(完整版)漆安慎杜禪英力學(xué)習(xí)題及答案05章

1、第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性55 第五章一、基本知識(shí)小結(jié)力矩力對(duì)點(diǎn)的力矩fro力對(duì)軸的力矩frkz?角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量prlo質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量prklz?角動(dòng)量定理適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)該點(diǎn)的力矩之和dtld0外質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)該軸的力矩之和dtdlzz角動(dòng)量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系若作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)某點(diǎn)的力矩之和始終為零，則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變?nèi)糇饔糜谫|(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)某軸的力矩之和始終為零

2、，則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變對(duì)質(zhì)心參考系可直接應(yīng)用角動(dòng)量定理及其守恒定律，而不必考慮慣性力矩。二、思考題解答5.1 下面的敘述是否正確,試作分析 ,并把錯(cuò)誤的敘述改正過(guò)來(lái): （1） 、一定質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中某時(shí)刻的加速度一經(jīng)確定，則質(zhì)點(diǎn)所受的合力就可以確定了，同時(shí)作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩也就確定了。（2） 、質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)必定受到力矩的作用；質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)必定不受力矩的作用。（3） 、力與 z 軸平行，所以力矩為零；力與 z 軸垂直，所以力矩不為零。（4） 、小球與放置在光滑水平面上的輕桿一端連結(jié)，輕桿另一端固定在鉛直軸上。垂直于桿用力推小球，小球受到該力力矩作用，由靜止而繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生

3、了角動(dòng)量。所以，力矩是產(chǎn)生角動(dòng)量的原因，而且力矩的方向與角動(dòng)量方向相同。（5） 、作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量m，速率 v 及圓周半徑r 都是常量。雖然其速度方向時(shí)時(shí)在改變，但卻總與半徑垂直，所以，其角動(dòng)量守恒。答： （1）不正確 . 因?yàn)橛?jì)算力矩 , 必須明確對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn). 否則沒(méi)有意義 . 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力可以由加速度確定. 但沒(méi)有明確參考點(diǎn)時(shí), 談力矩是沒(méi)有意義的. （2） 不正確 . 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), 有兩種情況 : 一種是勻速圓周運(yùn)動(dòng), 它所受合力通過(guò)圓心; 另一種是變速圓周運(yùn)動(dòng), 它所受的合力一般不通過(guò)圓心. 若對(duì)圓心求力矩, 則前者為零, 后者不為零.質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng) , 作用于

4、質(zhì)點(diǎn)的合力必沿直線. 若對(duì)直線上一點(diǎn)求力矩, 必為零; 對(duì)線外一點(diǎn)求力矩則不為零。（3）不正確 . 該題應(yīng)首先明確是對(duì)軸的力矩還是對(duì)點(diǎn)的力矩. 力與軸平行 , 力對(duì)軸上某點(diǎn)的力矩一般不為零, 對(duì)軸的力矩則必為零.力與軸垂直 , 一般力對(duì)軸的力矩不為零 , 但力的作用線與軸相交, 對(duì)軸力矩應(yīng)為零（4）不正確 . 因?yàn)橐粋€(gè)物體在不受力的情況下, 保持靜止或勻速直第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性56 線運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 它對(duì)直線外一點(diǎn)具有一定的角動(dòng)量而并無(wú)力矩. 根據(jù)角動(dòng)量定理, 力矩為物體對(duì)同一點(diǎn)角動(dòng)量變化的原因. 力矩的方向與角動(dòng)量變化的方向相同, 而與角動(dòng)量的方向一定

5、不相同. （5） 不正確 . 因?yàn)樽鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn), 所受合力通過(guò)圓心, 對(duì)圓心的力矩為零，對(duì)圓心的角動(dòng)量守恒，但對(duì)其他點(diǎn)，力矩不為零，角動(dòng)量不守恒。52 回答下列問(wèn)題，并作解釋：（1） 、作用于質(zhì)點(diǎn)的力不為零，質(zhì)點(diǎn)所受的力矩是否也總不為零？（2） 、作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和為零，是否外力矩之和也為零？（3） 、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量不為零，作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力是否可能為零答：答： （1） 、不一定。作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩不僅與力有關(guān)，還和所取得參考點(diǎn)有關(guān)。當(dāng)力的作用線過(guò)參考點(diǎn)時(shí)，對(duì)該點(diǎn)的力矩就一定為零。（2） 、不一定。作用質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和為零，但對(duì)某點(diǎn)的力矩之和不一定為零。如一對(duì)力偶，因，。但對(duì)任一點(diǎn)

