彈性力學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)+試題及答案【整理版】

1、彈性力學(xué) 2005 期末考試復(fù)習(xí)資料一、簡(jiǎn)答題1試寫出彈性力學(xué)平面問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系？在應(yīng)用這些方程時(shí)，應(yīng)注意些什么問題？答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函數(shù)x、y、xy=yx，因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問題。平面問題的幾何方程 : 揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。平面問題中的物理方程：揭示的是形變分

2、量與應(yīng)力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為那幾類邊界問題？試作簡(jiǎn)要說明。答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位移的邊界值是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。有位移邊界條件;另一部分邊界則具有應(yīng)力邊界條件。3彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由幾個(gè)應(yīng)力分量決定？試將它們寫出。如何確定它們的正負(fù)號(hào)？答：彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由 6 個(gè)應(yīng)力分量決定，它們是：sx、sy、sz 、txy、tyz、tzx。正面上的應(yīng)力以

3、沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。4在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了那些基本假定？什么是“理想彈性體”？試舉例說明。答：答：在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了以下基本假定：（1）假定物體是連續(xù)的。（2）假定物體是完全彈性的。（3）假定物體是均勻的。（4）假定物體是各向同性的。（5）假定位移和變形是微小的。符合（1）（4）條假定的物體稱為“理想彈性體” 一般混凝土構(gòu)件、一般土質(zhì)地基可近似視為“理想彈性體”。5什么叫平面應(yīng)力問題？什么叫平面應(yīng)變問題？各舉一個(gè)工程中的實(shí)例。答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面

4、并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板支墩就屬于此類。平面應(yīng)變問題是指很長(zhǎng)的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面而且也不沿長(zhǎng)度變化，即內(nèi)在因素和外來作用都不沿長(zhǎng)度而變化。6在彈性力學(xué)里分析問題，要從幾方面考慮？各方面反映的是那些變量間的關(guān)系？答：在彈性力學(xué)利分析問題，要從3 方面來考慮：靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面、物理學(xué)方面。平面問題的靜力學(xué)方面主要考慮的是應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系也就是平面問題的平衡微分方程。平面問題的幾何學(xué)方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系，也就是平

5、面問題中的幾何方程。平面問題的物理學(xué)方面主要反映的是形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，也就是平面問題中的物理方程。7按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為那幾類邊界問題？試作簡(jiǎn)要說明答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題可分為兩類邊界問題：（1）平面應(yīng)力問題 ： 很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，即面力分量在邊界上所有各點(diǎn)都是坐標(biāo)的已知函數(shù)。在 s x、sy、txy= tyx 

6、;三個(gè)應(yīng)力分量。混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具（2）平面應(yīng)變問題 ： 很長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化的面力，而且體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化。這一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題。例如擋土墻和重力壩的受力分析。該種問題t= t= 0;t= t= 0而一般 s 并不等于零。xzzxyzzyzsN= l 2s + m 2s + 2lmtx y xy= cos 2&#

7、160;300 ´ 15 + cos 2 600 ´ 25 + 2 ´ cos 300 ´ cos= 34.82Mpa8什么是圣維南原理？其在彈性力學(xué)的問題求解中有什么實(shí)際意義？圣維南原理可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等tN= lm(s - s ) + (l 2 - m

8、0;2 )ty x xy= cos 30 0 ´ cos 60 0 ´ (25 - 15) + (cos 2 30 0 - cos 2= 14.33 Mpa效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那麼近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)彈性力學(xué)的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的2在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六

9、面體，x、y、z 方向的尺寸分別為 dx、+  +   +Y = 0情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達(dá)明確的情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解。9什么是平面應(yīng)力問題？其受力特點(diǎn)如何，試舉例予以說明。dy、dz。試依據(jù)下圖證明：¶s t ¶ty zy xy¶y  ¶z  ¶x。¶z¶z¶z   dz答：平

