《初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》2017中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)第三部分專題一代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題201707071103

1、§31 代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題課前導(dǎo)學(xué)計(jì)算說理是通過計(jì)算得到結(jié)論；說理計(jì)算側(cè)重說理，說理之后進(jìn)行代入求值壓軸題中的代數(shù)計(jì)算題，主要是函數(shù)類題函數(shù)計(jì)算題必考的是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，按照設(shè)、列、解、驗(yàn)、答五步完成，一般來說，解析式中待定幾個(gè)字母，就要代入幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)還有一類計(jì)算題，就是從特殊到一般，通過計(jì)算尋找規(guī)律代數(shù)計(jì)算和說理較多的一類題目，是確定直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).聯(lián)立直線和拋物線的解析式組成方程組，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后根據(jù)確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)我們介紹一下求函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)的幾何方法如圖1，已知直線yx1與x軸交于點(diǎn)a，拋物線yx22x3與直線yx1

2、交于a、b兩點(diǎn)，求點(diǎn)b的坐標(biāo)的代數(shù)方法，就是聯(lián)立方程組，方程組的一個(gè)解是點(diǎn)a的坐標(biāo)，另一個(gè)解計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)幾何法是這樣的：設(shè)直線ab與y軸分別交于c，那么tanaoc1作bex軸于e，那么設(shè)b(x, x22x3)，于是請注意，這個(gè)分式的分子因式分解后，這個(gè)分式能不能約分，為什么？因?yàn)閤1的幾何意義是點(diǎn)a，由于點(diǎn)b與點(diǎn)a不重合，所以x1，因此約分以后就是x31這樣的題目一般都是這樣，已知一個(gè)交點(diǎn)求另一個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過約分，直接化為一元一次方程，很簡便圖1例 1 2014年湖南省長沙市中考第25題在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫“夢之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（1,1），(2,2)，都是“夢之點(diǎn)

3、”，顯然“夢之點(diǎn)”有無數(shù)個(gè)（1）若點(diǎn)p(2, m)是反比例函數(shù)（n為常數(shù)，n0）的圖象上的“夢之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)y3kxs1（k、s為常數(shù)）的圖象上存在“夢之點(diǎn)”嗎？若存在，請求出“夢之點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）若二次函數(shù)yax2bx1（a、b是常數(shù)，a0）的圖象上存在兩個(gè)“夢之點(diǎn)”a(x1, x1)、b(x2, x2)，且滿足2x12，| x1x2|2，令，試求t的取值范圍動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14長沙25”，拖動y軸正半軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)，可以體驗(yàn)到，a、b兩點(diǎn)位于y軸同側(cè)，a、b兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是2，并且對于同一個(gè)a，有兩個(gè)對應(yīng)的

4、b和b，但是t隨b、t隨b變化時(shí)對應(yīng)的t的值保持相等思路點(diǎn)撥1“夢之點(diǎn)”都在直線yx上2第（2）題就是討論兩條直線的位置關(guān)系，分重合、平行和相交三種情況3第（3）題放棄了也是明智的選擇求t關(guān)于b的二次函數(shù)的最值，b的取值范圍由“夢之點(diǎn)”、2x12和| x1x2|2三個(gè)條件決定，而且2x12還要分兩段討論圖文解析（1）因?yàn)辄c(diǎn)p(2, m)是“夢之點(diǎn)”，所以p(2, 2)所以（2）“夢之點(diǎn)”一定在直線yx上，直線y3kxs1與直線yx的位置關(guān)系有重合、平行、相交圖1 圖2 圖3如圖1，當(dāng)直線y3kxs1與直線yx重合時(shí)，有無數(shù)個(gè)“夢之點(diǎn)”此時(shí)k，s1如圖2，當(dāng)直線y3kxs1與直線yx平行時(shí)，沒有

5、“夢之點(diǎn)”此時(shí)k，s1如圖3，當(dāng)直線y3kxs1與直線yx相交時(shí)，有1個(gè)“夢之點(diǎn)”此時(shí)k，“夢之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3）因?yàn)閍(x1,x1)、b(x2,x2)兩點(diǎn)是拋物線與直線yx的交點(diǎn)，聯(lián)立yax2bx1和yx，消去y，整理，得ax2(b1)x10所以x1x20所以a、b兩點(diǎn)在y軸的同側(cè)如圖4，由| x1x2|2，可知a、b兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是2已知2x12，我們分兩種情況來探求a的取值范圍：當(dāng)a、b兩點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，0x12，2x24所以0x1x28當(dāng)a、b兩點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，2x10，4x22所以0x1x28綜合、，不論0x12或2x10，都有0x1x28所以08所以a由ax2(b1)

6、x10，得x1x2，x1x2由| x1x2|2，得(x1x2)24所以(x1x2)24x1x24所以整理，得所以如圖5，這條拋物線的開口向上，對稱軸是直線，在對稱軸右側(cè)，t隨a的增大而增大因此當(dāng)時(shí)，t取得最小值，t所以t的取值范圍是t圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題我們也可以這樣來討論：一方面，由| x1x2|2，得(x1x2)24所以(x1x2)24x1x24所以整理，得另一方面，由f(2)0，f(2)0，得f(2)f(2)0所以0所以0所以a例 2 2014年湖南省懷化市中考第23題設(shè)m是不小于1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x22(m2)xm23m30有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（1）若，求的值