6、的力矩之和等于力偶矩，并不等于零。（3） 、可能為零。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)不受力時(shí)，保持靜止或勻速直線狀態(tài)。作勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)線外一點(diǎn)的角動(dòng)量為，不為零，但質(zhì)點(diǎn)受的力為零。53 試分析下面的論述是否正確：“ 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量也為零；質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量為零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量也為零?！贝穑翰徽_。以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的最簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)系為例說(shuō)明。（1） 、兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相同，運(yùn)動(dòng)速度等大反向，且不沿同一條直線質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。但對(duì)中心的角動(dòng)量大小為，為兩速度方向垂直距離的一半，并且不為零。（ 2） 、 兩 質(zhì) 點(diǎn)質(zhì) 量 相 同， 運(yùn) 動(dòng) 速 度等 大 同 向，質(zhì)點(diǎn) 系 的 動(dòng)量，不為零。但對(duì)中心的角動(dòng)量54 本章

7、 5.12 圖中題是否可以運(yùn)用動(dòng)量守恒定律來(lái)解釋？為什么？答：不能。將盤、重物、膠泥視為質(zhì)點(diǎn)系，碰撞過(guò)程中受外力為繩的拉力和重力。由于沖擊，繩的拉力會(huì)增大，重力無(wú)變化， 外力之和，所以總動(dòng)量不守恒。55 一圓盤內(nèi)有冰，冰面水平，與盤面共同繞過(guò)盤中心的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。后來(lái)冰化成水，問(wèn)盤的轉(zhuǎn)速是否改變？如何改變。不計(jì)阻力矩。答：有變化。因?yàn)楸癁樗?，體積變小，各質(zhì)元到軸的距離也變小。對(duì)軸的角動(dòng)量守恒，其中，變小，變大57 角動(dòng)量是否具有對(duì)伽利略變換的對(duì)稱性？角動(dòng)量守恒定律是否具有對(duì)伽利略變換的對(duì)稱性？答：角動(dòng)量對(duì)不同的參照系具有不同的值，所以角動(dòng)量對(duì)伽利略變換不具對(duì)稱性；但角動(dòng)定理對(duì)不同的慣性系具有相

8、同的形式，所以角動(dòng)量定理對(duì)伽利略變換具有對(duì)稱性。同理，角動(dòng)量守恒定理對(duì)伽利略變換也具有對(duì)稱性。58 南北極的冰塊溶化，使地球海平面升高，能否影響地球自轉(zhuǎn)快慢？答：南北極的冰塊溶化，地球海平面升高，南北極的水質(zhì)元向赤道方向移動(dòng)，到軸的距離增大，角動(dòng)量守恒。其中，變大，變小，而地球?qū)S的轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)變慢。第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性57 三、習(xí)題解答5.1.1 我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)高度d近=439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度d遠(yuǎn)=2384km,地球半徑 r地=6370km,求衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度之比。解：衛(wèi)星在繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只受地球引力（有心力）的作用，力

9、心即為地心，引力對(duì)地心的力矩為零，所以衛(wèi)星對(duì)地心的角動(dòng)量守恒m月v近（d近+r地）=m月v遠(yuǎn)（d遠(yuǎn)+r地）v近/v遠(yuǎn)=（ d遠(yuǎn)+r地） /（d近+r地）=（2384+6370）/（439+6370） 1.29 5.1.2 一個(gè)質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)沿著jtbi tar?sin?cos的空間曲線運(yùn)動(dòng)，其中a、b 及皆為常數(shù)。求此質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)的力矩。解：0)?sin?cos(?sin?cos/?cos?sin/222222rrmfrrmamfrjtbi tajtbi tadtvdajtbi tadtrdv5.1.3 一個(gè)具有單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)jtittf?)612(?)43(2中運(yùn)動(dòng)，其中t 是時(shí)