10、面應(yīng)力問題 是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，這一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中C¶tt +  zx dzzxs + ¶s z dzzt + ¶t zyzy只存在 s  、s  、t= tç   ÷   =1¶x&#

11、182;xxy¶x   dxzxz¶y   dy¶y   dy¶y   dyxyxyyx 三個(gè)應(yīng)力分量。10什么是“差分法”？試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示，把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題。基本差分公式如下：æ ¶f öf - f3è 

12、82;x ø2h0zoAsytt¶tyx t +  xz dxxzt +xyyz          ¶ss + x dxxPtzyt¶txystsxtzxt + ¶t yzyzt + ¶t yxyxs + ¶s yyByç

13、1;÷÷   =1ø 0æ ¶ 2 fè ¶x 2ö    f + f - 2 f3h 20x證明：ç÷   =çç÷   =ø 0x  = 15Mpa, s&

14、#182; y    dy ) ´ dx  ´ dz  - (s   ) ´ dx  ´ dzy  +(szy   + (tdz ) ´ dx  ´ dy  - (t)&

15、#160;´ dx  ´ dy¶ zxy   +¶ xæ ¶f öf - f24è ¶y ø2h0æ ¶ 2 f öf + f - 2 f240è ¶y 2h 2二、計(jì)算題1已知過

16、P點(diǎn)的應(yīng)力分量s= 25 Mpa , t= 20 Mpa 。求過 P 點(diǎn)，yxyå F = 0:y¶ sy¶ tzy¶ t+ (t xy dx ) ´ dy ´ dz - (t ) ´ dy ´ dz+ Ydx

17、dydz  = 0yzyxyl = cos 30 0 、m = cos 60 0斜     面     上     的化簡(jiǎn)并整理上式，得：¶ y    +¶ z   +   ¶&#

18、160;t¶ x + Y  = 0X 、Y 、s 、tNNN解：N 。¶ sytzy xyXN= ls + mtxxy= cos 300 ´ 15 + cos600 ´ 20 = 22.99Mpa3圖示三角形截面水壩，材料的比重為 r，承受比重為 g 液體ïtY

19、0;= ms + ltNyxyìs = ax + by= cos600 ´ 25 + cos300 ´ 20 = 29.82Mpa ï x的壓力，已求得應(yīng)力解為 ís = cx + dy - rgy ，試寫出直邊及斜yî xy = -dx 

20、- ay¶z邊上的邊界條件 。Cs + ¶szz dz¶z¶z   dz¶tt+zx dzzxt + ¶t zyzyyx    t+  ¶t xz dx¶x¶x¶x   dxzxz¶y   dy¶y  

21、; dy¶y   dy解：由邊界條件ìïl( x )s + m(íïîm( y )s + l() = Xyx s) = Yxy szox證明：Asyttxzt +xyyz          ¶ss + x dx

22、xPtzytxy¶txytszxsxtt + ¶t yzyzt + ¶t yxyxs + ¶s yyBy左邊界： l = cos b , m = - sin båF = 0:zíí¶ sz   +¶ zxz   

23、0;+    dx ) ´ dy  ´ dz  - (t¶ xyz    +    dy ) ´ dz  ´ dx  - (t+ (t) ´ dz  ´ dx&

24、#182; yìcos b(ax + by) - sin b( - dx - ay) = 0ssî- sin b(cx + dy - rgy)s + cos b (-dx - ay)s = 0右邊界： l = -1, m = 0ì-

25、0;(ax + by) = g gysî(dx + ay)s = 0(s z dz ) ´ dx ´ dy - (s ) ´ dx ´ dy¶ t+ (t xz ) ´ dy ´ dz¶ t

26、yz+ Zdxdydz  = 0zxzyz4已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量化簡(jiǎn)并整理上式：= 50 Mpa ，試求主應(yīng)力        ¶ sz  +      + Z  = 0xzsx = 30 Mpa , s y = -25 

