2013年沖刺班教案-綜合應(yīng)用及證明

1、綜合應(yīng)用及證明前言 在歷年的試題中除去前面十二題選擇和填空題以及八題計(jì)算題，一般都有四題比較綜合的解答題和證明題，分值一共是38分。這些題的正確解答與否將直接關(guān)系到高數(shù)能否取得高分。從試題的計(jì)算量上來看，這部分題目的計(jì)算量其實(shí)都不大，關(guān)鍵是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力的考查。經(jīng)過分析，我們不難發(fā)現(xiàn)這四道題中還是有比較固定的格式，起碼我們可以知道有三類題是歷年來必考的。第一類是對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查（極值、最值及凸凹等），第二類是定積分應(yīng)用的考查（圍成的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積），第三類是不等式證明。除了上述三類，一般還會(huì)有題證明題，多是等式證明（積分等式證明或二重積分等式證明），當(dāng)然也可能是一道綜合性更強(qiáng)的題

2、目，全面考查對(duì)微積分中函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、積分以及微分方程等相關(guān)知識(shí)的彼此間的聯(lián)系。對(duì)于固定格式類型的題目我們必須做到熟練掌握解題方法和步驟，剩下的類型只能依靠同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn)和技巧，其實(shí)做到這點(diǎn)并不難，歸根溯源，只要我們對(duì)基本概念深刻理解和掌握，無論題目怎么變化都可以應(yīng)付自如。下面我們將這部分內(nèi)容大致分為六個(gè)方面逐一深入討論。一、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可以大體上分為三種題目，第一種是以求函數(shù)的極值（凸凹區(qū)間及拐點(diǎn)）為主要目的的解答題；第二種是實(shí)際問題求最值，也就是我們通常意義上的“應(yīng)用題”，一般都需要設(shè)未知數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù)，但是這種題只是在05年之前出現(xiàn)過，近幾年沒有出現(xiàn)；第三種是結(jié)

3、合其它類型的題目，如定積分的應(yīng)用等等，一般是在題目中出現(xiàn)待定參數(shù)，為了達(dá)到某種量（距離、長(zhǎng)度、面積以及體積等等）最大或最小。另外利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線的斜率）也是可能出現(xiàn)的。當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也可以出現(xiàn)在選擇題或填空題中，僅單獨(dú)考查某個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值或極小值、凸凹區(qū)間、拐點(diǎn)以及漸近線等等。 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值問題是同學(xué)們?cè)诟咧芯蛯W(xué)過的內(nèi)容，函數(shù)的凸凹及拐點(diǎn)只是借助了二階導(dǎo)數(shù)信息，對(duì)這些基本方法的掌握留給同門們自己復(fù)習(xí)，我們下面提幾點(diǎn)解題時(shí)的注意事項(xiàng)和技巧。1. 以求函數(shù)的極值（凸凹區(qū)間及拐點(diǎn)）為主要目的的解答題定義域，單調(diào)區(qū)間，不可導(dǎo)點(diǎn)，列表，第一充分條件，第二充分條件，凸凹及掛點(diǎn)

4、最值逆向判定反求參數(shù)問題2. 實(shí)際問題或其它類型求最值設(shè)未知數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)，駐點(diǎn)（只有一個(gè)），第二充分條件，極值，單峰原理，最值3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們都知道是曲線在某點(diǎn)處切線的斜率，即，在歷年試題中有關(guān)曲線的切線構(gòu)成的綜合題還是經(jīng)常出現(xiàn)的。下面我們?cè)敿?xì)討論其中不同的情形。求曲線在某點(diǎn)處的切線方程 切線首先是直線，所以我們一般采用的是直線方程的“點(diǎn)斜式”，即。此類型題可以分為兩小類：第一類是已知曲線的方程，即函數(shù)解析式，求在處的切線方程，這種最為簡(jiǎn)單，求出導(dǎo)數(shù)后直接代入點(diǎn)斜式公式即可；第二類是已知曲線的方程，即函數(shù)解析式，但是并不告訴我們切點(diǎn)，而是告訴我們切線通過其它的

5、點(diǎn)，當(dāng)然該點(diǎn)不在曲線上，然后要求我們求出切線的方程。對(duì)于第二類顯然并第一類要復(fù)雜一些，采用的方法一般有兩種，一種是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)就是1 / 16，這里我們要把它們看成是常數(shù)，得到切線的斜率為，然后再利用求導(dǎo)得到，這兩個(gè)是同一個(gè)，所以有，解這個(gè)關(guān)于的方程就可以得出具體的的值了，接下來就回到了第一類的那種情形，便可以求出切線的方程了。另外一種方法是假設(shè)切線的斜率為，已知點(diǎn)雖然不在曲線上，但是也是切線上的點(diǎn)，從而可以利用點(diǎn)斜式求出切線方程，當(dāng)然此時(shí)是待定的參數(shù)，然后我們?cè)倮们€和切線只有一個(gè)交點(diǎn)這一特性，把切線方程和曲線方程聯(lián)合成一個(gè)方程組，于是這個(gè)方程組的解一定是唯一的，把其中一個(gè)方程代入到另一個(gè)