10、間。該質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)位于原點(diǎn)，且速度為零。求t=2 時(shí)該質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)原點(diǎn)的力矩。解：據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式，)1()(mvdvmddtfdtjtittvd?)612(?)43(2kkkkijkjijjiijijifrjijifjijirjttittrdtttjdtttirddtjttittdtvrdjttittvdttjdtttivdrttttv?40)?(44?18)2(?,?,0?)?18?4()?4?()2()2()2(?18?4?)6212(?)2423()2(?4?)2322(?)22()2(?)32(?)()(?6)2(?)(6?)2(?)(6?)2()612(?)43(?343

11、4234233324412333244100022322322300205.1.4 地球質(zhì)量為6.01024kg， 地球與太陽(yáng)相距149 106km， 視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，它繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，求地球?qū)τ趫A軌道中心的角動(dòng)量。解：606024365)10149(2100.629242rmmvrlskgm /1065.21060602436514920.6240422i?j?k?第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性58 5.1.5 根據(jù) 5.1.2 題所給的條件，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。解：vrmprlkmabktabktabmj tbi taj tbi tam?)?sin?c

12、os()?cos?sin()?sin?cos(225.1.6 根據(jù) 5.1.3 題所給的條件， 求質(zhì)點(diǎn)在 t=2 時(shí)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。解：)2()2()2()2()2(vrmprlkjji?16?12)?4?(1345.1.7 水平光滑桌面中間有一光滑小孔，輕繩一端伸入孔中，另一端系一質(zhì)量為10g 小球，沿半徑為 40cm 的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)從孔下拉繩的力為10-3n。如果繼續(xù)向下拉繩，而使小球沿半徑為10cm 的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)小球的f 速率是多少？拉力所做的功是多少？解： 設(shè)小球的質(zhì)量為m=10 10-3kg,原來(lái)的運(yùn)動(dòng)半徑為r1=40cm,運(yùn)動(dòng)速率為v1;后來(lái)的運(yùn)動(dòng)半徑為r

13、2=10cm,運(yùn)動(dòng)速率為v2. 先求小球原來(lái)的速率v1：據(jù)牛頓第二定律，f=mv12/r1，所以，smmfrv/2. 010/104 .0/2311由于各力對(duì)過(guò)小孔的豎直軸的力矩為零，所以小球?qū)υ撦S的角動(dòng)量守恒， mv1r1=m v2r2，v2=v1r1/r2=0.20.4/0.1=0.8m/s 在由 r1r2的過(guò)程中，只有拉力f 做功，據(jù)動(dòng)能定理，有jvvvvmvvmmvmvaf322112122121222121212221103)2.08.0)(2.08 .0(10)()(5.1.8 一個(gè)質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)在o-xy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)， 其位置矢量為jtbi tar?sin?cos，其中 a、b

14、 和是正常數(shù)，試以運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)證明該質(zhì)點(diǎn)對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)角動(dòng)量守恒。證明：rj tbi tadtvdaj tbi tadtrdv222?sin?cos/?cos?sin/運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)：kmabk tmabk tmablkijjijjiij tbi tamj tbi tavmrl?sin?cos?)?(?, 0?)?cos?sin()?sin?cos(22顯然與時(shí)間t 無(wú)關(guān)，是個(gè)守恒量。動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)：0)(22rrmrmramrfr,該質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒。5.1.9 質(zhì)量為 200g 的小球v0b 以彈性繩在光滑水平面上與固a b 30o定點(diǎn) a 相連。彈性繩的勁度系數(shù)為 8 n/m，其自由伸展長(zhǎng)度為