27、Mpa , txyt ¶ tyz¶ z   ¶ x   ¶ ys、 s12 以及 s 1與 x 軸的夾角。6  圖示懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為  r，設(shè)應(yīng)力函數(shù)解：f = Ax 3 + Bx 2 y + Cxy 2 

28、;+ Dy 3 恒能滿足雙調(diào)和方程。試求應(yīng)力分量并寫出邊界條件。2    + æ sx   + ççs= s1yèx - 2yö 22÷÷ +  xyøç         ÷+ (50 )&

29、#160;2  = 59 .56 Mpa30 - 25=+2æ 30 + 25 ö 22è         ø2   =  s+    - æ ssx yèx - 2yö 

30、;22÷ +  xy = - 55 .06 Mpaø解：所設(shè)應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為：a  = tg -1 ç1÷ = tg -1 æç 59.56 - (30) ö÷ = 30.59 0÷      

31、60;    50è   ø¶y 2  =2Cx+6Dyæ s - 1çèxyxöøsx =¶2j¶x2¶z  ¶x  ¶y              

32、;            tz +   xz +yz + z = 0= -  ¶ j = -2Bx - 2Cy5在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體，x、y、z 方向的尺寸分別為 dx、s = ¶2j - py = 6A

33、x + 2By - pyy¶st¶tdy、dz。試依據(jù)下圖證明：。xy¶x¶y邊界條件為：上表面（y=0），要求XN=（ - txy )y=0= 0 ，   B = 0Y = (-s )Nyy =0= 0 ，    A =0斜邊界： y = xtga, l =

34、 - sin a , m = cos a , 邊界條件得：- (2Cx + 6Dy) sin a - 2Cy cos a = 02Cy sin a - py cos a = 0一、名詞解釋（共 10 分，每小題 5 分）1.彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等

35、原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。一 填空（共 20 分，每空 1 分）1.邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式，它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。2.體力是作用于物體體積內(nèi)的力，以單位體積力來度量，體力分量的量綱為L(zhǎng)-2MT-2；面力是作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為L(zhǎng)-1MT-2；體力和面力

36、符號(hào)的規(guī)定為以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎瑢?#160;外力；應(yīng)力是作用于截面單位面積的力，屬內(nèi)力，應(yīng)力的量綱為L(zhǎng)-1MT-2，應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定為：正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù)。3.小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個(gè)特點(diǎn)：一是孔附近的應(yīng)力高度集中，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力。二是應(yīng)力集中的局部性，由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊 1.5 倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。4.彈性力學(xué)中，正面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸正向的面，負(fù)面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向的面 。5.利用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時(shí)，簡(jiǎn)單來說包含結(jié)構(gòu)離散化、單元分析、整體分析三個(gè)主要步驟。

37、二 繪圖題（共 10 分，每小題 5 分）分別繪出圖 3-1 六面體上下左右四個(gè)面的正的應(yīng)力分量和圖 3-2 極坐標(biāo)下扇面正的應(yīng)力分量。圖 3-1圖 3-2三 簡(jiǎn)答題（24 分）1.  （8 分）彈性力學(xué)中引用了哪五個(gè)基本假定？五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？答：彈性力學(xué)中主要引用的五個(gè)基本假定及各假定用途為：（答出標(biāo)注的內(nèi)容即可給滿分）1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因

38、此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2）完全彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變成正比的含義，亦即二者呈線性關(guān)系，復(fù)合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反應(yīng)這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量 E 和泊松比等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變

39、形和位移時(shí)，可以將它們的二次冪或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)的微分方程都簡(jiǎn)化為線性微分方程。2.  （8 分）彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對(duì)應(yīng)哪類彈性體？?jī)深惼矫鎲栴}各有哪些特征？xy  存在，且僅為 x,y 的函數(shù)。xy  存在，且僅為 x,y 的函數(shù)。(   )ql 2  qlhx   x=0  ydy = -M - F