6、方程中，利用求出參數(shù)即可。相比較而言，雖然第二種方法比較簡(jiǎn)單，求出后直接就能寫出切線的方程，也容易掌握，但是這種方法還是具有很大的局限性的，畢竟只有一元二次方程才具有所謂的“”，因此第一種方法是比較常規(guī)的方法。結(jié)合切線做其它相關(guān)的運(yùn)算比如截距，與其它曲線圍成的封閉圖形的面積或旋轉(zhuǎn)體體積，或是給出任意點(diǎn)處切線的斜率，從而建立微分方程求解分清常量和變量很多時(shí)候我們需要設(shè)一些未知數(shù)來求解為題，但是雖然是未知的，在建立有關(guān)的等式中，又要把他們看作是已知的，這一點(diǎn)要區(qū)別開來。4.歷年試題講解(2001年)21、過作拋物線的切線，求（1）切線方程；（2）由拋物線、切線、以及軸所圍平面圖形的面積；（3）該平

7、面分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。解：（1）；（2）；（3），(2001年)24、一租賃公司有40套設(shè)備要出租。當(dāng)租金每月每套200元時(shí)，該設(shè)備可以全部租出；當(dāng)租金每月每套增加10元時(shí)，租出的設(shè)備就會(huì)減少1套；而對(duì)于租出的設(shè)備，每月需要花20元的維持費(fèi)。問租金定位多少時(shí)，該公司可獲最大利潤(rùn)？解：設(shè)每月每套租金為，則租出設(shè)備的總數(shù)為，每月的毛收入為：，維護(hù)成本為：.于是利潤(rùn)為： 比較、處的利潤(rùn)值，可得，故租金為元時(shí)利潤(rùn)最大.(2002年)24、從原點(diǎn)作拋物線的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為S。求（1）S的面積；（2）圖形S繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積。(2002年)26、已知某廠生產(chǎn)件

8、產(chǎn)品的成本為（元），產(chǎn)品產(chǎn)量與價(jià)格之間的關(guān)系為：（元），求：（1）要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（2）要企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)可獲最大利潤(rùn)，并求最大利潤(rùn)。（本題滿分8分）（1）設(shè)生產(chǎn)件產(chǎn)品時(shí)，平均成本最小，則平均成本， （件）（2）設(shè)生產(chǎn)件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)可獲最大利潤(rùn)，則最大利潤(rùn)，. 此時(shí)利潤(rùn)（元）.(2003年)21、拋物線（1）拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于軸？寫出切線方程。（2）求拋物線與水平切線及軸所圍平面圖形的面積。（3）求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。（9分）解：（i）切線方程：；（ii）（iii）(2003年)23、設(shè)計(jì)一個(gè)容積為立方米的有蓋圓柱形貯油桶。已知單位面積造

9、價(jià)：側(cè)面是底面一半，蓋又是側(cè)面的一半，問貯油桶的尺寸如何設(shè)計(jì)，造價(jià)最低？（8分）解：設(shè)圓柱形底面半徑為，高位，側(cè)面單位面積造價(jià)為，則有由（1）得代入（2）得：令，得：；此時(shí)圓柱高.所以當(dāng)圓柱底面半徑，高為時(shí)造價(jià)最低.(2004年)23、甲乙二城位于一直線形河流的同一側(cè)，甲城位于岸邊，乙城離河岸40公里，乙城在河岸的垂足與甲城相距50公里，兩城計(jì)劃在河岸上合資共建一個(gè)污水處理廠，已知從污水處理廠到甲乙二城鋪設(shè)排污管的費(fèi)用分別為每公里500元和700元。問污水處理廠建在何處，才能使鋪設(shè)排污管的費(fèi)用最省？解：設(shè)污水廠建在河岸離甲城公里處，則，解得（公里），唯一駐點(diǎn)，即為所求.(2005年)22、設(shè)函

10、數(shù)的圖形上有一拐點(diǎn)P（2，4），在拐點(diǎn)P處曲線的切線斜率為3，又知該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)。解：設(shè)所求函數(shù)為，則有，.由，得，即.因?yàn)?，故，由，解?故，由，解得.所求函數(shù)為：.(2006年)22、已知曲線過原點(diǎn)且在點(diǎn)（x,y）處的切線斜率等于2x+y，求此曲線方程。解：，通解為，由得，故.(2007年)22、設(shè)函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）在點(diǎn)的左側(cè)臨近單調(diào)減少；（2）在點(diǎn)的右側(cè)臨近單調(diào)增加；（3）其圖形在點(diǎn)的兩側(cè)凹凸性發(fā)生改變。試確定常數(shù)的值解：，.由題意得、，解得、(2008年)21、求曲線的切線，使其在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小，并求此最小值。解：4(2009年)21、 解：（1）函數(shù)的定義域