15、600mm.最初小球的位置及速度v0如圖所示。當(dāng)小球的速率變?yōu)関 時(shí)，它與 a 點(diǎn)的距離最大， 且等于 800mm，求此時(shí)的速率v 及初速率v0.解：設(shè)小球b 的質(zhì)量 m=0.2kg,原來(lái)與固定點(diǎn)a 的距離 r0=0.4m,當(dāng)速率為 v 時(shí)， 與 a 點(diǎn)距離 r=0.8m,彈性繩自由伸展的長(zhǎng)度為d=0.6m. 小球 b 的速率由v0v 的過(guò)程中，作用在小球b 上的力對(duì)過(guò)a點(diǎn)軸的力矩之和始終為零，因而小球?qū) 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，有400mm 第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性第 5 章 角動(dòng)量 .關(guān)于對(duì)稱性59 r0mv0sin30o= rmv (最大距離時(shí)，)vr（1）另外 ,在此過(guò)程中 ,只有保

16、守內(nèi)力（繩的彈力）做功,因而能量守恒，)2()(2212212021mvdrkmv為求解方便，將化簡(jiǎn)，并代入已知數(shù)據(jù)可得：)2(6 .1)1 (42200vvvv解此方程組，求得：v0 1.3 m/s v 0.33 m/s 5.1.10 一條不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩穿過(guò)鉛直放置的、管口光滑的細(xì)管，一端系一質(zhì)量為0.5g 的小球，小球沿水平圓周運(yùn)動(dòng)。最初 l1=2m,1=30o， 后來(lái)繼續(xù)向下拉繩使小球以2=60o沿水平圓周運(yùn)動(dòng)。求小球最初的速度v1，最后的速度v2以及繩對(duì)小球做的總功。解：隔離小球，受力情況如圖示，l2應(yīng)用牛頓第二定律，有：f 2l1)3(sincos/)2/() 1()2(cos) 1

17、(sin/sinsincossin22glvmgflmvfglv得mg 當(dāng) =1時(shí)smglv/38. 23/48 .9sincos/211111當(dāng) =2時(shí),)4(322223cossin22222222gvgllglv由于作用質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)管軸的力矩始終等于零,角動(dòng)量守恒：1sinsin22221112211sinsinvvlmvlmvll，將（ 4）式和三角函數(shù)值代入，可求得：smvvgl/43.338.228.93233323211將 v2代入（ 4）中，可求得l2=0.8m，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：jllmgvvmeeapkf0806.0)8 .02(105 .0)38.243.3(105.0)

18、coscos()(212332232122112122215.2.2 理想滑輪懸掛兩質(zhì)量為m 的砝碼盤。用輕線拴住輕彈簧兩端使它處于壓縮狀態(tài)，將此彈簧豎直放在一砝碼盤上，彈簧上端放一質(zhì)量為m 的砝碼。 另一砝碼盤上也放置質(zhì)量為m 的砝碼，使兩盤靜止。燃斷輕線，輕彈簧達(dá)到自由伸展?fàn)顟B(tài)即與砝碼脫離。求砝碼升起的高度，已知彈簧勁度系數(shù)為k，被壓縮的長(zhǎng)度為l0. 解：設(shè)滑輪半徑為r，彈簧釋放后，彈簧上邊的砝碼獲得的速度為v，方向向上，左邊砝碼盤獲得的速度為v，方向向下，顯然右邊砝碼盤及砝碼獲得的速度大小也是v,但方向向上（如圖示） 。vv把左盤、左盤上的砝碼和右盤及盤m m 中砝碼視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，作為研究對(duì)象。v 在彈簧釋放過(guò)程中，作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)滑輪軸的力矩之和始終為零，故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)滑輪軸的角動(dòng)量守恒，規(guī)定垂直紙面向外的角動(dòng)量為正，則有：- mvr+mv r+2mv r = 0，即v = 3 v (1) 另外，在此過(guò)程中，只有彈簧的彈力和重力做功，因而質(zhì)點(diǎn)系能量守恒，忽略重力勢(shì)能的微小變化，則有：2212212021)3(vmmvkl，即)2(32022klmvmv左盤中的砝碼脫離彈簧獲得速度v 后做豎直上拋運(yùn)動(dòng),達(dá)到最大高度 h時(shí)速度為零 ,據(jù)能量守恒 ,)3(2/2221gvhmghmv由可求得v2=3kl02/4m，代入中得：h = 3 k l02/8