本文利用史密斯圓圖作為RF阻抗匹配的設(shè)計(jì)指引

1、本文利用史密斯圓圖作為RF阻抗匹配的設(shè)計(jì)指南。文中給出了反射系數(shù)、阻抗和導(dǎo)納的作圖范例，并用作圖法設(shè) 計(jì)了一個(gè)頻率為60MHz的匹配網(wǎng)絡(luò)。實(shí)踐證明：史密斯圓圖仍然是計(jì)算傳輸線阻抗的基本工具。與天在處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，總會(huì)遇到一些非常困難 的工作，對(duì)各部分級(jí)聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之 一。一般情況下，需要進(jìn)行匹配的電路包括天線與低噪聲放 大器（LNA ）之間的匹配、功率放大器輸出（RFOUT） 線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。 匹配的目的是為了保證信號(hào)或能量有效地從“信號(hào)源”傳送 到“負(fù)載”。在高頻端，寄生元件（比如連線上的電感、板層之間的電容 和導(dǎo)體的

2、電阻）對(duì)匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響。 頻率在數(shù)十兆赫茲以上時(shí)，理論計(jì)算和仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿 足要求，為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實(shí)驗(yàn)室中 進(jìn)行的RF測(cè)試、并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)諧。需要用計(jì)算值確定電路 的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的目標(biāo)元件值。有很多種阻抗匹配的方法，包括 ：*計(jì)算機(jī)仿真：由于這類軟件是為不同功能設(shè)計(jì)的而不只是用于阻抗匹配， 所以使用起來(lái)比較復(fù)雜。 設(shè)計(jì)者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。設(shè)計(jì)人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。另外，除非計(jì)算機(jī)是專門(mén)為這個(gè)用途制造的，否則電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計(jì)算機(jī)上。.手工計(jì)算：這是一種極其繁瑣的方法， 因?yàn)樾枰玫捷^ 長(zhǎng)“幾公

3、里”）的計(jì)算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù) 數(shù)。.經(jīng)驗(yàn)：只有在RF領(lǐng)域工作過(guò)多年的人才能使用這種方 法?？傊?，它只適合于資深的專家。.史密斯圓圖：本文要重點(diǎn)討論的內(nèi)容。本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識(shí)，并且 總結(jié)它在實(shí)際中的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范 例，比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。當(dāng)然，史密斯圓圖不僅 能夠?yàn)槲覀冋页鲎畲蠊β蕚鬏數(shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò)，還能幫助設(shè)計(jì)者 優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析。圖1.阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)基礎(chǔ)知識(shí)在介紹史密斯圓圖的使用之前， 最好回顧一下RF環(huán)境下（大 于100MHz）IC連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對(duì) RS-485傳輸 線、PA

4、和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的 連接等應(yīng)用都是有效的。大家都知道，要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的功率最大，信號(hào)源阻 抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗，即：Rs + jXs = Rl - jXL圖2.表達(dá)式Rs + jXs = Rl - jXL的等效圖在這個(gè)條件下，從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲蟆Ａ硗?，?有效傳輸功率，滿足這個(gè)條件可以避免能量從負(fù)載反射到信 號(hào)源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。史密斯圓圖史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖。正確的使用 它，可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并 跟蹤

5、數(shù)據(jù)。史密斯圓圖是反射系數(shù)（伽馬，以符號(hào)表示）的極座標(biāo)圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。史密斯圓圖是通過(guò)驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不 直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù) L，反射系數(shù)可以反映負(fù)載 的特性（如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo)），在處理 RF頻率的問(wèn)題時(shí)， L更加有用。我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比：圖3.負(fù)載阻抗負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達(dá)式定義為：Vrefl_ ZL-ZOVine Z + Zo由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù) 為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng) 用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里 Zo

6、 （特性阻抗）通常為常數(shù)并且。是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如50層、75。、100罷和600于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：(equ 2.z = Zl/Zo = (R + jX) / Zo = r + jx據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫(xiě)為:(Zz -ZfJ/Zo _2- _(Z； + ZO)/ZQ z+ 1/ + j.x + 1(cqu 2.3)從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。 但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以并不實(shí)用。我們可以把史 密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形 式（如圓或射線）。首先，由方程2.3求解出；并且i +

