初中數(shù)學(xué)因式分解技巧淺談

1、    初中數(shù)學(xué)因式分解技巧淺談    摘 要：多項式因式分解就是恒等變形，將多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的乘積形式。在中考中，因式分解是比較常見的類型，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。因式分解方法具有很強的技巧性，使用靈活，是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)解題方法，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)及解題能力的提高具有促進(jìn)作用?；诖?，本文著重研究初中數(shù)學(xué)因式分解技巧。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);因式分解技巧;教學(xué)策略：g427                       ：a &#

2、160;                ：2095-624x（2021）18-0062-02引 言在解決數(shù)學(xué)難題過程中使用因式分解法，可以將復(fù)雜的問題簡單化。學(xué)生掌握這種方法，不僅解題思路會更加清晰，提高解題效率，其數(shù)學(xué)思維能力還會得到有效培養(yǎng)。一、多項式因式分解的步驟及常用方法（一）多項式因式分解的步驟在應(yīng)用多項式因式分解的過程中，學(xué)生只有按照步驟進(jìn)行，才能獲得良好的效果。多項式因式分解的具體步驟為：其一，在多項式中如果各項都有公因式，就需要先將公因式提出來;其二，在多項式中如果各項都沒有公因式，在分解時可以使用

3、公式法或者十字相乘法解決;其三，如果采用上面的方法都不能有效分解，在分解時可以采用十字相乘法、分組分解法、拆項補項法等;其四，在分解因式的過程中，對每一個多項式因式都要進(jìn)行分解，直到不能進(jìn)一步分解為止1。（二）多項式因式分解的簡單記憶法多項式因式分解方法有很多。為了有效利用，學(xué)生需要將這些方法記憶下來，從而在解決數(shù)學(xué)難題時可以靈活運用2。下面的因式分解記憶方法是比較有效的：先做公因式提取，然后考慮用公式，思考十字相乘法，之后用分組分解法;如果幾種方法都無效，可以試試拆項添項法。二、解決數(shù)學(xué)問題中常用的因式分解技巧（一）提公因式法提公因式法就是在多項式中，對四則運算中乘法分配律進(jìn)行反向使用。教師

4、可以讓學(xué)生在多項式分解的過程中仔細(xì)觀察，將最低指數(shù)冪找出來。由于學(xué)生在提取的過程中容易產(chǎn)生漏項的問題，教師要指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用還原法檢驗因式分解是否正確。如果各項有公因式，需將公因式提出來放在括號外面，用因式乘積的形式表達(dá);如果各項系數(shù)均為整數(shù)，提取公因式系數(shù)需要將最大的公約數(shù)提取出來;如果公因式用字母表達(dá)，則需要將各項相同的字母提取出來;在提取各項指數(shù)時，需要將次數(shù)最低的提取出來;多項式中的第一項是負(fù)數(shù)，需要將負(fù)號提取出來，讓括號中的第一項系數(shù)為正。具體的解題思路是，提取公因式，即an+bn+cn+ dn+=n（a+b+c+d+），公因式提取完畢，將另一個因式確定下來。比如，對3x3-2x2-x提

5、取公因式，即為3x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。（二）運用公式法在解決數(shù)學(xué)問題時運用公式法，學(xué)生需要對各種數(shù)學(xué)公式熟練掌握，明確公式之間的關(guān)聯(lián)性，從而能夠靈活運用。初中生往往存在記住數(shù)學(xué)公式卻不能合理運用的問題。所以，在實際教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，引導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)公式的方法，使其在面對數(shù)學(xué)問題時能夠遴選出靈活解題的公式，逐漸掌握解題規(guī)律3。比如，平方差公式為a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式為（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。將完全平方公式充分運用起來分解因式，要求多項式一定是三項式，其中有兩項可以用兩個數(shù)的平方和表達(dá)或者用兩個

6、式表達(dá)的平方和表達(dá)，另一項則是兩個數(shù)乘積的2倍或者兩個式乘機的2倍。比如，立方差公式為a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）;立方和公式為a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）;完全立方公式為（a+b）3=a3+3ab2+3a2b+b3， （a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3。（三）分組分解法在解決數(shù)學(xué)問題時應(yīng)用分組分解法，就是在應(yīng)用提取公因式法的同時使用公式運用法。由于多項式在表達(dá)形式上各有不同，采用分組分解法進(jìn)行處理時所應(yīng)用的方法也存在差異。數(shù)學(xué)教師要想讓學(xué)生充分理解這部分內(nèi)容，講解時要做到具體問題具體分析，并遵循循序漸進(jìn)的原則，讓學(xué)生從淺到深地掌握所學(xué)知識。具體而言就是將

