高數(shù)A(下)總復(fù)習(xí)(同濟六版)-cxz

1、i j ax ay bx by ra rb, 以向量a和b為鄰邊的平行四邊形面積公式: r b ra s ab ax ay （對應(yīng)坐標(biāo)成比例，一向量某個坐標(biāo)為零，另一向量相應(yīng)坐標(biāo)亦為零az） ；|b |cos(a,b).高等數(shù)學(xué)（下冊）期末總復(fù)習(xí)、向量代數(shù)與空間解析幾何（一）向量代數(shù)1、uuuu 點m (x, y,z)向量om r (x, y,z) xi r yj r zk ；2、 點a(x1,y1,z1), uuu 向量ab& “2 v1,z2 z1)；3、 向量運算及其坐標(biāo)形式： 設(shè)a (ax, ay, az r ),b (bx, by,bz)，則r r a b (axbx,ay

2、by, a zbz) ；a (ax,ay,a-)(為數(shù)）；a b |a | |b |cos(a,b) axbx ayby azbz;r k r r r az, (| a b | | a|b |sin(a,b),abzr r r r ?i a b a b 0; a/b a b 0 ；cos(a,b) （二）曲面、空間曲線及其方程1、 曲面及其方程：f（x,y,z） 0，旋轉(zhuǎn)曲面【繞誰不換誰，正負(fù)根號里沒有誰；作圖時先畫母線然后繞其軸旋轉(zhuǎn)之】柱面【柱面三缺一，缺誰母線就平行于誰；作圖時先畫準(zhǔn)線結(jié)合母線特點得柱面】二次曲面【截痕法與伸縮變形法作圖】；要熟悉常見的曲面及其方程并會作圖. （主要要求認(rèn)識

3、空間圖形）2、 空間曲線及其方程：一般方程（面交式）、參數(shù)方程；3、 曲線（曲面或空間立體）在坐標(biāo)面上的投影：投xoy便消去z，其余類似4、 會作簡單立體圖形（三）平面方程與直線方程：1、平面方程1）一般方程：ax by cz d 0，其中n （a,b,c ）為其一法向量 .2） 點法式方程：法向量n （代b, c ），點m（x0,y0,z0），則a（x x0） b（y y0） c（z z0） 0 .3）截距式方程：-1-1a b c 一ax b“v c1z d-i 0 一4） 平面束方程：過直線 1 1的平面束方程為bxrb ra?口(a1x b-iy c1z d1) ax b2y c2z

4、d20 （a2x b2y c2z d2） 0 : 過該直線的除第2 個平面的所有平面2、直線方程x xo y yo z zo x x2) 參數(shù)式方程：y y0 z z3、面面、線線、 線面關(guān) 系:4、距離ax by c|z u 0 a2x b2y c2z d20 mo(xo, yo,zo)到面ax by cz 0的距離：dax。by。czd ,a2b2 c21) 點向式方程：方向向量s (m, n, p)，點m0(x0, y。,) l，則mt nt (注：主要用于求交點坐標(biāo))；3 ) 一般式方程 : pt 確定了相應(yīng)的方向向量或法向量之后，其夾角便轉(zhuǎn)化為向量之間的夾角ujujur r點mo到線

5、的距離：d 創(chuàng)，其中s為直線的方向向量，m為直線上任意一點 . |s| 或取直線參數(shù)方程以確定垂足坐標(biāo)，利用兩點距離公式可求主要題型 ( 1 ) 向量數(shù)量積的運算：主要利用定義式、交換律、結(jié)合律和分配律；( 2)求解直線方程和平面方程：把握方向向量和法向量，或用平面束方程?、多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用( 一)極限與連續(xù)二重極限常用求法：夾逼準(zhǔn)則、等價無窮小、有理化，不可用洛必達(dá)法則；注：可用特殊方向法來證極限不存在連續(xù)性一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的；有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必有最值( 二)偏導(dǎo)數(shù)1、顯函數(shù)：z f (x, y) a.定義：fx(xo,yo) lim丄啟一生四一f(x,y

6、o) , fy(x。，y。)定義類似；注：重點掌握定義法求偏導(dǎo)x 0 x b.求導(dǎo)法則：對x求偏導(dǎo)，暫時視y為常量；對y求偏導(dǎo)，暫時視x為常量2 2 c.高階偏導(dǎo)數(shù)：一z zfxx(x,y) ?，亠zfxy(x, y) 定理：二階混合偏導(dǎo)在其連續(xù)時相同?x x x x y y x d.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則( 鏈?zhǔn)椒▌t ) ：若z f (u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u g(x, y)與v h(x, y)都具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z fg(x,y),h(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)為：z z u z v z z fu ux fv vx f1 gx f2 hx ；u z v fu uy fv vy f1 gy f

