導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用專題訓(xùn)練

1、ìï400x  x2，0x400，í                       則總利潤最大時(shí)，年產(chǎn)量是 (   )導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用專題訓(xùn)練一、選擇題1.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為 20 000 元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100

2、0;元 ， 已 知 總 營 業(yè) 收 入 R 與 年 產(chǎn) 量 x 的 年 關(guān) 系 是 R  R(x) 12ïî80 000，x>400，A.100C.200B.150D.3002.設(shè) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 f(2)0，當(dāng) x>0 時(shí)，有xf（x）f（x）

3、x2<0 恒成立，則不等式 x2f(x)>0 的解集是()A.(2，0)(2，)C.(，2)(2，)B.(2，0)(0，2)D.(，2)(0，2)3.若關(guān)于 x 的不等式 x33x29x2m 對(duì)任意 x2，2恒成立，則 m 的取值范圍是()A.(，7C.(，0B.(，20D.12，74. 已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?，4，部分對(duì)應(yīng)值如下表：xf(x)1102203240f(x)的導(dǎo)函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示.當(dāng) 1<a<2&#

4、160;時(shí)，函數(shù) yf(x)a 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.45. 已知函數(shù) f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零點(diǎn) x0，且 x0>0，則 a 的取值范圍是()A.(2，)C.(，2)B.(1，)D.(，1)二、填空題x3 6.某品牌電動(dòng)汽車的耗電量 y 與速度 x 之間有關(guān)系 y139x240x(x>0)，為32使耗電量最小，則速度應(yīng)定為 _.7.已知函數(shù) yx33xc 的圖象

5、與 x 軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 c_.8. 定義域?yàn)?#160;R 的可導(dǎo)函數(shù) yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，滿足 f(x)>f(x)，且 f(0)1，<1 的解集為_.則不等式f（x）ex三、解答題9.據(jù)環(huán)保部門側(cè)定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為 k(k>0).現(xiàn)已知相距 18 km 的 A，B 兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為 a，b，它們連線上任意一

6、點(diǎn) C 處的污染指數(shù) y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和 .設(shè) ACx(km).(1)試將 y 表示為 x 的函數(shù)；(2)若 a1，且 x6 時(shí)，y 取得最小值，試求 b 的值.10 已知函數(shù) f(x)ln x        .（x1）22(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：當(dāng) x>1 時(shí)

7、，f(x)<x1.11.函數(shù) f(x)3x2ln x2x 的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.無數(shù)個(gè)x12.若函數(shù) f(x)在 R 上可導(dǎo)，且滿足 f(x)xf()>0，則()A.3f(1)<f(3)C.3f(1)f(3)B.3f(1)>f(3)D.f(1)f(3)13.已知 x(0，2)，若關(guān)于 x 的不等式  x<      恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范14

8、.設(shè)函數(shù) f(x)   kln x，k>0.x1e k2xx2圍為_.x22(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若 f(x)存在零點(diǎn)，則 f(x)在區(qū)間(1， e上僅有一個(gè)零點(diǎn).導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用 專題訓(xùn)練答案一、選擇題ìï400x  x2，0x400，í             

9、0;         則總利潤最大時(shí)，年產(chǎn)量是 (   )1.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為 20 000 元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100 元 ， 已 知 總 營 業(yè) 收 入 R 與 年 產(chǎn) 量 x 的 年 關(guān) 系 是 R&

10、#160; R(x) 12ïî80 000，x>400，A.100C.200B.150D.300ìï300x   20 000，0x400，總利潤 P(x)í解析由題意得，總成本函數(shù)為 CC(x)20 000100 x，x22ïî60 000100x，x>400，ì300x，0x400，又 P(x)íî100，x>400，令 P(x)0，得

11、 x300，易知 x300 時(shí)，總利潤 P(x)最大.答案D2.設(shè) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 f(2)0，當(dāng) x>0 時(shí)，有xf（x）f（x）x2<0恒成立，則不等式 x2f(x)>0 的解集是()éf（x）ùë  x  ûA.(2，0)(2，)C.(，2)(2，)解析x>0 時(shí)êú<0，(x)B.(2，0)(0，2)D.(，

12、2)(0，2)f（x）x  在(0，)為減函數(shù)，又 (2)0，當(dāng)且僅當(dāng) 0<x<2 時(shí)，(x)>0，此時(shí) x2f(x)>0.又 f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù).故 x2f(x)>0 的解集為(，2)(0，2).答案D3.若關(guān)于 x 的不等式 x33x29x2m 對(duì)任意 x2，2恒成立，則 m 的取值范圍是()A.(，7C.(，0B.(，20D.12，7解析令 f(x)x33x29

13、x2，則 f(x)3x26x9，令 f(x)0 得 x1或 x3(舍去).f(1)7，f(2)0，f(2)20，f(x)的最小值為 f(2)20，故 m20.答案B6. 已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?，4，部分對(duì)應(yīng)值如下表：xf(x)1102203240f(x)的導(dǎo)函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示.當(dāng) 1<a<2 時(shí)，函數(shù) yf(x)a 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知 2 是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函

14、數(shù) yf(x)的大致圖象如圖所示.由于 f(0)f(3)2，1<a<2，所以 yf(x)a 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4.答案D7. 已知函數(shù) f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零點(diǎn) x0，且 x0>0，則 a 的取值范圍是()A.(2，)C.(，2)B.(1，)D.(，1)解析a0 時(shí)，不符合題意，a0 時(shí)，f(x)3ax26x.2令 f(x)0，得 x0 或 xa.若 a>0，則

