高中物理競賽—靜電場

1、word 110 真空中的靜電場基 本 要 求一、理解電場強度和電勢這兩個根本概念和它們之間的聯(lián)系。二、掌握反映靜電場性質的兩個根本定理高斯定理和環(huán)流定理的重要意義與其應用。三、掌握從的電荷分布求場強和電勢分布的方法。內 容 提 要一、真空中的庫侖定律)(412210rrqqrf庫侖定律的適用條件：1. 點電荷； 2. 電荷靜止或低速 。二、電場和電場強度電場電荷能夠產生電場。電場是一種客觀存在的物質形態(tài)。電場對外表現(xiàn)的性質：1. 對處于電場中的其他帶電體有作用力；2. 在電場中移動其他帶電體時，電場力要對它做功，這也明確電場具有能量。電場強度的定義式0qfe點電荷場強公式)(4120rrqr

2、e場強疊加原理電場中某點的場強等于每個電荷單獨在該點產生的場強的疊加矢量和。幾種常見帶電體的場強word 111 1、電荷線密度為的無限長均勻帶電直線外一點的場強ae022、電荷面密度為的無限大均勻帶電平面外一點的場強02e方向垂直于帶電平面。3、帶電q、半徑為r的均勻帶電導體球面或導體球的場強分布rr時，0204rerq4、帶電q、體密度為的均勻帶電球體場強分布rr時，0204rerq三、電通量高斯定理電場線電力線畫法1. 電場線上某點的切線方向和該點場強方向一致；2. 通過垂直于e的單位面積的電場線的條數(shù)等于該點e的大小。電場線的性質1. 兩條電場線不能相交；2. 電場線起自正電荷或無窮遠

3、處 ，止于負電荷或無窮遠處，電場線有頭有尾，不是閉合曲線。電場強度通量sedse電場強度通量也可形象地說成是通過該面積s的電場線的條數(shù)。高斯定理真空中靜電場內，通過任意閉合曲面的電場強度通word 112 量等于該曲面所包圍的電量的代數(shù)和的1/0倍。0內ssqdse高斯定理是描寫靜電場根本性質的根本定理，它反映了電場與形成電場的場源電荷之間的關系，說明靜電場是有源場。四、靜電場的保守性環(huán)路定理靜電力做功的特點電場力做的功只取決于被移動電荷的起點和終點的位置，與移動的路徑無關。靜電場的環(huán)路定理0le d上式說明靜電場力所做的功與路徑無關，也說明靜電場是保守力場。環(huán)路定理是靜電場的另一重要定理，可

4、用環(huán)路定理檢驗一個電場是不是靜電場。環(huán)路定理要求電場線不能閉合，說明靜電場是無旋場。五、電勢能、電勢和電勢差保守力做功和勢能增量的關系aab =(wbwa) q0在電場中a、b兩點電勢能之差等于把q0自a點移至b點過程中電場力所做的功。bababadqdwwlelf0電勢能選標準點勢能零點，且取w標=0，q0在電場中某點a的電勢能為標0aadqwle即q0自a移到“標準點的過程中電場力做的功。電勢能應屬于q0和產生電場的源電荷系統(tǒng)共有。word 113 電勢差a、b兩點的電勢差即把單位正電荷自ab過程中電場力做的功。bababadqwwuule0電勢電場中某點的電勢等于把單位正電荷自該點移到“

5、標準點過程中電場力做的功。標0aaadqwule點電荷電勢公式rqu04電勢疊加原理電場中某點的電勢等于各電荷單獨在該點產生的電勢的疊加代數(shù)和。六、場強和電勢的關系電勢梯度等勢面電勢相等的點組成的面。等勢面和電場線的關系等勢面與電場線處處垂直；電場線從高電勢處指向低電勢處；等勢面密處場強大。場強和電勢梯度的微分關系ugrade或ue解題方法與例題分析一、求場強的方法在普通物理學中，求解靜電場的場強的根本方法通常有以下三種： 1. 用點電荷場強公式和場強疊加原理求場強；2. 由高斯定理求場強，這種方法只能求解一些典型的對稱性分布的帶電體的場強； 3. 或求出電勢分布u后，再由ugrade求場強。

6、熟練掌握求解靜電場場強的這三種方法是學好電磁學的關鍵。word 114 1. 用點電荷場強公式和場強疊加原理求場強原如此上說，用點電荷場強公式和場強疊加原理可以求任何帶電體所產生的場強。帶電體可以分為連續(xù)和非連續(xù)帶電體，非連續(xù)帶電體如電偶極子的場強的求解方法較簡單，本書主要介紹連續(xù)帶電體的場強的求解方法積分法。用積分方法求任意帶電體的場強的根本思想是把帶電體看作電荷元的集合 電荷元可以是線元、面元或體元。在電場中某點的場強為各電荷元在該點產生的場強的矢量和。積分法解題的主要步驟如下：將帶電體分成無數(shù)的電荷元，每一電荷元可視為點電荷，任一電荷元在空間某點場強為02041rerdqd由場強的疊加原