7、r；-2.r; + r;2令等式2.5的實(shí)部和虛部相等，得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式:i + r；-2.r; + r/2匚i + r； -2.rr+(cqu 2.6)(cqu 2.7)重新整理等式2.6，經(jīng)過(guò)等式2.8至2.13得到最終的方程2.14。這個(gè)方程是在復(fù)平面(r, i)上圓的參數(shù)方程(x-a)2 +(y-b)2 = R2，它以(r/r+1,0)為圓心，半徑為 1/1+r.r + r.F; -+ rF； = I - T； -；r； + r.r； - 2.r.rr+尸耳 + ry = 1 一 f (l + r).r； -2jTr1-r廠, 2.r -I - rr；-Tr + r；=r+1 r

8、'1+r U r1. r2 1-r仃 仃+r 卜 T/ r =r +1 (r +1)"0+1)*1 + f(cqu 2.8)(cqu 2.9)(cqu 2.10)(cqu 21)(cqu 2.12)(cqu 2.13)(cqu 2.14)更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4a圖4a.圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗。例如，R = 1的 圓，以（0.5,0）為圓心，半徑為0.5。它包含了代表反射零點(diǎn) 的原點(diǎn)（0,0）（負(fù)載與特性阻抗相匹配）。以（0，0）為圓心、 半徑為1的圓代表負(fù)載短路。負(fù)載開(kāi)路時(shí)，圓退化為一個(gè)點(diǎn)（以1，0為圓心，半徑為零）。與此對(duì)應(yīng)的是最大的反射 系數(shù)1，即所有的入射波都被反射

9、回來(lái)。在作史密斯圓圖時(shí)，有一些需要注意的問(wèn)題。下面是最重要的幾個(gè)方面：-所有的圓周只有一個(gè)相同的，唯一的交點(diǎn)（1,0）。-代表0八 也就是沒(méi)有電阻（r=0）的圓是最大的圓。無(wú)限大的電阻對(duì)應(yīng)的圓退化為一個(gè)點(diǎn)（1,0）*實(shí)際中沒(méi)有負(fù)的電阻，如果出現(xiàn)負(fù)阻值，有可能產(chǎn)生振蕩。-選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個(gè)新的電阻作圖經(jīng)過(guò)等式2.15至2.18的變換，2.7式可以推導(dǎo)出另一個(gè)參 數(shù)方程，方程2.19。x+x.r； 一 2,x.rr + x.r； = 2.rf(equ 2.15)i + r； - 2.rr + r； =2.rt/x(cqn 26)2r-2Tr + 1 + I；2 -r; =

10、oX(equ 2J7)71Ir；-2Tr + i + r;2-rr. =oXX JC(eqla 2JS)L、rL1*1(rr -1) + (r - )i =, X(cqu 2.19)同樣，2.19也是在復(fù)平面(丁 J)上的圓的參數(shù)方程(x-a)2 +2 2(y-b) = R ,它的圓心為(1,1/x)，半徑1/x。更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4b圖4b.圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x的阻抗。例如，x=1 的圓以(1,1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包 括點(diǎn)(1,0)。與實(shí)部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是 負(fù)數(shù)。這說(shuō)明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓 心都在一條經(jīng)過(guò)橫軸上1點(diǎn)的垂直線上

11、。完成圓圖為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起?？梢园l(fā)現(xiàn) 一簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻 抗為r+jx，只需要找到對(duì)應(yīng)于 和x的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可 以得到相應(yīng)的反射系數(shù)?？苫Q性上述過(guò)程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的 r和x的值。過(guò)程如下：確定阻抗在史密斯圓圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)找到與此阻抗對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)（）已知特性阻抗和，找出阻抗將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納找出等效的阻抗*找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值（尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件，見(jiàn)圖7）推論因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例：例：