11、為，令得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為.（2），令，得，曲線在上是凸的，在上是凹的，點(diǎn)為拐點(diǎn).（3）由于，故函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為.二、定積分的應(yīng)用 畫圖，記公式三、方程根的討論1.零點(diǎn)定理（至少有一個(gè)根）2.零點(diǎn)定理+函數(shù)單調(diào)（有且僅有一個(gè)根）3.極值（作圖分析，多針對(duì)于沒有指定區(qū)間的題目）原理:函數(shù)連續(xù)性、極值的正負(fù)性、函數(shù)趨向于無窮大時(shí)的極限，步驟4.羅爾定理（間接證明）構(gòu)造5.連續(xù)使用零點(diǎn)定理（證明存在兩個(gè)以上的根，可以使用極值法）6.n次方程最多n個(gè)根7.注意不管是零點(diǎn)定理還是羅爾定理都是是取不到端點(diǎn)的，即，對(duì)于端點(diǎn)要單獨(dú)討論（提高班，P29頁(yè)22

12、題）（2003年）22、證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。（2005年）21、證明方程在-1,1上有且僅有一個(gè)實(shí)根。（2008年）23、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間0，2（）上連續(xù)，且，證明：在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得四、不等式證明1.函數(shù)單調(diào)性（要求函數(shù)具有很強(qiáng)的單調(diào)性，且易于求導(dǎo)）原理：有限區(qū)間使用一次：；使用多次：無限區(qū)間或，以為例使用一次單調(diào)性原理；無窮區(qū)間或存在一個(gè)無意義的點(diǎn)分區(qū)間討論2.最值（最具一般性的方法，不要求函數(shù)具有單調(diào)性，只需要求一階導(dǎo)數(shù)）3.微分中值定理（含有增量形式的不等式）4.積分不等式（利用定積分的性質(zhì)或積分中值定理）5.技巧（劃分區(qū)間討論、改變不等式形式）（2001年）23、設(shè)函

13、數(shù)在上具有嚴(yán)格單調(diào)遞減的導(dǎo)數(shù)，在處右連續(xù)且，試證：對(duì)于滿足不等式的，恒有下式成立：。證明：由拉格朗日定理知： ， 由于在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，知，因，故.（2002年）25、證明：當(dāng)時(shí)，成立。（2006年）21、證明：當(dāng)時(shí)，。（2007年）24、求證：當(dāng) 時(shí)，（2008年）24、對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明不等式： （2009年）24、證明： （2010年）21、證明：當(dāng)時(shí)，五、等式證明1.定積分（換元法，觀察積分上下限的構(gòu)成）觀察積分的上下限，找出其中的增量，理由積分區(qū)間可加性分成兩個(gè)定積分；對(duì)其中的某個(gè)整體部分進(jìn)行換元，從而改變定積分的上下限為所要證明的定積分的上下限；利用誘導(dǎo)公式將被積函數(shù)變形2.交換二次

14、積分次序3.其它（2004年）21、證明：，并利用此等式求（2007年）23、設(shè)，證明： 例3. ，并計(jì)算的值。證明：因?yàn)?所以要證明 即證明 令，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 則 由于定積分與積分符號(hào)無關(guān)，所以 即原命題成立 利用命題結(jié)論有六、綜合題的構(gòu)成分析 除去我們熟悉的固定類型的綜合應(yīng)用及證明題，一道普通的綜合題是怎么構(gòu)成的呢？它又是如何依據(jù)高等數(shù)學(xué)中的各部分知識(shí)進(jìn)行混合編排的呢？這是我們需要思考的問題。在這里只給同學(xué)們起個(gè)頭，針對(duì)于歷年試題，希望可以起到拋磚引玉的作用，讓大家對(duì)一些綜合題的考查做到不再望而生畏。觀察歷年試題或是平時(shí)做的習(xí)題就不難發(fā)現(xiàn)，綜合題大都有個(gè)共同的地方，那就是依據(jù)函數(shù)作為