7、一個多項式進(jìn)行分組，之后運用分解因式的方法處理。采用分組分解法時，學(xué)生必須明確目標(biāo)，分組后將公因式直接提取出來，也可以運用公式進(jìn)行處理。例如，對多項式am+an+bm+bn進(jìn)行因式分解時，要判斷項式之間所存在的共同之處，如果將前兩項分為一組，可以將公因式a提取出來，將后兩項分為一組，可以將公因式b提取出來，從而所獲得的公式是am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n），再將公因式（m+n）提取出來，得出am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）;如果將第一項和第三項分為一組，可以將公因式m提取出來，將第二項和第四項分為一組，可以將公因式n提取出來，從而所獲得

8、的公式是am+an+bm+bn= m（a+b）+n（a+b），將公因式（a+b）提取出來，得出am+ an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）。又如，在分解多項式7ax+7bx+8ay+8by時，采用分組分解法可以得出：7ax+7bx+8ay+8by=7x（a+b）+8y（a+b）=（7x+8y）（a+b）或者7ax+7bx+8ay+8by=a（7x+8y）+ b（7x+8y）=  （7x+8y）（a+b）。從案例分析可以看出，對于一個多項式進(jìn)行分解，雖然進(jìn)行分組分解時采用不同的分組方法，但是所獲得的結(jié)果是一樣的，將7ax和8bx分為一個組，將x提取出來，將

9、把8ay和8by分為一組，將y提取出來，采用逆用乘法分配律解答問題，就能夠做到化繁為簡。比如，將多項式m2+5n-mn-5m分解，即m2+5n-mn-5m=（m2-mn）+（5n-5m）=  m（m-n）+5（n-m）=-m（n-m）+5（n-m）=（5-m）（n-m）。（四）十字相乘法對于二次三項式的分解，通常應(yīng)用十字相乘法。二次項系數(shù)包括兩種情況，即為“1”的情況和不為“1”的情況。與前三種方法相比較，初中生掌握這種方法存在一定的難度。所以，通常教師在講解這種方法之前，需要先講解前三種方法，在學(xué)生熟練掌握后，再對這部分內(nèi)容進(jìn)行講解。例如，對二次三項式x2+（p+q）x+pq進(jìn)行因

10、式分解時，要分析該二次項，其系數(shù)是1;常數(shù)項為兩個數(shù)的積，即pq;一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的相加。在分解這個項式時，對于二次項系數(shù)為1的二次三項式進(jìn)行因式分解，可以得出：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。又如，對二次三項式kx2+mx+n進(jìn)行因式分解的過程中，如果可以分解為k=ac，n=bd，則acx2+mx+bd;如果m=ad+bc時，acx2+mx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，那么就可以將因式分解為：kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）。對7x2-19x-6進(jìn)行因式分解，其中的-19可以分解為-21+2，那么，7x2-19x-6=7x2-21x+2x-6

11、=7x（x-3）+2（x-3）=（7x+2）（x-3）。（五）拆項法和補項法將多項式的某一項拆開或者對多項式中的某一項填補上相反數(shù)的兩項，也可以是相反數(shù)的幾項，在保持原式表達(dá)含義不變的情況下，更加適用于公因式提取。在使用這種方法時需要注意，對多項式進(jìn)行變形時要堅持保持與原多項式相等的原則，先將多項式拆成幾個部分，之后再對因式進(jìn)行分解。例如，對bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）進(jìn)行因式分解， 將bc（b+c）分解為bc（c-a+a+b），得bc（b+c）+ca（c-a）= bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b），對公式提?。╝+b），得出c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）。結(jié) 語通過上面的研究可以得出，初中數(shù)學(xué)中的因式分解方法有多種，而解題中較為常用的是公式法、提取公因式法、十字相乘法、分組分解法、拆項補項法。雖然教學(xué)存在一定的難度，但是其解題思路是有一定規(guī)律的，所以教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生明確解題思路，讓學(xué)生對因式分解方法有系統(tǒng)性認(rèn)識，從而提高數(shù)學(xué)解題效率4。參考文獻(xiàn)李霞，王婷.初中數(shù)學(xué)公式與法則的教學(xué)思考：以“整式乘法