由“理發(fā)師悖論”引發(fā)的討論

1、課題：由“理發(fā)師悖論”引發(fā)的討論一、問題背景在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只 給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。二、問題提出有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了 剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？三、問題解答1、學(xué)生思考回答如果他不給自己刮臉， 他就屬于 不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮 臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于 給自己刮臉的人”，他就不該給自己 刮臉。2、教師適時點撥如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素

2、被定義成這個人刮臉的 對象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合， 并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣 就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。3、師生共同歸納一般地，把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中 的集合不以自身為元素，假令第一類集合所組成的集合為P,第二類所組成的集合為 Q,于是有： P =AA A,Q=A|AA，問，Q P 還是 Q Q?若Q P，那么根據(jù)第一類集合的定義，必有 Q Q，但是Q中任何集合都有A ： A 的性質(zhì)，因為Q Q,所以QC Q，引出矛盾。若Q Q，根據(jù)第一類集合的定義，必有

3、Q P,而顯然P - Q = ，所以QC Q,還是矛盾四、小鏈接第一次數(shù)學(xué)危機羅素悖論提出，危機產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希 望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除 悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一 切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來Zermelo-Frae nkel alter native。解決這一悖論在本質(zhì)上存在兩種選擇，the alter native 和 the von Neum ann-Ber nays第二次數(shù)學(xué)危機1908年，策梅羅(Ernst Zermelo) 在

4、自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個 公理化集合論體系，后來這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸 素集合論的缺陷。這一公理系統(tǒng)在通過Abraham Frae nkel的改進后被稱為Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在該公理系統(tǒng)中， 由于限制公理 (The Axion Schema of Comprehension 或 Subset Axioms) : P(x)是 x 的一個性質(zhì)，對任 意已知集合A，存在一個集合B使得對所有元素x B當(dāng)且僅當(dāng)x A且P(x); 因此xl x是一個集合并不能在該系統(tǒng)中寫成一個集合，由于它并不是任 何已知集合的子集；并且通過該公理，存在集合A=x

5、 l x是一個集合在ZF系統(tǒng)中能被證明是矛盾的。因此羅素悖論在該系統(tǒng)中被避免了。第三次數(shù)學(xué)危機除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼(von Neumann)等人提出的NBG 系統(tǒng)等。在 the von Neuma nn-Ber nays alter native 中，所有 包含集合的collection都能被稱為類(class)，因此某些集合也能被稱為class，但是某些collection太大了(比如一個collection包含所有集合)以至于不能是一個集合，因此僅僅是個classo這同樣也避免了羅素悖論。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓 滿地解決了

6、第三次數(shù)學(xué)危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更 為深刻的影響。它使得 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù) 學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極 其深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上 著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。五、思考與討論應(yīng)用1: 一只小蟲在繩上爬，從一個端點爬向另一個端點。如圖：速度為 1cm/s, 繩子以3m/s的速度均勻拉長。問：小蟲是否能爬到終點？分析：假設(shè)小蟲能爬到右端點N.將繩子右端固定，取其靠近右端點 N的三百等 分點S'(注：S'以1cm/s向左端移動)

7、，則途中會經(jīng)過s'點。經(jīng)過s'點時，小 蟲有個向右的速度v=1cm/s，而其所處的位置有個向左的速度 u=1cm/s，所以它 到右端點的距離始終不變。與反設(shè)中“小蟲能爬到右端點N'矛盾，所以假設(shè)不成立。命題得證，即小蟲不能爬到右端點No小結(jié)：運用假設(shè)，借助所設(shè)條件，使問題簡單化。應(yīng)用2:有位調(diào)查員受托去A、B、C三所中學(xué)調(diào)查學(xué)生訂閱中學(xué)生數(shù)學(xué)的情 況，他很快統(tǒng)計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調(diào)查也得出同樣的結(jié)果.于是他擬寫了一個簡要報道，稱由抽取的三所學(xué)校 的調(diào)查數(shù)據(jù)看，中學(xué)生中男生訂閱中學(xué)生數(shù)學(xué)的比例比女生大后來，他又 把三所學(xué)校的學(xué)生合

8、起來作了一遍統(tǒng)計復(fù)核，匪夷所思的事情發(fā)生了，這時他得 出的統(tǒng)計結(jié)果令他大吃一驚，原來訂閱中學(xué)生數(shù)學(xué)的所有學(xué)生中，女生的比 例比男生要大些，怎么會是這樣呢？這就象在玩一個魔術(shù)，少的變多了，多的變 少了你能幫他找找原因嗎？分析：假設(shè)A、B、C三所學(xué)校各有100名學(xué)生，A有1男99女，B有50男50 女，C有99男1女，這樣男女總數(shù)相同。計算得到 A的比例：男：1/1=100%， 女：98/99=98.99%; B 的比例：男：50/50=100%,女：49/50=98%; C 的比例： 男：1/99=1.01%, 女: 0/1=0%?？梢娙齻€學(xué)校的比例都是男生多， 但是總的來看， 一共有1+50+

9、仁52男生訂閱，98+49+0=147名女生訂閱，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于男生的比例。 應(yīng)用3：史密斯教授和兩個數(shù)學(xué)學(xué)生一起吃午飯。教授：我來告訴你們一個新游戲，把你們的錢包放在桌子上，我來數(shù)里面的 錢，錢包里的錢最少的那個人可以贏掉另一個錢包里的所有錢。學(xué)生甲：嗨.,如果我的錢比乙的多，他就會贏掉我的錢，可是如果他的 多,我就會贏多于我的錢，所以我贏的要比輸?shù)亩?因此這個游戲?qū)ξ矣欣?學(xué)生乙：如果我的錢比甲的多，他就會贏掉我的錢.可是如果他的錢多，我就 會贏,而且我贏得比輸?shù)枚啵杂螒驅(qū)ξ矣欣?一個游戲怎么會對雙方都有利呢？到底是誰的想法有問題呢？分析：錢包只有二個，所以錢包里的錢只存在二個數(shù)：X,Y，設(shè)X>Y。甲有1/2機會是X， 1/2機會是丫 ；乙也如是。如果甲的錢是丫，則贏得X ;如果甲的錢是 X，貝U輸?shù)鬤 ;乙也如是。結(jié)論：1/2機會贏，1/2機會輸。 而甲乙想法的問題出在，他們假設(shè)了 3個數(shù)：設(shè)甲有X元，乙有Y元,(Y<X)或Z元,(Z>X)。但實際上只存在 2個數(shù)，所以這是錯誤的論證，推理出錯 誤的結(jié)論。點評：悖論雖然看似