7、；（2）求的最大值動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14懷化23”，拖動x軸上表示實(shí)數(shù)m的點(diǎn)運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)m小于1時(shí)，拋物線與x軸有兩點(diǎn)交點(diǎn)a、b觀察點(diǎn)d隨m運(yùn)動變化的圖像，可以體驗(yàn)到，當(dāng)m1時(shí)，點(diǎn)d到達(dá)最高點(diǎn) 思路點(diǎn)撥1先確定m的取值范圍，由兩個(gè)條件決定2由根與系數(shù)的關(guān)系，把第（1）題的已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程3第（2）題首先是繁瑣的式子變形，把m提取出來，可以使得過程簡便一點(diǎn)圖文解析（1）因?yàn)榉匠蘹22(m2)xm23m30有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以0由4(m2)24(m23m3)4m40，得m1又已知m是不小于1的實(shí)數(shù)，所以1m1由根與系數(shù)的關(guān)系，得，若，那么所以整理，得解得，或（舍

8、去）所以所以（2）所以當(dāng)m1時(shí)，它有最大值，最大值為3（如圖1所示）圖1考點(diǎn)伸展當(dāng)m變化時(shí)，拋物線yx22(m2)xm23m30的頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是什么？因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線x(m2)，所以拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y(m2)22(m2)2m23m3m1因?yàn)閤y(m2)m11為定值，所以yx1也就是說，拋物線的頂點(diǎn)(x, y)的運(yùn)動軌跡是直線yx1（如圖2所示）圖2例 3 2014年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，已知二次函數(shù)yx2bxc的對稱軸為x2，且經(jīng)過原點(diǎn)，直線ac的解析式為ykx4，直線ac與y軸交于點(diǎn)a，與二次函數(shù)的圖象交于b、c兩點(diǎn)（1）求二次函數(shù)解析式；（2）若，求k的值；（3）若

9、以bc為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求k的值 圖1 動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14湘潭26”，拖動點(diǎn)c在拋物線上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)以bc為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，bmoonc思路點(diǎn)撥1第（2）題先將面積比轉(zhuǎn)化為ab與bc的比，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為b、c兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比2第（2）題可以用直線的解析式表示b、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式列方程組；也可以用拋物線的解析式表示b、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入直線的解析式列方程組3第（3）題先聯(lián)立拋物線與直線，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到b、c兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，再構(gòu)造相似三角形列方程圖文解析（1）因?yàn)樵c(diǎn)o關(guān)于直線x2的對稱點(diǎn)為(4, 0)，所以拋物線yx2bx

10、c的解析式為yx(x4)x24x（2）如圖2，因?yàn)?，所以設(shè)xbm，那么xc4m將點(diǎn)b(m, km4)、c(4m, 4km4)分別代入yx(x4)，得÷4，整理，得m21所以m1將m1代入，得k43解得k1此時(shí)點(diǎn)c落在x軸上（如圖3）（3）因?yàn)閎、c是直線ykx4與拋物線的交點(diǎn)，設(shè)b(x1,kx14)，c(x2,kx24)聯(lián)立yx24x和ykx4，消去y，整理，得x2(k4)x40所以x1x24k，x1x24如圖5，若以bc為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，那么boc90°作bmy軸，cny軸，垂足分別為m、n，那么bmoonc根據(jù)，得所以將x1x24k，x1x24代入，得解得圖2 圖3

11、圖4考點(diǎn)伸展第（2）題也可以先用拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)b、c的坐標(biāo)，再代入直線的解析式列方程組將點(diǎn)b(m,m24m)、c(4m,16m216m)分別代入ykx4，得×4，得12m212所以m1將m1代入，得3k4解得k1例 4 2014年湖南省株洲市中考第24題已知拋物線和直線（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）拋物線與x軸交于a、b兩點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)c，設(shè)a、b、c三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3，求x1·x2·x3的最大值；（3）如果拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)a、b在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)c在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y

12、軸于點(diǎn)d、e，直線ad交直線ce于點(diǎn)g（如圖1），且ca·gecg·ab，求拋物線的解析式圖1 動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14株洲24”，拖動y軸上表示實(shí)數(shù)k的點(diǎn)運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，拋物線與x軸總是有兩個(gè)交點(diǎn)觀察x1·x2·x3隨k變化的函數(shù)圖像，可以體驗(yàn)到，x1·x2·x3是k的二次函數(shù)還可以體驗(yàn)到，存在一個(gè)正數(shù)k，使得ad與be平行思路點(diǎn)撥1兩個(gè)解析式像龐然大物，其實(shí)第（1）題的語境非常熟悉，走走看，豁然開朗2第（2）題x1·x2·x3的最小值由哪個(gè)自變量決定呢？當(dāng)然是k了所以先求x1·x2

13、3;x3關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，就明白下一步該怎么辦了x1·x2由根與系數(shù)的關(guān)系得到，x3就是點(diǎn)c的橫坐標(biāo)3第（3）題的等積式轉(zhuǎn)化為比例式，就得到ad/be由此根據(jù)odoaoeob列方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡還是走走看，柳暗花明圖文解析（1）因?yàn)?，所以無論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（2）由，得c(k1), 0)所以x3(k1)由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1·x2所以x1·x2·x3因此當(dāng)時(shí)，x1·x2·x3取得最大值，最大值（3）如圖2，由ca·gecg·ab，得所以ag/be，即ad/be所以，即所以所以所以x2k1，或k1（舍）