第四章應力與應變關系PPT

1、地球物理場論地球物理場論 I I海洋地球科學學院 地球探測信息與技術系宋 鵬第四章 應力與應變關系4.1 廣義虎克定律4.2 工程彈性常數(shù)及相互間關系式 4.3 簡單和復雜應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度 4.4 能量密度與能通量密度 在前幾章中，從靜力學、動力學和幾何學的觀點分別研究了應力和應變。前面知道聯(lián)結應力分量(6個)與位移分量(3個)有3個方程，聯(lián)結應變分量(6個)與位移分量(3個)有6個方程，15個未知數(shù)9個方程，還需要6個方程才能求解彈性動力學問題。應力與應變關系應力與應變關系222222yxzxXxyyzyyzxzzuXxyztvYxyztwZxyzt平衡運動微分方程xyzxy

2、yzzxuxvywzvuxywvyzuwzx 幾何方程 要解決彈性動力學問題，還要研究應力與應變的關系，這種關系通常被稱為物理方程或本構方程。即還需要補充應力與應變關系(6個方程)。應力與應變的關系反映物質固有的物理特性，應力分量與應變分量的一一對應關系，在線性彈性范圍內，便是廣義虎克定律。應力與應變關系廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線在常溫、靜載情況下，由材料拉伸試件可得到應力與應變關系曲線。不同材料得到的應力應變曲線不同。圖4 1給出低碳鋼應力應變曲線。從圖中可看出，該曲線大致可分為四個階段：圖4 1 某材料應力與應變關系曲線廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變

3、曲線( (一一) )彈性階段彈性階段OBOB段段 在此段內，撤去外力時 ，將沿OB線恢復回原點O，即變形完全消失。通常為 稱為彈性極限。而OA段為直線，說明當 時， 成線性關系 即 (4-1)( ,) BA( ,) E廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線 其中E是與材料有關的彈性常數(shù)，通常稱為彈性模量，E的量綱與 相同，一般用GN/m2。 則稱為比例極限，上式即為虎克定律的數(shù)學表達式。A點與B點非常接近，工程上彈性極限 和比例極限 并不嚴格區(qū)分。這種情況下，橫向應變 與軸向應變 絕對值之比一般是常數(shù)，即ABA稱為橫向變形系數(shù)或泊松比。（4-2）廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲

4、線應力應變曲線( (二二) )屈服階段屈服階段BCBC段段 當 后，出現(xiàn)應變增加很快，而應力在很小范圍內波動的階段。這種應力變化不大，而應變顯著增加的現(xiàn)象稱屈服或流動，屈服階段的最低應力 稱屈服極限。 BS( (三三) )強化階段強化階段CDCD段段 過了屈服階段以后，材料又恢復了抵抗變形的能力，要使它增加變形必須增加拉力，這種現(xiàn)象稱為材料的強化，強化階段中的最高點D所對應的 稱為強度極限。 D廣義虎克定律廣義虎克定律-應力應變曲線應力應變曲線( (四四) )局部變形階段局部變形階段DGDG段段 過了D點以后，在局部范圍內，橫截面急劇縮小，繼續(xù)伸長需要拉力相應減小，到G點處，試件被拉斷。 在純

5、剪應力作用時， 與 也成正比， ，比例系數(shù)G稱剪切彈性模量xyxyxyGxy廣義虎克定律廣義虎克定律 在空間應力狀態(tài)下，描述一點應力狀態(tài)需6個應力分量，與之相應的應變狀態(tài)也要用6個應變分量來表示。它們之間存在一定關系。假設應力是應變的函數(shù)，分量形式表示為：123456(,)(,)(,)(,)(,)(,)xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxxyxyxyzyzzxxyffffff （4-3a）廣義虎克定律廣義虎克定律 在小變形條件下，應變分量都是微量，(a)式在應變?yōu)榱愀浇鯰aylor展開后，忽略2階以上的微量，例如對 ，可得：x1

6、111 0000111000()()()()()()()xxyzxyzyzzxxyyzzxxyfffffff廣義虎克定律廣義虎克定律 展開系數(shù)表示函數(shù)在其對應變分量一階導數(shù)在應變分量等于零時的值，而 實際上代表初應力，由于無初應力假設 等于零。 其它分量類推，那么在小變形情況下應力與應變關系式簡化為： 1 0()f1 0()f1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