7、2 h x u x v x y u y v y 注意 : 解題時， 要注意偏導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的寫法，并按順序遍歷每一個中間變量；f,f1 ,f11 等都具有相同的中間變量.2、隱函數(shù) (要訣：兩邊同時對自變量求導(dǎo)；一個方程確定一個因變量) 1. 一個方程的情形：元方程可確定一個一元隱函數(shù)：f(x, y) 0 dy 公式法. dx fx fy 兀方程可確疋一個二兀隱函數(shù)：f (x, y, z) z z(x,y) z 0 公式法：dx fx _z fv fz,dy fz 三元方程組確定兩個一元隱函數(shù): y y(x) f (x, y, z) 0 z z(x) dy dz g(x, y, z) 0 對x求

8、導(dǎo)dx，dx 四元方程組可確定兩個二元隱函數(shù): f(x,y,u,v) 0 g(x,y,u,v) 0 v v(x,y) u v 對 x(或 y)求偏導(dǎo)，視 y(或 x)為常量 ,得 ，x x u v( 或-y,_y) 切線方程為x x。y yx(t) y(t。)b、若曲線的方程為 : f(x) g(x) 點m (x, y,z) ，則切向量為t (1, y (x),z(x3) c、若曲線的方程為一般方程：f(x,y,z)g(x,y,z) 0 r 0，點m(x0,y,z。)，則切向量為t (1,y (x0),z(x。)( 利用隱函數(shù)求導(dǎo)法 , 方程兩邊對x求導(dǎo)，解方程組可得翌，主 ). (注：該法有

9、可能無解，無解時需改換其它自變量求導(dǎo))dx dx 2. 方程組的情形 : u u(x,y) ( 三) 全微分：可微函數(shù)z f (x, y)的全微分為：dz dx dy . x y 定義為：z f (xo x,yo y) f(xo,yo) ax by o()，其中.,(x)2 ( y)2掌握某點處全微分存在之證明：計算z a x b y ：，證明是否趨近于0，其中a,b為該點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)( 四) 幾何應(yīng)用 (重點把握切向量和法向量) 1. 曲線的切線與法平面：x x(t) a、若曲線的方程為參數(shù)方程：y y(t)，點m(x0,y0,z() t t0，則z z(t) 切向量為t (x(t0),y

10、(t0),z(t。),-z; 法平面方程為x(t) (x x0) y(t) (y y) z(t) (z %) 0 z(t。)【另解：利用三階行列式計算fxgx j fy gy fz gz a、若曲面的方程為f (x, y, z) 點m(x0,y,z。)，則法向量為：n (fx(m ), fy(m ), fz(m ),切平面方程為 : fx(x,y。，z0)(x x0) fy(x, y, z0)(y y) fz(x, y,z)(z z0) 0 ；x x0 法線方程為 : 2. 曲面的切平面與法線: y y。fx(x0,y,z0) fy(x0,y,z0) fz(x0,y,z0)b、若曲面的方程為z

11、f(x, y)，點m(x0,y,z0)，則法向量為：n (fx(x, y), fy(x, y), 1),( 一) 二重積分a、直角坐標(biāo)：i f(x,y)dxdy d b dx a d cdyy2(x) f (x, y)dy, % (x) x2(y) (、f (x, y)dx, xi (y) 若 d: 若 d: m(x) y y2(x) x 電(y) b、極坐標(biāo)：切平面方程為：fx(x,yo)(x xo) fy(x,yo)(y y) (z z) 0 ；法線方程為：x x0 y yz zfx(x0,y) fy(x0,y) 1 ( 五)方向?qū)?shù)與梯度： ( 以二元函數(shù)為例 ) 1 ) 、方向?qū)?shù)：設(shè)

12、z f (x, y)可微分， (cos ,cos ), 則f l fx(x0, y)c0s fy(x,y)cos ( 勺必)2) 梯度：gradf (x, y) (fx(x,y), fy(x, y)，沿梯度方向，方向?qū)?shù)取得最大值，該值即為梯度的模( 六) 極值： 1) 無條件：設(shè)z f (x, y)，由fx(x，y) 0解得駐點(x0,y0)，fy(x,y) 0 令a fxx(x0,y),b fxy(x0,y),c fyygy。)，然后利用a, b, c 判定極值與否 :2 2 2 ac b 0有極值，a 0極小，a 0極大；ac b 0無極值；ac b 0用此法無法判定 . 2) 條件極值