12、已知特性阻抗為50 一負(fù)載阻抗如下:Zi =100 + Z2=75 Z3=Z4 = 150 一-j50 :-j100 一j200 一一Z5=:-：（開(kāi) Z6 = 0（短Z8=184Z7 = 50 n路）路）-j900對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中（見(jiàn)圖5）:z1 = 2 + j z2 = 1.5 -j2 z3 = j4 z4 = 3Z5 = 8Z6 = 0Z7 = 1 Z8 = 3.68 -j18S點(diǎn)擊看大圖（PDF, 502K）圖5.史密斯圓圖上的點(diǎn)現(xiàn)在可以通過(guò)圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)。畫(huà)出阻抗點(diǎn)（等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn)），只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系

13、數(shù)的實(shí)部-r和虛部計(jì)（見(jiàn)圖6）。該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)：1 = 0.4 + : 2 = 0.51-:3 = 0.875 +4 = 0.50.48j0.2j0.4j8 = 0.96：5 = 1：6 = -1：7 = 00.1j圖6.從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)的實(shí)部和虛部用導(dǎo)納表示史密斯圓圖是用阻抗（電阻和電抗）建立的。一旦作出了史 密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)?？梢?添加新的串聯(lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng) 到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過(guò)程就不是這么簡(jiǎn)單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更 容

14、易處理并聯(lián)元件。我們知道，根據(jù)定義 丫=1/z，Z=1/Y。導(dǎo)納的單位是姆歐或 者（早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門(mén)子或S）。并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則丫也一定是復(fù)數(shù)。所以Y=G+jB（2.20）,其中G叫作元件的“電導(dǎo)”，B稱“電 納”。在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假 設(shè)，可以得出：G=1/R及B=1/X，然而實(shí)際情況并非如此， 這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化，y = 丫/丫。，得出y = g + jb。但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢？通過(guò)下面的式子進(jìn)行 推導(dǎo)：(cqu 2.2 1)右一“ _】/衿_1門(mén)2 _ F2 _打_+ 乙，_ 1/嶺 + I/）；, _ 爲(wèi)

15、十打 _ +F結(jié)果是G的表達(dá)式符號(hào)與z相反，并有：（y）=八（z）.如果知道z，就能通過(guò)將的符號(hào)取反找到一個(gè)與（0，0）的距離相等但在反方向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 °可以得到同樣的結(jié)果。（見(jiàn)圖7）.當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z和1/Z表示的是同一個(gè)元件。（在史密斯圓圖上，不同的值對(duì) 應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依次類推）。出現(xiàn)這種 情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表 的是一個(gè)導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是姆歐。盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件 電路的問(wèn)題時(shí)仍不適用。導(dǎo)納圓圖在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)

16、點(diǎn)都可以通 過(guò)以復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn) 180。后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納 點(diǎn)。于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180。就得到了導(dǎo)納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖。所有圓周 的交點(diǎn)（等電導(dǎo)圓和等電納圓）自然出現(xiàn)在點(diǎn)（-1,0）。使用導(dǎo)ri =rVt =二匕上= ' 一盤(pán) _ 小 （equ3J）11 + g + Jb納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓 圖由下面的公式構(gòu)造：解這個(gè)方程71+兀fcqu 3.2)(1-匚-兀-(1十匚-兀)=1 一一丿 2T；£ 7 -(l + rjrj.d + r./rj- i + r；+2.rr + rrfcqu工曲接下來(lái)，令

17、方程3.3的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系:I :-：i + r； + 2.rt 十 r；(cqu 3.4)21；i + r；+ 2rr +r/(equ 3.5)從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子:E + g： + 2 畫(huà)匚 + gl；' = I - r； - r；'(equ 3.6)r； + r； + 2.g.rr + gr： + r； = i - g(equ 3刀(I+ 27? rr + u += 1-(equ 3.8)r； 4 丄生+ rf 二 口(cqu 3.9)g+1】+g冷空.一(呻3o) g + i (g + ir (g + i):】+g胃工一丄i

18、-ei(E. + 七尸 + ” = + 占，=-(cqu 31)1* (l + g)-(】 + g 廠(rr十旦十=(廠尸(cqUyi2)g + Wg它也是復(fù)平面 （r, ）上圓的參數(shù)方程（x-a） 2 + （y-b） 2 = R 2 （方程3.12 ），以（-g/g+1,0）為圓心，半徑為 1心+g）。從等式3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：A + AT;+A.F; - -2.1(equ 3.13)1+ 2Tr 十?。?= 2fh(equ 3.14)2r； + 2.rr + i + r/ + 二 r;(equ 3.h、r 211r + 2,r +1 + r i r * :- o(c<(