7、C56616263646566xyxyxyzyzzxxyCCCCCCC（4-3b）廣義虎克定律廣義虎克定律 上式表明在彈性體內，任一點的每一應力分量都是6個應變分量的線性函數(shù)，反之亦然。簡單拉伸實驗已指出在彈性極限以內，應力與應變呈線性關系，與上式一致。 上式作為虎克定律在復雜受力情況下的一個推廣，因此稱為廣義虎克定律。式中系數(shù) 是物質彈性性質的表征，由均勻性假設可知這些彈性性質與點的位置無關，稱為彈性常數(shù)。上式也可以寫成矩陣形式( ,1,2,6)mnCm n 廣義虎克定律廣義虎克定律1112131415162122232425263132333435364142434445465152535

8、45556616263646566xxyyzzyzyzzxzxxyxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC(4-4) 可以證明對各向異性體，由于應變能存在，也只有21個彈性常數(shù)獨立，對各向同性體，只有兩個彈性常數(shù)獨立。各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 如果物體是各向同性的，則在任何方向上彈性性質相同，因此在各個方向上應力與應變關系相同。 下面來證明對于各向同性體，只有兩個獨立的彈性常數(shù)。（一）首先證明彈性狀態(tài)下，主應力和主應變方向重合。（一）首先證明彈性狀態(tài)下，主應力和主應變方向重合。圖4 2 應變主軸各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義

9、虎克定律, ,x y z132231312cos1801 cos01cos900lnmllmmnn 如圖4 2所示，設1，2，3軸為物體內某點的應變主軸，對應的剪應變 。現(xiàn)取 軸分別為1，2，3軸，則由廣義虎克定律第4式得：23311202341 1422433CCC123333( ,)l m n111( ,)l m n222( ,)l m n（a） 式中 , 和 為該點主應變(對應1，2，3軸)。將此坐標系繞2軸轉180，得新的坐標軸1，2，3，以 , 和 分別表示1，2，3軸對原坐標系O123各軸的方向余弦，知:各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律, ,x y z2341 14

10、22433CCC 因此新坐標軸也指向應變主軸方向，剪應變也應該等于零，且因各向同性時，彈性系數(shù)C41，C42和C43應該不隨方向面改變，故取 分別為1，2和3軸，同樣由式（4-3）第4式得：12323322323n m 式中， 和 為該點主應變(對應1，2，3軸)，而由轉軸應力分量變換公式得：（b）各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律又由轉軸應變分量變換公式(3-12)得211112222223333lmn(d) (c)，(d)代入(b)則有2341 1422433CCC(e)（a）與(e)比較，可知2323 各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 欲使上式成立，只有 。

11、同理可證 。這說明，若1，2，3是應變主軸，也是應力主軸。從而證明對各向同性彈性體內任一點，應變主軸與應力主軸重合。 23012310( (二二) )再來確定各向同性彈性體獨立彈性常數(shù)的個數(shù)再來確定各向同性彈性體獨立彈性常數(shù)的個數(shù) 設所取的坐標軸為應力和應變主軸，則111 1122133221 1222233331 1322333CCCCCCCCC(f)各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 式中表示 表示在 軸方向單位主應變引起 軸方向的主應力大小。對于各向同性體， 對 的影響應與 對 的影響， 對 的影響相同，故： ijCji1122332332211aCCC(g) 由于各向同性

12、，2和3對 的影響相同，2和3 對 的影響應與 和 對 的影響， 和2對 的影響相同，這樣 1131213 (h)bCCCCCC322331132112各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 由(g)和(h)可知，對應力和應變主軸而言，只有兩個彈性常數(shù)是獨立的分別用a和b表示，則由(f)知112322313312()()()ababab (i)令 ， 且 則（i）變?yōu)?abb123 t112233222ttt (j) 常數(shù) 和 稱為拉梅(Lame)彈性常數(shù)，簡稱拉梅常數(shù)。 各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律( (三三) )最后通過坐標變換，進一步建立任意正交坐標系最后通

13、過坐標變換，進一步建立任意正交坐標系應力與應變關系應力與應變關系2221 1213 1 1 21122123xxylmnllmmn n(k) 在各向同性彈性體中，設 為任意正交坐標系，它的三個軸與坐標系 應力主軸的方向余弦分別為 、 和 ，因為1，2，3軸是主軸，主軸方向的剪應變和剪應力等于零。根據(jù)轉軸時應力分量變換公式得oxyz123O111( ,)lmn222( ,)lmn333( ,)lmn各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律2221 1213 1 1 2 11221232()xxylmnl lm mn n又由轉軸時應變分量變換公式得(l) 將(j)代入(k)中有222222