13、：z f (x, y)在條件(x,y) 0下的極值：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，令l(x, y) f (x, y) (x, y),lx(x, y) 0 聯(lián)立方程ly(x, y) 0 , 其解(x。，y。)為可能的極值點 ?是否為極值點，一般可由問題的本身性質(zhì)來判定. (x,y) 03) 閉區(qū)域上最值問題：內(nèi)部區(qū)域通過令一階偏導(dǎo)為零得駐點；邊界通過代入法或拉格朗日乘數(shù)法求可疑點三、積分的計算與應(yīng)用注(1) 利用任意平移的穿越線法來確定積分順序及積分上下限；先對 x 求積分，則畫平行于x 軸的穿越線(2)若積分區(qū)域不只需一條穿越線, 則適當(dāng)分割之； (3) 通過二重積分，可交換二次積分的積分順序，這是一類常

14、考的題型. x cos i 垐d垐:垐? f ( cos , sin ) d d ,d 2 2 注(1) 被積函數(shù)或積分區(qū)域中含有x y的都可以考慮極坐標(biāo)法(2) 積分順序：；( 2) 先確定的范圍，后固定，選取從極點岀發(fā)的穿越線來確定.(注：此處的穿越線為一條由極點出發(fā)的射線，可繞極點任意旋轉(zhuǎn))c、對稱性 (1) 奇偶對稱性：若積分區(qū)域d關(guān)于x軸對稱，d1(x, y) d, y 0，則當(dāng) f (x,y)是關(guān)于 y 的奇函數(shù)，有f(x,y)dxdy 0 ；當(dāng) f (x, y)是關(guān)于 y 的偶函數(shù)，有f (x, y)dxdy 2 f(x,y)dxdy .d d d1 (2) 輪換對稱性：若積分區(qū)

15、域d關(guān)于直線 y x 對稱，則f(x, y)dxdy f(y,x)dxdy .d、應(yīng)用平面面積adxdy ；曲頂柱體體積v上頂下底 d ；曲面面積a ds j zx2dxy zy dxdy ( . 1 dyz 2 xy xz2dydz 或x 1 dzx 2 2 yx yz dzdx)( 二)三重積分a、投影法 ( 先一后二法 ) i垐 紋噪| 可毀) 鎰邁壌y)，舉) 艘i噲垐垐垐垐垐垐垐?z2 (x, y) dxdv 、f (x, y, z)dz w(x,y) dxy 確定區(qū)域：先將立體區(qū)域投影到xoy平面上，選取平行于z軸的穿越線確定z的上下限 .b、截面法 ( 先二后一法 ) d dz

16、c f (x, y,z)dxdy 主要適用于 (1) 被積函數(shù)f (x, y, z)僅含一種或不含自變量, 比如上式只含z (2) 截面應(yīng)易計算其面積c、柱面坐標(biāo)：cos sin f ( cos , sin , z) d d dz ；f(rsin cos ,rsin sin ,rcos ) r2sin drd d 若f (x, y, z)關(guān)于z為偶函數(shù)，! (x, y, z) , z 0 ，f (x, y, z)dv 2 f (x, y, z)dv -(2) 輪換對稱性：區(qū)域輪換對稱1 注：求立體體積，并一定要畫出立體的準(zhǔn)確圖形，但一定要會求出坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，并知道立體的底和頂?shù)姆匠谭e分順

17、序：z ; 確定積分上下限冋上述投影法，取平行于z軸的穿越線；，冋極坐標(biāo) .d、球面坐標(biāo)：x rsi n cos y rsin sin i 垐z毅2i l噲- 垐 垐垐? 口dv干sin飛d哥 積分順序：r ； (1) 將閉區(qū)域投影至xoy平面，以確定的范圍在半平面c內(nèi)確定的范圍固定，畫一條從原點岀發(fā)的穿越線，以確定r的范圍e、對稱性 (1) 奇偶對稱性：設(shè)積分區(qū)域關(guān)于xoy平面對稱若f(x,y,z)關(guān)于z為奇函數(shù)，則f(x,y,z)dv 0 ；( 三)曲線積分1) 第一類 ( 對弧長 ) ：、宀匕、羅 _ a、平面曲線：l f (x, y)ds 垐 垐fx(t), y(t) dt( ) b、