15、由圖象知 f(x)有負(fù)數(shù)零點(diǎn)，不符合題意 .f ça÷>0，即 a×   33×   21>0，則 a<0，由圖象結(jié)合 f(0)1>0 知，此時(shí)必有æ2ö84è øaa化簡(jiǎn)得 a2>4.又 a<0，所以 a<2.答案C二、填空題x3 6.某品牌電動(dòng)汽車的耗電量 y 與速度

16、60;x 之間有關(guān)系 y139x240x(x>0)，為32使耗電量最小，則速度應(yīng)定為 _.解析由 yx239x400，得 x1 或 x40，由于 0<x<40 時(shí)，y<0；x>40 時(shí)，y>0.所以當(dāng) x40 時(shí)，y 有最小值.答案407.已知函數(shù) yx33xc 的圖象與 x 軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 c_.解析設(shè) f(x)x33xc，對(duì) f(x)求導(dǎo)可得，f(x)

17、3x23，令 f(x)0，可得 x±1，易知 f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞增，在(1，1)上單調(diào)遞減.若 f(1)13c0，可知 c2；若 f(1)13c0，可得 c2.答案2 或 29. 定義域?yàn)?#160;R 的可導(dǎo)函數(shù) yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，滿足 f(x)>f(x)，且 f(0)1，<1 的解集為_.則不等式f（x）ex解析構(gòu)造函數(shù) g(x)f（x）ex，則 g(x)&#

18、160;                            .ex· f（x）ex· f（x）f（x）f（x）（ex）2ex由題意得 g(x)<0 恒成立，所以函數(shù) g(x)f（x）ex在 R 上單調(diào)遞減.1，所以又&#

19、160;g(0)f（0）        f（x）e0 ex<1，即 g(x)<1，所以 x>0，所以不等式的解集為(0，).答案(0，)三、解答題9.據(jù)環(huán)保部門側(cè)定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為 k(k>0).現(xiàn)已知相距 18 km 的 A，B 兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為 a，b，它們連線上任意一點(diǎn) C 處的污染指

20、數(shù) y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和 .設(shè) ACx(km).(1)試將 y 表示為 x 的函數(shù)；(2)若 a1，且 x6 時(shí)，y 取得最小值，試求 b 的值.解(1)設(shè)點(diǎn) C 受 A 污染源污染程度為kax2，（18x）2點(diǎn) C 受 B 污染源污染程度為kb，（18x）2x2其中 k 為比例系數(shù)，且 k>0，從而點(diǎn) C 處受污染程

21、度 yka     kb .(2)因?yàn)?#160;a1，所以，y   2       ，   310 已知函數(shù) f(x)ln x        .kkbx（18x）22bé2ùëûykêx（18x）3ú，18令 y0，得

22、 x，31 b又此時(shí) x6，解得 b8，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，污染源 B 的污染強(qiáng)度 b 的值為 8.（x1）22(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：當(dāng) x>1 時(shí)，f(x)<x1.，x(0，).1(1)解f(x)xx1x2x1xìx>0，由 f(x)>0 得íîx2x1>0.故 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是ç0，÷.æ1 5ö

23、è2ø(2)證明令 F(x)f(x)(x1)，x(0，).1x2則有 F(x)x.當(dāng) x(1，)時(shí)，F(xiàn)(x)<0，所以 F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，故當(dāng) x>1 時(shí)，F(xiàn)(x)<F(1)0，即當(dāng) x>1 時(shí)，f(x)<x1.故當(dāng) x>1 時(shí)，f(x)<x1.11.函數(shù) f(x)3x2ln x2x 的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.0C.2解析函數(shù)定義域?yàn)?0，)，B.1D.無數(shù)個(gè)x1且 f(x)6xx26

24、x22x1，由于 x>0，g(x)6x22x1 的 20<0，所以 g(x)>0 恒成立，故 f(x)>0 恒成立，即 f(x)在定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn) .答案A12. 若函數(shù) f(x)在 R 上可導(dǎo)，且滿足 f(x)xf(x)>0，則()A.3f(1)<f(3)C.3f(1)f(3)B.3f(1)>f(3)D.f(1)f(3)éf（x）ù  xf（x）f（x）解析

25、60; 由于 f(x)>xf(x)，則êú             <0 恒成立，因此ëxûx2f（x）xf（3）<f（1），即 3f(1)>f(3).13. 已知 x(0，2)，若關(guān)于 x 的不等式  x<      恒成立，則實(shí)數(shù)

26、60;k 的取值在 R 上是單調(diào)遞減函數(shù)，31答案Bx1e k2xx2范圍為_.解析依題意，知 k2xx2>0.ex                       æexö令 f(x) x x22x，則 f(x)(x1)ç  

27、 2÷.14. 設(shè)函數(shù) f(x)   kln x，k>0.(1)解 由 f(x)   kln x(k>0)，即 k>x22x 對(duì)任意 x(0，2)恒成立，從而 k0，ex因此由原不等式，得 k< x x22x 恒成立.èx2ø令 f(x)0，得 x1，當(dāng) x(1，2)時(shí)，f(x)>0，函數(shù) f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，當(dāng) x(0，1)時(shí)，f(x)<0，函數(shù) f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以 k<f(x