14、1111 1213 1 1 212121 21122123()2 ()()2 ()xtxytlmnlmnl lm mn nl lm mn n (m) 各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 比較式(l)和(m)并注意到 得222 1111 212121,0lmnl lm mn n2xtxxyxy 式中 是一不變量， 。同理可得其它應力分量與應變分量關系，綜合為： ttxyz222xtxytyztzyzyzzxzxxyxy(4-5n)各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律上式即為各向同性彈性體的虎克定律。寫成矩陣形式為：200020002000000000000000000

15、xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-6）各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律（4-7）(32 )xyzt 將式中前三式相加得 其中 為第一應變不變量，式稱為體積應變的虎克定律 利用式(4-6)，可以寫出用應力表示應變的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律22(32)22(32)22(32)111xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-8）各向異性介質中的廣義虎克定律各向異性介質中的廣義虎克定律 均勻各向同性完全彈性的假設是對實際介質的近似。當使用精細觀測手段研究較為復雜問題時，要考慮介質的不均性，以及介質的各向異性和介質的非完全彈性。若介質的彈性性質

16、依方向而變化，稱為各向異性。 ( ,1,2,6,)ijjiCCi jijxxyy 對于各向異性介質的模型，在方程中，彈性常數(shù) ,而其它常數(shù)不同，這樣總共有21個彈性常數(shù)， 對 的影響和 對 影響一樣。這樣可以導出復雜的數(shù)學關系。實際應用中經(jīng)常使用簡化模型，如橫向均勻且各向同性介質(TI)(transverse isotropy)。 這種介質彈性性質在一個平面上是相同的的，它沿著平面的法線方向變化，如沉積巖(層理)，沿層理方向是均勻的，彈性性質在垂直于層理方向變化。各向異性介質中的廣義虎克定律各向異性介質中的廣義虎克定律這種簡化的彈性介質層狀介質模型有5個獨立的彈性常數(shù)， ， 和 為 平面上和垂

17、直于該平面方向的拉梅系數(shù)， 而 表示垂直平面上切應力和切應變的關系，廣義虎克定律為：,Oxy*(2)(2)(2)*xxyzyxyzzxyzyzyzzxzxxyxy （4-9）各向異性介質中的廣義虎克定律各向異性介質中的廣義虎克定律寫成矩陣形式(2)000(2)000(2)000000*000000*000000 xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-10）各向異性介質中的廣義虎克定律各向異性介質中的廣義虎克定律即（4-11）112233122113312332445566111222*1()20CCCCCCCCCCCCCCothers各向異性介質中的廣義虎克定律各向異性介質中的廣義虎克定律

18、在地震勘探中一般用Thomsen參數(shù)描述各向異性113333664444221314334433334422()()2()CCCCCCCCCCCCC（4-12） Thomsen參數(shù)的優(yōu)點是其大小恰恰反映了各向異性的強弱。工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式 在工程上，通過簡單拉伸和純剪切試驗可以測定楊氏彈性模量E，泊松比和剪切模量G等彈性常數(shù)，所以用工程彈性常數(shù)來表達廣義虎克定律更有實際意義。 首先考慮簡單拉伸。如沿 軸方向，應力分量除 外，其它為零，在彈性極限內， 與沿 軸方向正應變成正比，其比例系數(shù)就是楊氏模量，橫向正應變 ， 與 之比的絕對值就是泊松比 ，而且 方向拉伸，

19、 和 方向必然收縮，故xxxxyzxxyzyzxx 工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式即00yzyzzxxyxxyzxyzzxxy （4-13a） 將(4-13a)式代入均勻各向同性體廣義虎克定律式，前三個式子相加，得:(23 )xt 222xtxytyztzyzyzzxzxxyxy廣義胡克定律工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式即23xt(4-13b) 再把(4-13b)式代回到第一式中，得(23 )xx(4-13c) (4-13a)和(4-13c)比較得：(23 ) (4-13d)工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式再由式(4-5n)第二式

20、， ，得 2yty2yt (4-13e) (4-13c)代入(4-13b)，再代入(4-13e)中，得2()yx (4-13f) (4-13a)和(4-13e)比較得：2()(4-14)由(4-13d)和(4-14)式，可用楊氏模量 和泊松比 表示拉梅常數(shù) 和E工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式(1)(1 2 )2(1)根據(jù)試驗（4-15）10,02 所以 。0,0工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式 再考慮純剪切情況。如設在 面內，應力分量除 外，其余應力分量均為零，又 ， 為剪切彈性模量，即： xoyxyxyxyGG00 xyzyzzxxyzyzzxxyx

21、yG(f) (f)與(4-5n)后三式比較，得G （4-16）工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式將(4-15)、(4-16)式代入(4-8)式，整理可得:1()1()1()xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyGGG （4-17）工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式 與(4-8)式對應。前三個式相加得到用 E和表示的體積應變虎克定律： 12t（4-18）式中 ，若物體受到均勻壓縮，則xyz 0 xyzzxxyp yz常數(shù),則， 3(12 )tp （4-19）工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式式（4-19）反映了體積應變與壓強p的關系