18、空間曲線：f(x,y,z)ds 垐1垐七垐丫蠻垐？fx(t), y(t), z(t) jx2(t) y2(t) z2(t)dt( ) 2) 第二類 ( 對坐標(biāo) ) a、平面曲線：i l p(x, y)dx q(x, y)dy ) 參數(shù)法：i 垐? 翠垐垎？px(t), y(t)x(t) qx(t), y(t)y(t)dtq pi )格林 (gree n)公式：？p(x, y)dx q(x,y)dy d ()dxdy ; 不閉則補之 (常取折線 ) . 注意條件：偏導(dǎo)數(shù)?x y 處處連續(xù)， l 為 d的正向邊界曲線 . 定理：設(shè)函數(shù)p(x, y),q(x, y)在單連通區(qū)域d內(nèi)處處具有連續(xù)的偏導(dǎo)

19、數(shù)，則下列命題相互等價：(1)沿d 內(nèi)任意一條閉曲線c , ? p(x, y)dx q(x, y)dy 0 ； (2) l p(x, y)dx q(x, y)dy 在d 內(nèi)與路徑無關(guān) ;p(x, y)dx q(x, y)dy在d內(nèi)為某函數(shù)u(x, y)的全微分，即存在函數(shù)u(x, y)，使得du pdx qdy ； 在 d內(nèi)恒有 :這里u(x, y)可由下列兩種方法求得：(x,y) , 線積分法：u(x, y) p(x, y)dx q(x, y)dy c ; 選取特殊路徑，一般是折線路徑(x0,yo) 偏積分法：由du pdx qdy，得 -up(x, y); x 兩邊對x求偏積分可得u(x,

20、 y) p(x, y)dx f (x, y) c(y) 兩邊對y求偏導(dǎo)可得fy(x, y) c (y)，再由q(x, y)，可解得c(y)，從而得u(x,y).y y b、空間曲線：i p(x, y, z)dx q(x,y,z)dy r(x,y,z)dz i)參數(shù)法：i 垐 垐t垐y垐垐px(t), y(t), z(t)x(t) qx(t), y(t), z(t)y (t) rx(t),y(t), z(t)z(t)dtii)斯托克斯 ( stokes ) 公式：cos cos cos dydz dzdx dxdy ? pdx qdy rdz x y z ds或x y z p q r p q r

21、 注 l 的方向與的側(cè)符合右手規(guī)則；通常取為曲線所在平面 ?( 四) 曲面積分i 、第一類 ( 對面積 ) ：設(shè)，：z z(x,y), (x,y) dxy，則i f (x,y,z)ds d f x, y, z(x, y) ji zx2zy2dxdy i 、第二類 ( 對坐標(biāo) ) ：i p(x, y, z)dydz q(x, y, z)dzdx r(x, y, z)dxdy p q r 1)高斯(gauss) 公式：-pdydz qdzdx rdxdy ( )dxdydz ux y z 若不閉則補之 ?注意條件：偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)及方向性: 為的整個邊界曲面的外側(cè). 2）投影法：注意垂直性 ?若不垂

22、直，則p(x, y, z)dydz : x x(y, z) px(y, z), y, zdydz【前正后負(fù)】dyz q(x, y,z)dzdx : y y(z, x) qx, y(z, x), zdzdx【右正左負(fù)】dzx r(x, y,z)dxdy : z z(x, y) rx, y, z(x, y)dxdy【上正下負(fù)】dxy 3）化為第一類曲面積分: pdydz qdzdx rdxdy (pcos qcos rcos )ds 四、級數(shù)（一）常數(shù)項級數(shù)及其收斂性1、定義 : un收斂（發(fā)散）lim s存在（不存在）【部分和sn u1 u2 l un】n 2、基本性質(zhì)： 1）kun（k 0）與

23、un具有相同的斂散性；2）un與vnn 1 n 1 n 1 n 1 都收斂(un vn)收斂 ;n 1 3）改變有限項的值不影響級數(shù)的斂散性；4）收斂的級數(shù)可以任意加括號; 5) 若un收斂，則lim un0 ；反之未必 . 6 ）若lim un0, 則un發(fā)散n nn 1 3、特殊級數(shù)的收斂性【必須牢記之】：1 調(diào)和級數(shù)1發(fā)散 ; n 1 n1 1條件收斂 ; n 1 p 級數(shù)+ : 當(dāng)p 1時收斂，當(dāng)p 1時發(fā)散 ; n 1 np1 p : p 1時絕對收斂，當(dāng)p 1時條件收斂 .npaqn，當(dāng)|q| 1時發(fā)散，當(dāng)|q| 1時收斂，且aqn 3(| q| 1). n 0 n 0 1 q 4

