shù)階主子(zh zi)式為正。即)., 2 , 1( , 0)1(1111nraaaarrrrr 這個(zh ge)定理稱

4、為霍爾維茲定理。上頁下頁返回第4頁/共20頁第五頁，共20頁。 注意：對于二次型，除了(ch le)有正定和負定以外，還有半正定和半負定及不定二次型等概念。上頁下頁返回(fnhu)第5頁/共20頁第六頁，共20頁。 根據(jù)正定矩陣的定義及性質(zhì)，判別對稱矩陣A 的正定性(dng xng)有兩種方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均為正數(shù)，則A 是正定的；若A 的特征值均為負數(shù)，則A 為負定的。 二是計算A 的各階主子式。若A 的各階主子式均大于零，則A 是正定的；若A 的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負，偶數(shù)階為正，則A 為負定的。上頁下頁返回(fnhu)第6頁/共20頁第七頁，共20頁

5、。判定(pndng)對稱矩陣 300031013A正定性(dng xng)。解 方法(fngf)一, 0311 a因因為為, 08311322211211 aaaa, 024300031013| A所以A 是正定的。上頁下頁返回第7頁/共20頁第八頁，共20頁。),4)(3)(2(300031013| EA方法(fngf)二：A 的特征多項式為. 4, 3, 2321正正定定的的是是從從而而知知的的特特征征值值為為故故AA 上頁下頁返回(fnhu)第8頁/共20頁第九頁，共20頁。 由實二次型的矩陣表示及對稱矩陣的正定性判別法知，判斷二次型的正定性也有兩種方法。 一是利用對稱矩陣A 的正定性。

6、若二次型 f 的對稱矩陣A 是正定的，則f 是正定二次型；若A 是負定的，則 f 也是負定二次型。 二是將 f 化為標準形。若其標準形的 n 個系數(shù)全為正，則 f 是正定的；若 f 的標準形的 n 個系數(shù)全為負，則 f 是負定的。 由于將 f 化為標準形非常復雜，因此第二種方法一般(ybn)不用。上頁下頁 返回(fnhu)判別(pnbi)二次型正定的方法第9頁/共20頁第十頁，共20頁。解f 的矩陣(j zhn)是,402062225 A, 080, 0266225, 052221121111 Aaaaaa所以(suy) f 是負定的。判別(pnbi)二次型xzxyzyxf44465222 的

7、正定性。A 的各階主子式為：上頁下頁返回第10頁/共20頁第十一頁，共20頁。設二次型.,42244323121232221為為正正定定二二次次型型取取何何值值時時問問fxxxxxxxxxf 解f 的矩陣(j zhn)是,4212411 A, 0)2)(1(4, 0441, 022221121111 AaaaaaA 的各階主子(zh zi)式為：.,12二次型為正定的二次型為正定的時時解得解得 上頁下頁返回(fnhu)第11頁/共20頁第十二頁，共20頁。判別(pnbi)二次型2331212142xxxxxxf 解f 的矩陣(j zhn)是,102001211 A, 01102001211,

8、010111, 012221121111 Aaaaaa所以 f 既不是正定(zhn dn)的，也不是負定的，即不定二次型。的正定性。A 的各階主子式為：上頁下頁返回第12頁/共20頁第十三頁，共20頁。 設C 是滿秩矩陣(j zhn)，實對稱矩陣(j zhn)A 是正定的，則C TAC是正定的。證因為(yn wi)A 為正定，所以對任意, 0 x, 0 xAxfT有有, yCx 作作,)(yACCyfTT 則則, 0,01 xCyCx得得可可逆逆及及由由, 0)( yACCyxAxfTTT從而從而即C TAC是正定(zhn dn)的。上頁下頁返回第13頁/共20頁第十四頁，共20頁。 證明：若

9、實對稱(duchn)矩陣A = ( aij ) 為正定矩陣，則 aii 0 ( i =1, 2, , n ).證因為(yn wi)A 為正定，所以對任意, 0 x, 0 xAxfT有有),0 , 1 , 0( Tiex取取)., 2 , 1(0niaxAxiiT 則則上頁返回(fnhu)第14頁/共20頁第十五頁，共20頁。第五章小結(jié)(xioji) 本章通過向量的內(nèi)積，從而給n維向量建立了度量的概念，結(jié)合方陣的特征值理論，給出了判定矩陣是否可以對角化的判定方法；通過對實對稱矩陣所具有的特點，說明實對稱矩陣不僅可以相似(xin s)對角化，而且可以正交對角化；從而為二次型化標準型提供了一種重要方

10、法：正交變換法。由二次型與實對稱矩陣的一一對應關系，將二次型的討論轉(zhuǎn)化為矩陣的討論，并討論了正定二次型。上頁下頁返回(fnhu)第15頁/共20頁第十六頁，共20頁。第五章主要(zhyo)方法一) 方陣(fn zhn)的特征值與特征向量的求法|;|)().1(EAfA 的的特特征征多多項項式式計計算算;,0)().2(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出Af ., 0)().3(的的全全部部特特征征向向量量于于特特征征值值的的屬屬線線性性組組合合就就是是則則這這個個基基礎礎解解系系的的非非零零系系個個基基礎礎解解并并求求出出這這個個方方程程組組的的一一線線性性方方程程組組的的特

11、特征征值值逐逐個個代代入入齊齊次次把把 AxEAA 上頁下頁 返回(fnhu)第16頁/共20頁第十七頁，共20頁。二 ) 用正交方陣將方陣化為對角(du jio)陣的方法 (1).求A 的特征值； (2).求A 的特征值對應的n 個線性無關的特征向量； (3). 將重特征值所對應的特征向量正交化，連同單特征值所對應的特征向量一起就得到(d do)兩兩正交的特征向量； (4). 將 (3) 中 n 個特征向量單位化，得到(d do) n 個兩兩正交的單位特征向量； (5). 以這些特征向量作為列向量的矩陣就是所求的正交矩陣，且有.1 APP上頁下頁返回(fnhu)第17頁/共20頁第十八頁，共20頁。三) 化二次型為標準型的方法(fngf) (1).正交變換法 1 .寫出二次型對應的矩陣(j zhn)A . 2 .將A化為對角陣，求出正交陣P . 3 .寫出標準型，且正交變換為X=PY . (2).配方法 1.含有平方(pngfng)項，直接配方； 2.不含有平方(pngfng)項,化成含有平方(pngfng)項,再配方