22、，令 3(1 2 )K則tpK 其中K稱為膨脹系數(shù)。工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式 在均勻各向同性介質中，經(jīng)常使用拉梅彈性常數(shù) 及其楊氏彈性模量 ，泊松比 剪切模量 和圍壓膨脹模量 ，它們對彈性力學研究十分重要，特別是對地震波傳播，直接反映介質的彈性性質或彈性波傳播速度。它們六個可分為三組，兩者間可以轉換，其轉換關系總結如下： , EGK工程彈性常數(shù)及相互間關系式工程彈性常數(shù)及相互間關系式，制E，制K，G制(E)/(1+)(1-2)K-(2/3)GE/2(1+)G(3+2)/(+)E(6GK)/K+(4/3)G/2(+)K-(2/3)G/2K+(4/3)G+(2/3)(1

23、/3)E/2(1+)K簡單和復雜應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度簡單和復雜應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度 彈性體在外力作用下，發(fā)生變形，微元體要發(fā)生位移，這時外力對物體做了功，這個功以應變能的形式貯存在物體內。這種彈性體因變形而儲存的能量稱為彈性變形位能，簡稱變形能，又稱應變位能或應變能。在物體彈性范圍內，當卸去外力時，這個彈性應變能又完全釋放出來，使物體恢復原來形狀。簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算 設有一拉桿上端固定，下端掛一小盤，與盤同高的水平面上放有許多重塊，每塊重量為F，如圖4 3(a)所示，在應力小于比例極限范圍內加入載荷的重量與拉

24、桿伸長成正比，是一條傾斜直線，如圖4 3 (b)所示。簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算（a） (b)圖4 3 載荷與桿件拉伸的關系簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算逐漸增加重塊時，每增加一重塊，拉桿就伸長 。這時。載荷下沉而做功，但損失位能，而桿件則獲得變形能。載荷損失的位能在數(shù)量上等于它所做的功A(載荷緩慢增加，動能無明顯變化，故可忽略不計)。根據(jù)能量守恒定律，載荷損失的位能等于拉桿所獲得的變形能。即應變能 ，當 時， ，由 ，在整個加力過程中，F(xiàn)從 ， 從 ，載荷做功0A。于是，()dlUAFFd

25、F()lldl ()dAF dl10Fl10l 10()lAF dl簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算再利用應力、應變定義及虎克定律：()1dldFlSl式中E為彈性模量，S為橫截面積， 為拉桿原長度，于是12102FF llAF dFSS根據(jù)虎克定律，當載荷為 時， 1F111 FllS 簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算故1112AF l也就是應變能為2111122F lUF lES1F 由于拉桿整個體積內有各點的應力狀態(tài)均相同，故當載荷 為時，原體積內每單位體積的變形能都等于 2211112222

26、F lUuVS l稱為應變能密度應變能密度。（4-20）簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算簡單應力狀態(tài)下彈性應變能和應變能密度計算 在純剪應力情況下，通過薄壁面扭轉試驗可知，當剪應力不超過比例極限時，扭轉角 與外力偶矩 成正比，同理可得剪切應變能 ，剪切應變能密度 m12Um2122111222mUeGVS lG其中SFlFm/,空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度 在空間應力狀態(tài)下，變形能數(shù)值上仍等于外力所作的功，它也決定于作用力的最終數(shù)值，而與加力先后順序無關。用主應力和主應變表示空間應力狀態(tài)下的應變能密度為1 12233111222u (4-21a)將廣

27、義虎克定律代入(4-21a)式，用應力表示應變能密度為22212312233112 ()2u (4-21b)空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度 若正立方體形狀單元體上的三個主應力不相等，相應的主應變也不相等，單元體三個棱邊的變形不同。單元體的變形表現(xiàn)為體積的增加或減小，形狀的改變(正方體變?yōu)殚L方體)。因此可以認為應變能密度由兩部分組成：(1)因體積變化而儲存的應變能密度稱體積改變應變能密度 ；(2)因形狀改變而儲存的應變能密度稱形狀改變應變能密度 ，于是 tuxutxuuu(4-22a) 空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度若單元體上以

28、主應力的平均值1233m 代替主應力，而單位體積的改變 與 ， ， 作用時仍相等。但以 代替主應力后，由于三個棱邊的變形相同，所以只有體積變化而形狀不變，所以t123m(4-22b)11132222tmmmmmmmmu 空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度由廣義虎克定律(4-17)式得：(1 2 )()mmmmmEEEE代入(4-22b)式中得212312()6tu(4-22c) 根據(jù)（4-21b）和(4-22a)式得：2221223311()()() 6xu(4-22d) 空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度若不是用主應力表示應變能量，