24、、正項級數(shù)un，其中un 0（n 1,2,l ）:un收斂部分和sn有界n 1 ii 、比較： 1）unvn（n n）2 ）極限形式 : lim un l(0 l n vn ）【相同的斂散性；可利用無窮小的比較記憶】1比值（根值聊 呃），當(dāng)1時收斂當(dāng)1（）時發(fā)散；而當(dāng)1時用此法不6、1、收斂半徑 : 1）若an 0【不缺項】：lim n an 1 an , 0, (hm ? |an |) , r 1/ , 0 0, 2）若缺項：limn un 1(x)l 1，解得收斂區(qū)間 . 注：主要參照等級級數(shù)1 c n0 xn(x| 1)；n n0&x| )(1 x)m 1 cmx cmx2l c

25、mxn l 1 mx ma2l m(m 1)l(m n %n 2! n! 能判定其收斂性，轉(zhuǎn)而用ii或 i . 5、交錯級數(shù)（1）nun（un 0, n 1,2丄）: 一般項絕對值un單調(diào)遞減趨于零 .,則收斂，且 s u1n 1 般項級數(shù)un （un為任意常數(shù)）：發(fā)散或收斂（絕對收斂，條件收斂）n 1 ( 二)幕級數(shù)un(x) anxn或an(x x0)n:n 0 n 0 n 0 2、收斂域：先求收斂半徑r，可得收斂區(qū)間（r, r ），再討論端點x r處的收斂性可得所求的收斂域3、幕級數(shù)和函數(shù)的求法：先求收斂域，再利用幕級數(shù)的運算性質(zhì)（加減乘除四則運算，逐項求導(dǎo)，逐項積分，和函數(shù)的連續(xù)性）以

26、及換元法，然后代已知的展開式，可得所求的和函數(shù). 4、函數(shù)展開成幕級數(shù)f (x) an (x x0)n (x i):n 0 1）直接展開法：【利用taylor展開定理】求導(dǎo)數(shù)得系數(shù)，寫出泰勒級數(shù)，求其收斂域，最后記得判定余項趨于零，便可得到所求的展開式.2）間接展開法：利用幕級數(shù)的運算性質(zhì)（加減乘除四則運算，逐項求導(dǎo)，逐項積分，和函數(shù)的連續(xù)性）以及換兀法，然后代已知的展開式，可得所求的展開式. 注：以下 7 個常用的展開式必須牢記（重點是前三個）2n 1 2n x x sinx ( 1)n(|x| )；cosx ( 1) (|x| ) n 0 (2n 1)! n 0 (2n)! n 1 x l

27、n(1 x) ( 1)n(1 x 1) n 0 n 1 1比值（根值聊 呃），當(dāng)1時收斂當(dāng)1（）時發(fā)散；而當(dāng)1時用此法不（三）傅里葉級數(shù)：只列舉t 2 情形，一般周期t 21類似. 1、傅里葉級數(shù)展開式：f(x) -a(an cos nx bn sin nx) 2 n 12、系數(shù)bn1- f (x)sin nxdx (n 1,2,l ) an 0(n 0,1,2l) 2此時級數(shù)變?yōu)閎nsi nnx, 稱為正弦級數(shù)bn0 f (x)sinnxdx(n 1,2,3l ) n 1 2 an0f(x)cosnxd乂n 0,1,2l) ，a0n 0此時級數(shù)變?yōu)?一0b 0(n 1,2,3l) an co

28、s nx，稱為余弦級數(shù)n 1 3、收斂性條件：在一個周期內(nèi)1)處處連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；2) 只有有限個極值點 . 4、和：a0 2 f (x) x 為 f (x)的連續(xù)點n1(ancosnx bnsx)g fq x 為 f(x)的間斷點五、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)1) 若f (x)為t 2的周期函數(shù)，則對f (x)驗證收斂定理的條件，求出f (x)的間斷點，利用收斂定理，寫出f (x)的傅氏級數(shù)的收斂性， 再求出傅氏系數(shù)， 最后寫出所求的傅氏級數(shù)展開式?注意：必須寫出展開式成立的范圍，在展 開式不成立的點 ( 必為間斷點 ) 必須指明傅氏級數(shù)的收斂性. 2) 若f(x)只在,上有定義，則必須對f (x)進行周期延拓，然后對周期延拓后所得的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開式限制在,上討論 . 3) 若f (x)只在0,上有定義，對f(x)進行奇 ( 偶) 延拓再周期延拓，可得