40、0;l -   62           ，-h 2(  )qlxy   x=0  dy = - F  -2-h 2s ）：ìï(ls   + mt  ) = fí(xïî

41、; ms y + lt xy  ) = f xs¶x 4   + 2¶x 2¶y 2  +  ¶y 4   = 0 ，顯然滿足。答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對(duì)應(yīng)的彈性體和特征分別為：平面應(yīng)力問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作

42、用面平行于 xy 平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量 s , s ,txy平面應(yīng)變問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為長(zhǎng)截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于 xy 平面，外力沿 z 軸無變化，只有平面應(yīng)變分量 e, e, gxy3.（8 分）常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為按應(yīng)力函數(shù) F 求解，應(yīng)力函數(shù) F 必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程： Ñ 4F 

43、= 0（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，s = syx s(在s = s 上)sy（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。四 問答題(36)1.（12 分）試列出圖 5-1 的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。（板厚 d = 1 ）ò +h 2 s +Sò +h 2 tS2.  （10

44、60;分）試考察應(yīng)力函數(shù) F = cxy 3 ， c > 0 ，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖 5-2 所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。圖 5-2解 ：（ 1 ） 相 容 條 件 ： 將 F = cxy 3 代 入 相 容 方 程

45、¶ 4F     ¶ 4F   ¶ 4F（ 2 ）應(yīng)力分量表達(dá)式： s= -3cy2txyx =¶ 2F¶y 2= 6cxy ， sy = 0 ，（ 3）邊界條件：在主要邊界     y =±  h( 

46、; )= ±3chx ， (  )    3(  )(  )y   y=-h 2  = - qx lyx   y=-h 2  = 0(s )    (  )N  ，  ò

47、   (s  )ò   (s  )dy = - Fydy = -M ，x   x=0x   x=0ò   (t  )   dy = -Fxy   x=0-h 2(v )ïòx &#

48、160; x=0 dy = 0íòx   x=0  ydy = 0ïò+h 2(t  )   dy = -ò+h 23cy 2 dy = - c h3ï  -h 2ï      &

49、#160;       -h 2òs x   x=l ydy = ò+h 26cly 2dy = clh3ï   +h 2(   )2ï  -h 2ïî òt xydy = -ò+h

50、0;23cy 2 dy = - c h3圖 5-1解：在主要邊界 y = ± h 2 上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：，；y y=+h 2 = 0 ， t yx y=+h 2 = -q1在次要邊界 x = 0 上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚 d = 1 

51、;時(shí)，+h 2+h 2-h 2-h 2+h 2S在次要邊界 x = l 上，有位移邊界條件： (u )= 0 ，x=l= 0 。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條x=l件代替：2 上，即上下邊，面力為y y=±h 2 xy y=±h 2 = - 4 ch2在次要邊界 x = 0,

52、0;x = l 上，面力的主失和主矩為ì +h 2(s )ï -h 2ï +h 2(s )ï -h 2ïî -h 2 xy x=0 -h 2 4ìò+h 2(s ) dy = ò+h 26clydy = 0x x=l&#

53、237;-h 2ï +h 2( )-h 2 x=0 -h 2 4彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界 x = 0, x = l 上面力的主失量和主矩如解圖所示。3.  （14 分）設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱，密度為 r ，在一邊側(cè)面上受均布剪力 q, 如圖 5-3 所示，試求應(yīng)力分量。（提示：采用x   x=0

54、60; dy = -F   + q l-h 2ò +h 2(s )N 1，半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡(jiǎn)單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量 s = 0 ）xsx =¶ 2F¶y 2- xf = 0 ，xs =y¶ 2F¶x

55、0;2(e)- yf = 6 Axy + 2By + 6Dx + 2E - rgyy，                     (f)=-     = -3 Ax 2 - 

56、;2Bx - C .txy¶ 2F¶x¶y(g)(5) 考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)先來考慮左右兩邊 x = ± b 2 的主要邊界條件：x   x=±b 2  = 0(t  )(t  )圖 5-3(s )xy x=+b 2 = q 。，xy

