等差數(shù)列前n項和(第一課時)教學設計

1、等差數(shù)列前n項和（第一課時）教學設計教學目的：知識目標：1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及公式的推導思想. 2.靈活運用等差數(shù)列前n項和公式解決一些簡單的實際問題.能力目標：1.提高學生的推理能力. 2.增強學生的應用意識.教學重點：等差數(shù)列前n項和公式的推導、理解及應用.教學難點：靈活應用等差數(shù)列前n項和公式解決一些簡單的有關(guān)問題.教學方法：啟發(fā)引導法，結(jié)合所學知識，引導學生在解決實際問題的過程中發(fā)現(xiàn)新知識，從而理解并掌握.教學過程：問題情景：古算書張邱建算經(jīng)中卷有一道題：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？師生共同讀題師：題目當中我們

2、可以得到哪些信息？要解決的問題是什么？ 生1：第一人給1錢，第二人給2錢，第三人給3錢，以后每個人都比前一個人多給一錢，共有100人，問共給了多少錢？師：很好，問題已經(jīng)呈現(xiàn)出來了，你能用數(shù)學符號語言表示嗎？生2：用表示第n個人所得的錢數(shù)，則由題意得： ，只要求出1+2+3+100=？師：你能求出這個式子的值嗎？ 生2：（猶豫片刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=10150+51=101，所求的和為101×=5050 .師：對于這個算法，著名的數(shù)學家高斯10歲時曾很快就想出來了.高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101，2 / 8 第2項與倒數(shù)第2項的和：2+

3、99=101， 第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101， 第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050上面的問題可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，n, 的前100項的和.在上面解決問題的過程中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和，從中你有何啟發(fā)？我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項和？設計意圖：通過情景引入活動、任務，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用得過程，其作用就在于提升學生的經(jīng)驗，使之連續(xù)地向形式的、抽象的數(shù)學知識的轉(zhuǎn)變.構(gòu)筑在學生已有生活經(jīng)驗與生命體驗基礎(chǔ)之上的數(shù)

4、學課程大大激發(fā)了學生“做數(shù)學”的熱情，數(shù)學課變得更生動、更活潑，更能引發(fā)學生的興趣.新教材中增添了一些數(shù)學史的知識，從課改的一些舉措上我感到在數(shù)學教學過程中，應適時掀起數(shù)學史的教學蓋頭。向同學們介紹了張邱建算經(jīng)和高斯及他的算法，講課的過程中適當插入數(shù)學史，為數(shù)學教學輸入了新鮮血液.培養(yǎng)學生的數(shù)學文化，營造濃郁的“人文”氛圍.等差數(shù)列前n項和設等差數(shù)列的前n項和為，則生3：（直接給出公式）由剛才問題的結(jié)果可知師：非常好，由具體的推廣到一般，這也是研究數(shù)學的一種思想方法由特殊到一般，但是這種方法是猜想、推測，是不完全歸納.數(shù)學公式的得出需要嚴謹?shù)耐评磉^程和相關(guān)的理論依據(jù).你能否推導這個公式？生4：

5、+？（遇到困惑，最后一組怎樣表示？是剩一項還是兩項？）師：我們再回顧一下剛才解決的問題，共有100項，兩兩分組正好分為50組，如果1+2+3+101=？n項時又應如何分組？最后一組應怎樣表示？生4（繼續(xù)回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=10250+52=102，51= 共有50組多出第51項n分奇偶性討論，n為偶數(shù)時正好分成組，n為奇數(shù)時分成組還多一項當n為偶數(shù)時， =當n為奇數(shù)時， = 師：好通過分類討論我們得出了等差數(shù)列的前n項和公式，從所得的結(jié)果看無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)的公式一樣.那么我們是否可以避開討論n的奇偶性去推導呢？怎樣出現(xiàn)首末兩項的和？結(jié)合所得公式的特征思

6、考.生5：將上面兩式左右兩邊分別相加得 =師：此種方法簡潔明了，且避開討論n的奇偶性，我們將這種方法稱為“逆序相加法”，在以后解決數(shù)列問題是也經(jīng)常運用“逆序相加法”，主要運用了等差數(shù)列下標等距性質(zhì).（有學生舉手）生6：我用另外一種方法得出的結(jié)果不一樣 = =師：這個結(jié)果對否？為何會有兩個公式？它們之間有聯(lián)系嗎？大家一起發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列前n項和公式：師(總結(jié)) ：我們得到了兩個計算等差數(shù)列前n項和的公式.由公式可知，只要知道 這四個量中的三個就可以求出等差數(shù)列前n項和.設計意圖：新課標指出“學生的學習過程就是在教師指導下的再創(chuàng)造的過程”在教學的過程中，教師要指導學法，把教與學的過程很好地統(tǒng)一起來，想

7、方法鼓勵學生積極參與，大膽設疑、質(zhì)疑、釋疑、辨錯、修正，突出過程教學.教師同通過問題情境或?qū)W習情境以誘發(fā)他們進行探索與問題的解決活動.應用舉例例1等差數(shù)列10,6,2, 2前多少項的和是54?解：設題中的等差數(shù)列為，前n項和為，則， 由題意得 解得（舍）前9項的和為54.師(總結(jié))：已知量，求n，合理選用公式. 思想方法：方程思想.設計意圖：學以致用,直接運用公式加深對公式的認識和理解.主要通過方程的思想進行基本量的運算.注意解題格式和規(guī)范.例2求集合中元素的個數(shù)，并求這些元素的和.解：由得即 由于滿足不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合M中的元素共有14個，將他們從小到大列出，得7，7

8、15;2，7×3，7×14， 這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為，其中 答：集合M中的元素共有14個元素，它們的和等于735.變式1：分析：n<100,M中有99個元素，分別為7，7×2，7×3，7×99，變式2：在1到100中被7除余1的正整數(shù)共有多少個？它們的和是多少？分析：設m是滿足條件的數(shù)，則m=7n+1,且m<100, 或m=7n-6,且m<100,設計意圖：高中數(shù)學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數(shù)學的方法，這要求我們轉(zhuǎn)變教學觀念，豐富教學形式，改進學生的學習方式，加大課堂教學的研究性、開放性和自主性，在開展探究活

9、動中培養(yǎng)學生的基本技能，將變式訓練與引導學生感悟反思放到同樣的高度，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學能力.練習 課本P118 ex 1 （板演），2,3,4小結(jié)：（1）了解等差數(shù)列的前n項和公式的推導思想（逆序相加法、分組配對法）.（2）掌握等差數(shù)列前n項和的兩個公式并能靈活運用解決相關(guān)問題.（3）研究問題的方法：由特殊到一般.（4）方程思想：基本量的運算.課后作業(yè)： P118 1（2）（4），2，4，5教學后記：新數(shù)學課程標準中明確提出“數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分”“要體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”等，將數(shù)學史有機地融入到課堂教學中，不僅不會影響學生的學習，相反卻會激發(fā)學生熱愛數(shù)學的熱情，起到正面推動作用，提升數(shù)學教育成效.這也是貫徹德育、提倡人文精神的重要組成部分.由具體的問題情境激發(fā)學生的學習興趣. 等差數(shù)列前n項和公式的推導由教師引導學生自主探索,由于數(shù)學的嚴謹性和學生認知的不完備性是一個矛盾，因此公式的發(fā)現(xiàn)過程是一個不斷修改、不斷完善、逐步發(fā)現(xiàn)的過程.引導學生積極參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導的過程,并弄清楚每個結(jié)論的因果關(guān)系,