7、理，帶電體在該點產生的場強02041reerdqd選擇適當?shù)淖鴺讼?，把矢量積分eed化為分量積分式，如取直角坐標系，如此ex=d ex，ey= d ey ，ez= dez。根據(jù)積分式中各變量之間的關系，找出統(tǒng)一變量，由選定的坐標系和帶電體的形狀確定積分限，注意積分要遍與整個帶電體。進展積分求得ex、e y 、ez，再求出e。在某些情況下，可把電荷連續(xù)分布的帶電體看作由許多微小寬度的帶電直線或圓環(huán)或者具有微小厚度的圓盤或球殼所組成。如無限大均勻的帶電直圓柱體可看作無限多圓盤所組成，這時可以取帶電圓盤為電荷元，以便求出無限大帶電圓柱體軸線上一點的場強。這樣取電荷元的好處是可以把二重積分或三重積分化

8、為單重積分來做，使運算簡化。word 115 2. 由高斯定理求場強用高斯定理求場強必須要根據(jù)電場的對稱性，選擇適當?shù)母咚姑媸箞鰪奺能提到積分號外。用高斯定理求場強的步驟大體如下：分析給定問題中電場的對稱性，如電場強度分別具有球對稱性、平面對稱性無限大均勻帶電的平板或平面以與軸對稱性無限長均勻帶電的圓柱體、圓柱面或直線等時，能用高斯定理求解；選擇適當?shù)母咚姑?，使場強e能提到積分號外面。如電場具有球對稱性時，高斯面選與帶電球同心的球面；電場具有軸對稱性時，高斯面取同軸的柱面；電場具有平面對稱性時，高斯面取軸垂直于平面并于平面對稱的柱面；求出高斯面所包圍的凈電荷q，代入高斯定理的表示式求出場強的大

9、小。由場強的對稱性確定場強的方向。3. 求電勢分布u后，由ue求場強因為電勢是標量，電荷分布用積分求電勢比用積分求場強更為方便，所以對不能用高斯定理求場強的情況，先求電勢的函數(shù)式，再用上述關系求電場強度往往是比擬方便的。例 1 長l厘米的直導線ab均勻地分布著線密度為的電荷。求： 1在導線的延長線上與導線一端b相距r處p點的場強；2在導線的垂直平分線上與導線中點相距r處q點的場強。adx o b pxlr aradx b xlbqde圖 81 word 116 解 1如圖 8 1a所示，取a點為坐標原點，向右為x軸正方向。直導線上任一dx線元到a點距離為x，其電場強度為20)(41rxldxd

10、e而各段在p處產生場強方向一樣沿x軸正方向，故總場強為)11(4)(41)(41000020lrrrxlrxldxdeellp方向沿x軸正方向。2假如以導線ab中心為坐標原點，如圖81b所示。dx線元在q點產生的電場為)(41220rxdxde方向如下列圖由于對稱性，其疊加場強沿y正方向，水平方向相互抵消。在q點的場強為222122220)()(41cosllqrxrrxdxdee2022202023220)(2)(42llxrrxrrxdxr21220214lrrl方向沿y軸正方向。當導線 l 為無限長時，由上式可求得場強為)2/(0re。word 117 例 2 一帶電細線彎成半徑為r的半

11、圓形，其電荷線密度為=0sin，式中為半徑r與x軸所成的夾角，0為一常數(shù)，如圖 82 所示， 試求環(huán)心o處的電場強度。解在處取電荷元，其電量為dldq0drsin0它在o點處產生的場強為204rdqderd004sin在x、y 軸上的兩個分量cosdedex，sindedey0000cossin4drexrdrey0002008sin4所以jieyxeejr008例 3 利用帶電量為q、半徑為r的均勻帶電圓環(huán)在其軸線上任一點的場強公式232204xrqxe推導一半徑為r、 電荷面密度為的均勻帶電圓盤在其軸線上任一點的場強，并進一步推導電荷面密度為的無限大均勻帶電平面的場強。解設盤心o點處為原點

12、，x軸沿軸線方向， 如圖 83 所示，在任意半徑r處取一寬為dr的圓環(huán)，其電量rdrdq2圖 82 oxydeydexdedqword 118 232204xrxdqde232202xrrdrxrxrrdrxdee0232202rxrx022012220112xrxx當r時，即為“無限大帶電平面220 xxe例 4 如圖 84 所示，一厚為a的無限大帶電平板，電荷體密度= kx (0 xa) ，k為一正值常數(shù)。求：1板外兩側任一點m1、m2的電場強度大小；2板內任一點m的電場強度；3場強最小的點在何處。解 1在x處取厚為dx的平板， 此平板帶電量sdxdq電荷面密度為dxsdq如此02de02