57、0;x=-b 2 = 0，x   x=±b 2  = 0xy   x=-b 2  =-  34  Ab 2 + Bb - C = 0x  =  ¶ F¶ Fx  = ¶y 2 &#

58、160; = 0 對(duì) x 積分，得¶y 2   有xy   x=+b 2  =-  34  Ab 2 - Bb - C = q解：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡(jiǎn)單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量 s = 0 ，x(1)

59、0;假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 s = 0x(2) 推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時(shí)，體力分量為f = 0, f = r g 。將 s = 0 代入應(yīng)力公式xyx22ss將應(yīng)力分量式(e)和(g)代入，這些邊界條件要求：t(s ) ，   自   然   滿   足   ；( )

60、(                      h                      )t( )(i)¶y  &#

61、160;= f (x )，¶F。（b）（a）F = yf (x )+ f (x )1由 （ h ）（ i ）      得           B =- q2b（j）考察次要邊界 y = 0 的邊界條件，應(yīng)用圣

62、維南原ò   (s  )    dx = ò+b 2(6Dx + 2E )dx = 2Eb = 0-b 2-b 2其中f (x)， f (x)都是 x 的待定函數(shù)。1(3)由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式（b）代入相容方程F 4 = 0 ，得理，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件為+b 

63、;2yy=0；         得    E = 0ò   (s  )-b 2y d 4 f (x ) + d 4 f1 (x )dx 4dx 4= 0+b 2yy=0xdx = ò+b 2

64、(6Dx + 2E )xdx =-b 2Db32 = 0= 0 ，= 0 ，兩個(gè)都必須等于零。ò   (t  )    dx = ò+b 2ç - 3 Ax 2 +-b 2 è-b 2這是 y 的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的

65、根（全部豎柱內(nèi)的 y 值都應(yīng)該滿足），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)d 4 f (x )d 4 f (x )1dx 4dx 4方程要求，      得    D = 0xyy=0+b 2 æq öøb x - C ÷dx = -Ab34&#

66、160;- bC = 0F = y Ax 3 + Bx 2 + Cx  +  Dx 3 + Ex 2  )A =-  qb  y - rgybf (x ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx ，&#

67、160;f (x ) = Dx 3 + Ex 21(c)f (x)中的常數(shù)項(xiàng)， f (x)中的一次和常數(shù)項(xiàng)已被略去，1因?yàn)檫@三項(xiàng)在 F 的表達(dá)式中成為 y 的一次和常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù)() (d)（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。（k）由  （  h  ） （  j  ） （  k 

68、; ）  得qb 2 ,  C = 4將所得 A、B、C、D、E 代入式（e）（f）（g）得應(yīng)力分量為：s = 0 ， s = -6 q xy - q ，x y 2b 2  x 2 +txy= 3 qqb x -q4彈性力學(xué)試卷 A一、填空題（每空 

69、2 分，共計(jì) 30 分）1. 彈 性 力 學(xué) 平 面 問 題 分 為 _ 和_。2.平面問 題 的幾何協(xié) 調(diào)方 程為_。3. 將平面應(yīng)力問題下物理方程中的E ， u 分別換成_、_就可得到平面應(yīng)變問題中的物理方程。4. E 和 G 的關(guān)系可用式_表示。答案一、1. 平面應(yīng)力問題，平面應(yīng)變問題5. t中兩個(gè)下標(biāo)

70、的含義為_、xy2. eij ,kl+ ekl ,ij- ejl ,ik- eik , jl= 0x 、s_。6. 彈 性 力 學(xué) 問 題 中 有 5 個(gè) 基 本 假 設(shè) ， 分 別 是_ 、 _ 、_ 、 _ 、_。7.彈 性 