19、u“尸fb 'h2b'(G + 0：= T(equ 3.17)b b同樣得到（x-a）2 + （y-b）2 = R2型的參數(shù)方程（方程 3.17） 求解等效阻抗當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同 一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)?？紤]圖8所示網(wǎng)絡(luò)（其中的元件以 Z°=50,進(jìn)行了歸一化）。 串聯(lián)電抗（x）對(duì)電感元件而言為正數(shù)，對(duì)電容元件而言為負(fù) 數(shù)。而電納（b）對(duì)電容元件而言為正數(shù)， 對(duì)電感元件而言為負(fù) 數(shù)。X = -1.4圖8.個(gè)多元件電路這個(gè)電路需要進(jìn)行簡(jiǎn)化（見(jiàn)圖9 ）。從最右邊開(kāi)始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是1

20、，我們可以在r= 1的圓周和I=1的圓周的交點(diǎn)處得到一個(gè)串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn)A。下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖（將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn)180 °）,此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn)變成導(dǎo)納，記為A'。現(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180 °，于是我們?cè)趯?dǎo)納模式下加入并聯(lián) 元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針?lè)较颍ㄘ?fù)值）移動(dòng)距離 0.3，得到圖9.將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開(kāi)進(jìn)行分析在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗（此前 是導(dǎo)納），變換之后得到的點(diǎn)記為B'，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180。回到阻抗模式。沿著電阻圓周移動(dòng)距離1.4得到點(diǎn)C就增加了一個(gè)串聯(lián)兀件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)（負(fù)值）。 進(jìn)行同樣

21、的操作可增加下一個(gè)元件（進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo) 納），沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針?lè)较颍ㄒ驗(yàn)槭钦担┮苿?dòng)指定的 距離（1.1 ）。這個(gè)點(diǎn)記為D。最后，我們回到阻抗模式增加 最后一個(gè)元件（串聯(lián)電感）。于是我們得到所需的值，z,位于0.2電阻圓和0.5電抗圓的交點(diǎn)。至此，得出 z =0.2+j0.5。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50 一一,有Z = 10 + j25 一一 （見(jiàn)圖 10).點(diǎn)擊看大圖（PDF, 600K）圖10.在史密斯圓圖上畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)元件逐步進(jìn)行阻抗匹配 史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻抗匹配。這和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過(guò)程。此時(shí)，兩端（通常是信號(hào) 源和負(fù)載）阻抗是固定的，如圖12所示。我

22、們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配。Matching Nd workVsVsZs =25- j15QZs =25- j15Qz* =25+j15Qi25+j15Qi圖11.阻抗已知而元件未知的典型電路初看起來(lái)好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜。但是問(wèn)題在于有無(wú) 限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果，而且還 需考慮其它因素（比如濾波器的結(jié)構(gòu)類型、品質(zhì)因數(shù)和有限 的可選元件） 實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來(lái)連接史密斯圓圖上的點(diǎn)。同樣，說(shuō)明這種方法的 最好辦法是給出一個(gè)實(shí)例 我們的目標(biāo)是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗（Zs）和負(fù)載阻抗（Zl）（見(jiàn)圖12 ）。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L型（也可以把問(wèn)題看作是如何使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于Zs的阻抗，即ZS復(fù)共軛）。下面是解的過(guò)程:*>1-Ijif*4>»r4 fa'« J點(diǎn)擊看大圖(PDF, 537K)圖12、圖11的網(wǎng)絡(luò)，將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)畫(huà)在史密斯圓圖上 要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒(méi)有給出特性阻 抗，選擇一個(gè)與負(fù)載/信號(hào)源的數(shù)值在同一量級(jí)的阻抗值。假設(shè) Zo 為 50 一一。于是 zs = 0.5 -j0.3, z* s = 0.5 + j0.3, Z l = 2 -j0.5。