13、dx02kxdx圖 84 am1m2mox圖 8 3 pdexrrdroword 119 adxkxe002024ka2板內任一點m左側產生的場強方向沿x軸正向dxkxea0012024kxm右側產生的場強方向沿x軸負向dxkxeax0220224xak所以0220244xakkxe22024axk3e = 0 時場強最小，即0222ax2ax例 5 如圖 85 所示，圓錐體底面半徑為r，高為h，均勻帶電，電荷體密度為，求頂點a處的場強。解在離頂點a為x處選厚為dx的薄圓盤，此圓盤半徑為r。由圖知rhrx即xhrr此薄圓盤的帶電量dxrdvdq2電荷面密度=電量 / 面積 =dxrdxr22利

14、用例 3 均勻帶電圓盤在軸線上任一點的場強結果220112rxxxe可得此薄圓盤在a點的場強rahx圖 8 5 word 120 22012rrxdedxrhh22012dxrhheh22001222012hrhh此題也可以在柱面坐標系中用三重積分來計算。例 6 半徑為r、長為的均勻帶電圓柱體，電荷體密度為0，求圓柱體軸線上o點的場強。 設o點離圓柱體近端的距離為b，如圖 86 所示。解 用積分法求解這題目時，如取點電荷為積分元，如此要用三重積分。但是我們取圓盤為積分元，用圓盤在軸線上一點產生的場強的公式， 只要計算定積分就可以求得圓柱體軸線上一點的場強。如圖 86 取坐標，距o點的距離y處，

15、一厚度為dy的圓盤在o點產生的場強的大小de = 02de122yry方向與y軸相反，式中是厚度為dy的圓盤上的電荷面密度，和圓柱體的電荷密度0的關系o b y y 圖 86 word 121 220rdyr=dy0所以有de =debbdy002122yry= bbdy002bbyrydy2002=0222)(br22br 例 7 如圖 87 a所示，在xy平面內有與y軸平行、位于x= a/2和x= a/2處的兩條無限長平行的均勻帶電細線，電荷密度分別為和， 求z軸上任一點的電場強度。圖 87 解過z軸上任一點 (0 ，0，z) 分別以兩條帶電細線為軸作單位長度的圓柱形高斯面，如圖87b所示

16、，按高斯定理求出兩帶電直線分別在該處產生的場強大小為)/(210rebxo2a2aeeezzxyzo2a2aaword 122 式中正負號分別表示場強方向沿徑向朝外和朝里，如下列圖，按場強疊加原理，該處合場強的大小為cos2eerar2/0)4(2220zaa方向如下列圖或用矢量表示ie)4(2220zaa例 8 真空中有一高h=20cm、底面半徑r=10cm的圓錐體。在其頂點與底面中心的中點上置一q =10-6c 的點電荷，求通過該圓錐體側面的電場強度通量。ab圖 88 解以頂點與底面圓心的中點為球心，22/2)(hrr為半徑做一球面?？梢钥闯?，通過圓錐側面的電通量等于通過整個球面的電通量減

17、去通過以圓錐底面為底的球冠面的電通量。整個球面的電通量為00/q通過球冠面的電通量001/ ss204)2/(2rhrrqqrhr2/hrword 123 220)2/(2/12hrhq式中s為球冠面面積s=2r(rh/2) ，s0為整球面積。通過圓錐側面的電通量10222000)2/(42hrqhqq220/2)(2/12hrhq/cmn100.624二、求電勢的方法在普通物理學x圍內，求解靜電場電勢的根本方法通常有以下兩種： 1. 用點電荷電勢公式和電勢疊加原理求場強；2. 或求出場強分布e后，再由up=pdle求電勢。熟練掌握求解靜電場電勢的這兩種方法是對學好電磁學大有裨益的。1. 用點

18、電荷電勢公式和電勢疊加原理求場強把帶電體看為由許多電荷元組成的，帶電體在電場中某點產生的電勢為各電荷元在該點產是的點勢du的疊加，即u=du用積分求電勢的步驟和用積分求場強一樣，只是u =du是一個標量積分，不用取分量式。2. 或求出場強分布e后，再由up=pedr ，求電勢word 124 對有限大小的帶電體，通常選無限遠為電勢的零點，所以有up=pedr用上式求電勢時應注意：選擇適當?shù)穆窂?，因為上述積分與路徑無關，我們取積分路徑時，總是設法選取使積分計算比擬簡便的路徑；對于在積分路徑上不同區(qū)域內場強的函數(shù)形式不同的情況，積分必須分段進展。如從r到rx圍內的場強為e1(r) ，從r到“無窮遠