71、力 學(xué) 中 有 兩 類 外 荷 載 ， 分 別 是_、_。二、簡(jiǎn)答題（40 分）1試寫出彈性力學(xué)平面問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系？在應(yīng)用這些方程時(shí)，應(yīng)注意些什么問題？（15 分）2按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為那幾類邊界問題？試作簡(jiǎn)要說明。（9 分）3什么叫平面應(yīng)力問題？什么叫平面應(yīng)變問題？這兩種問題各有哪些非零應(yīng)力量。兩種問題各舉一個(gè)工程中的實(shí)例。（8 分）4什么是圣維南原理？其在彈性力學(xué)的問題求解中有什

72、么實(shí)際意義？（8 分）三、解答題（30 分）1. 已 知 物 體 內(nèi) 一 點(diǎn) 的 6 個(gè) 應(yīng) 力 分 量 為 s =4MPa ，x3. E / (1-u 2)   ,   u / (1-u )4. G=E / 2(1+u )5.&

73、#160; 應(yīng)力作用在法向平行于 x 軸的平面      應(yīng)力方向平行于 y 軸6.  連續(xù)性、均勻性、完全彈性、各向同性、小變形7.  體力  面力二、1.答：(1)平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函數(shù)s 、t 、t ，因此，決定應(yīng)力y xy yx分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問題。(2

74、)平面問題的幾何方程 :揭示的是形變分量與位移分量sy=2MPa ， s =4MPa ， tzxy=8MPa ， txz =4MPa ，間的相互關(guān)系。應(yīng)注意當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形tyz =0MPa，試求法線方向余弦為 l=1/2，m=1/2, n=1/ 2 的變量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。微分面上的應(yīng)力：總應(yīng)力 f ，正應(yīng)力 s ，切應(yīng)力t 。(15v

75、vv分)2.如圖，三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為r ，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。（15 分）(3)平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。x   sxz ÷çs   ÷ = çç 820 ÷÷s   ÷ø   ç

76、2; 404 ÷øç ssæ ss ö æ 484 öxy1.解：應(yīng)力矩陣為 ç s xys yyzèxzyzz(1)方向余弦為 n 的微分斜面上沿 i 坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力為jf = s niji則j2. 答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。（1）位移邊界問題是指物

77、體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位移的邊界值是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。（2）應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，即面力分量在邊界上所有各點(diǎn)都是坐標(biāo)的已知函數(shù)。（3）混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件;另一部分邊界則具有應(yīng)力邊界條件。3. 答：（1）平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)體力f = s n + s n + s n =4*1/2+8*1/2+4*1/  2

78、 =6+21 11 1 21 2 31 32f = s n + s n + s n =8*1/2+2*1/2+0=52 12 1 22 2 32 3f = s n + s n + s n =4*1/2+0+4*1/ 2 =2+3 13

79、60;1 23 2 33 32 2f =  f 2 + f 2 + f 2 = 81 + 32 2 =11.2363v 1 2 3也平行于板面并且不沿厚度變化。非零應(yīng)力量有sx、sy 、txy 。如板式吊鉤、旋轉(zhuǎn)圓盤、工字梁的腹板等。(2) s = s n nv ij 

80、ij13   1   3               +（2）平面應(yīng)變問題是指很長(zhǎng)的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體=         s n n + s n n + s 

81、;n n11 1 1 12 1 2力也平行于橫截面而且也不沿長(zhǎng)度變化，即內(nèi)在因素和外來作用都不沿長(zhǎng)度而變化。非零應(yīng)力量有sx、sy 、sz 、s n n + s n n + s n n21 2 1 22 2 2 23 2 3+txy 。 如煤礦巷道的變形與破壞分析、擋土墻、重力壩等。4. 答：（1）圣維南原理

82、可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分s n n + s n n + s n n31 3 1 32 3 2 33 3 3= s n n + s n n + s n n +2 s n n +2 s n n +211 1 1 22 2 2 33 3 3 12 1 2 13 1 3布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。（2）彈性力學(xué)的問題求解中可利用圣維南原理將面力sn n23 2 3分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表