29、一般情況為1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu (4-22e) 證明：由1 122332221231223311()212 ()2u 空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度)(2)(2)(211332211332212321Eu 根據(jù)(2-11)式中第，第，第應力不變量定義和關系：133221222321zxyzxyxzzyyxzyxIII而：)(1 (2)(221)(1 (2)(221)(1 (2)(212222222222222222zxyzxyxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxzyxvvEvEvEu于是

30、：空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度進一步 1()21()21()212(1)12(1)12(1)222xxyzyyxzzzyxxyxyyzyzzxzxu 根據(jù)廣義虎克定律(4-17)式，可得:1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu 證畢?？臻g應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度同理可得出以應變表示的應變能密度。22222221 ()2 ()()2xyzxyzyzzxxyu (4-23) 進一步，應力與應變分量可用應變能密度的偏導數(shù)表示空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度xxyyzzy zy zz xz

31、xx yx yuuuuuu(4-24) 空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度空間應力狀態(tài)下應變能和應變能密度 最后給出彈性動力學問題解的唯一性定理：假如彈性體受已知體力作用，在物體表面處面力已知，或位移已知，或一部分上面力已知，而另一部分上位移已知；此外，初始條件已知，則彈性體在運動時，體內各點的應力分量，應變分量與位移分量均是唯一的。 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度 前節(jié)僅討論應變能（變形位能），即處于平衡狀態(tài)情形。當物體既運動又變形時，其內部通常既有動能又有應變能。單位體積內所含的動能稱為動能密度，記作 ，單位體積所含的應變能稱為應變能密度，記作 ，單位體積內所含總能量(指動能和應變

32、能即機械能，內能不考慮熱能。注：內能包括勢能和熱能)， kPuPu2221()21()()() 2kxxyyzzxyxyyzyzzxzxuvwttt (4-25) 式中 為材料的密度。 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度利用廣義虎克定律(4-5n)式，將 u1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzx )()(2)(212222222xyzxyzzyxzyxuPuP考慮物體處于運動狀態(tài)時，即波傳播時，應力和應變還應是時間的函數(shù)。為討論彈性介質機械能的變化規(guī)律，先研究 對時間的變化率。中的應力分量用應變分量表示（即(4-23)式）：能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度()()2 ()(

33、)(2)(2)(2)yuxzxyzyxzxyzxyyzzxxyyzzxyxztxtytzxyyzzxxyyzzxyxzxyzttttGtttGtttGGGtttGGGttttt 222222222()()()xyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxttttuvwt xt yt zvuwvuwt xt yt yt zt zt x (4-26) 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度 再研究動能密度 對時間 的變化率，并利用運動微分方程(2-19)式，得 kPt222222()()()()kyxxyyzyyzxzxxzzxyxxzyxyyzzxuuvvwwtttttttuvwtxyztxyzt

34、xyzuvwtxtxtxuvwtytytyuvtzzyzwtztz(4-27) 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度顯然， 將(4-26)和(4-27)代入，合并同類項，利用 和 互易性得到 ukttttx()()()xxyxzyxyyzzxzyzuvwtxtttuvwytttuvwzttt(4-28) 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度定義一個矢量場()()() xxyxzyxyyzzxzyzuvwitttuvwjtttuvwkttt (4-29) 稱為能通量密度矢量場能通量密度矢量場。則能量密度對時間的變化率divt 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度即能量密度對時間的變化

35、率等于能流密度矢量的散度，表示 單位時間單位時間內通過與 方向垂直的單位面積的能量，稱為能量密度矢量場，它又表明機械能(包括動能和應變能)以多大數(shù)量沿什么方向傳播，即彈性波傳播，這里給出了彈性波的一種定義，即機械能在彈性介質中的傳播。例子，已知介質密度，圓頻率，振幅A，試求沿 軸傳播的平面簡諧波 x( , )cos()cos()xu x tAtKxAta能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度的能通量密度， ，稱圓波數(shù)， 為波的傳播速度。 Ka2Ga解：由2(2 ),sin(),sin();xtuuuuAtKxAKtKxxxtx 將， 代入能通量密度（4-29）式中得 0yzxyyzzx2222sin ()xxuAtkxt 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度 當平面簡諧波在介質中傳播時，同一點介質的能通量密度是隨時間變化的，其最大值與振幅平方、圓頻率的平方，介質密度成正比。 研究能量密度