19、處場強為e2(r) ，如此p點的電勢upr=rre1(r)dr+re2(r)dr對能用高斯定理求場強的問題，用這種方法求電勢比擬方便。例 9 一根長為l的細棒，彎成半圓形，其上均勻帶電，電荷線密度為，試求在圓心o點的電勢。解半圓形導線半徑：lro點電勢由電勢迭加原理求解。rdqdu04，dldq0000444rlrdlduul例 10 如圖 8 9 所示，兩個均勻帶電的同心球面，半徑分別為r1和r2，帶電量分別為q1和q2。求場強和電勢的分布。解 1對稱性分析：場強沿徑向；離球心o距離相等處，場強的大小一樣?？梢妶鰪娋哂星驅ΨQ性可以用高斯定理求場強。 2選擇高斯面：選與帶電球面同心的球面作為高

20、斯面。當rr2時，取半徑為r的高斯面s1，s1 圖 89 o1r2r3s2s1sword 125 如下列圖。由高斯定理sqqd1021se因為場有上述的對稱性，所以sqqred102124se解得20214rqqe當r1rr2時， 取半徑為r的高斯面s2，如下列圖。 由高斯定理201sqdse因場強有球對稱性，故01242qredsse解出2014rqe當rr2時rqqdrrqqdreurr021202144當r1rr2時20201202120120212014441144422rqrqrqqrrqdrrqqdrrqdreurrrr當rr1時drrqqdrrqdrdreurrrrrr22112

21、02120144020210120212101444114rqrqrqqrrq當然，也可以用電勢疊加原理來求電勢的分布，把空間各點的電勢看為兩個帶電球殼在空間產生的電勢的疊加，求得的結果和從電勢定義出發(fā)求得的結果一樣。如果我們對一個均勻帶電球面在空間產生的電勢分布的函數(shù)關系比擬熟悉，那么用后一種解法是比擬方便的。word 127 習題一、填空題1、兩個正點電荷所帶電量分別為q1和q2，當它們相距r時，兩電荷之間相互作用力為f=。假如q1+q2=q，欲使兩電荷間的作用力最大，如此它們所帶電量之比q1：q2=。2、 四個點電荷到坐標原點o的距離均為d， 如圖 810 所示，如此o點的電場強度e=。

22、3、真空中兩塊互相平行的無限大均勻帶電平面，其中一塊的面電荷密度為+, 另一塊的面電荷密度為+2，兩極板間的電場強度大小為。4、半徑為r，均勻帶電q的球面， 假如取無窮遠處為零電勢，如此球心處的電勢v0=；球面外離球心r處的電勢vr=。假如在此球面挖去一小面積s連同其上電荷 ，如此球心處的電勢v0=。二、選擇題1、邊長為a的正方體中心放置一個電荷q，通過一個側面的電位移矢量通量為： a.4q； b.2q； c.q； d.6q2、如圖 811 所示，閉合面s內有一點電荷q, p為s面上y +2q + 2q o -q x -q 圖 810 pbaq 圖 811 q word 128 一點，s面外a

23、點有一點電荷q，假如將q移到s面外另一點b處，如此下述正確的答案是： a.s面的電通量改變，p點的場強不變；b.s面的電通量不變，p點的場強改變；c.s面的電通量和p點的場強都不變；d.s面的電通量和p點的場強都改變。3、關于電場強度定義式e=f/q0，指出如下說法中的正確者： e的大小與檢驗電荷q0的電量成反比；b.對場中某點，檢驗電荷受力f與q0的比值不因q0而變；f的方向就是場強e的方向；q0，如此f=0，從而e=0。4、電場強度定義式e=f/q0, 這一定義的適用x圍是： a.點電荷產生的電場； b. 靜電場；c.勻強電場； d. 任何電場。5、在 si 制中，電場強度的量綱是： a.

24、11mlti； b.21mlti； c.31mlti； d.3imlt。6、假如將負點電荷q從電場中的a點移到b點，如圖 812所示，如此下述正確的答案是： a.電場力作負功；eaeb；c.電勢能減小；vavb。a be圖 812 -q a o b c d 圖 813word 129 7、一電量為-q的點電荷位于圓心o處，a、b、c、d為同一圓上的四個點，如圖813 所示?，F(xiàn)將一實驗電荷從a點分別移到b、c、d各點，如此： a到b，電場力做功最大；a到c，電場力做功最大；a到d，電場力做功最大；a到各點，電場力做功相等。三、判斷題 1、閉合曲面內的電荷的代數(shù)和為零，閉合曲面上任一點的場強一定為零。 2、閉合曲面上各點的場強為零，閉合