15、中介和橋梁。函數(shù)是我們數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有了函數(shù)才能研究它的各種性質(zhì)，才能對(duì)它做各種運(yùn)算。1.由函數(shù)引發(fā)的知識(shí)鏈 先看下面的表格函數(shù)極限連續(xù)（連續(xù)性）導(dǎo)數(shù)（可導(dǎo)性）幾何意義應(yīng)用（極值或最值）微分方程偏導(dǎo)數(shù)積分不定積分定積分應(yīng)用（面積或體積）二重積分變上限積分 上述表格簡(jiǎn)單地列出了由函數(shù)引出的一些知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)然并不止這些，但是我們可以從中得到這樣一個(gè)結(jié)論，就是無論是算極限、導(dǎo)數(shù)、積分，還是判定函數(shù)是否連續(xù)、是否可導(dǎo)等等都必須事先給我們函數(shù)才可以。上述表格中的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)彼此是相互聯(lián)系密不可分的，它們之間是可以相互轉(zhuǎn)化的。比如計(jì)算某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，如果不可以使用求導(dǎo)公式，最終可以利用導(dǎo)數(shù)的定義，那么就必須利用函

16、數(shù)的極限（左右導(dǎo)數(shù)）；利用導(dǎo)數(shù)和不定積分之間是一種互逆運(yùn)算關(guān)系，可以給出它們其中的任何一個(gè)就可以算另一個(gè)；二重積分最終是化成二次積分來求解的，這就跟積分聯(lián)系在一起了等等?？傊?，這種情況很多，但是只要把其中的基本概念搞清楚并不復(fù)雜。2.一類含有求函數(shù)表達(dá)式的綜合題分析 由上面的分析可知，在各種計(jì)算中必須有函數(shù)才行，說的具體些就是必須知道函數(shù)的表達(dá)式。但是往往題目中并不直接給出函數(shù)的表達(dá)式，這樣一來所謂“綜合”的成分便由此產(chǎn)生了。接下來我們來討論一下有哪些方法可以求出函數(shù)的表達(dá)式。利用常規(guī)方法 這種方法是中學(xué)課本中常見的方法，即我們常說的三種方法：直接代入法、換元法和湊元法。最常見的是已知，題目中

17、需要計(jì)算的是的相關(guān)計(jì)算。不過，這種題型在綜合題中已經(jīng)不多見了，但是在選擇填空題中還是會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)的，而且還有一定的解題技巧。這是因?yàn)橥⒉皇前凑丈鲜龇椒ㄇ蟪鲈龠M(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，比如一些簡(jiǎn)單的不定積分或定積分的計(jì)算就是這樣。例如：已知的表達(dá)式，求；已知，求等等。利用導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系 這種方法實(shí)際上跟中在有些時(shí)候有相同的地方，題目中告訴我們的原函數(shù)是，則；或者說是的原函數(shù)，則，這里要注意此時(shí)求出來的是含有參數(shù)的，一般題目中還會(huì)告訴我們一些條件來確定參數(shù)，比如已知；利用微分方程 微分方程的解其實(shí)就是一個(gè)函數(shù)而已，所以題目可以事先讓我們解一個(gè)微分方程得到函數(shù)后再做其它的運(yùn)算。這種類型有的是直接的，即

18、事先給一個(gè)明顯的微分方程，有的是間接的，比如事先給的是一個(gè)含有變上限積分的等式，這種題目我們已經(jīng)很熟悉了，比如，此時(shí)方程兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)之后就得到一個(gè)微分方程了，而且是一階微分方程（因?yàn)橹磺罅艘淮螌?dǎo)數(shù)）。如果等式中含有形如的項(xiàng)，由于求導(dǎo)時(shí)利用的是乘法法則，這樣再求導(dǎo)之后還會(huì)剩下變上限積分，那么就再求導(dǎo)一次，于是便出現(xiàn)了二階微分方程。不管是上述的那種情形，最后都要求出的具體表達(dá)式，由于微分方程求出來的一般都是通解，這樣一來就必須找出初始條件來求出不還有參數(shù)的特解，一般都是利用題目中給的條件，或者取變上限積分的上限（為下限值）。利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 這類題中所涉及的函數(shù)一般是直接給出的，但是函數(shù)中含有參

19、數(shù)。題目中會(huì)告訴我們函數(shù)滿足的一些條件，比如在某點(diǎn)處取得極值或?yàn)楣拯c(diǎn)，或者間接的說明在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性或凸凹性等等，一般都是通過分析得出若干個(gè)方程，從而解方程組求出參數(shù)。需要注意的是在某點(diǎn)處如何如何本身就包含了函數(shù)中存在這一點(diǎn)這個(gè)條件。當(dāng)然，這類題完全可以是一個(gè)獨(dú)立的題目，即本身就是求函數(shù)的表達(dá)式而不再做其它的計(jì)算了。自己建立函數(shù) 這類題一般是題目中并沒有像上述情形那樣給出函數(shù)的相關(guān)信息，而是通過題目中所給的信息建立一個(gè)函數(shù)，然后再對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。比如實(shí)際問題中建立所謂的目標(biāo)函數(shù)，之后再對(duì)它進(jìn)行其它計(jì)算；又如這幾年經(jīng)常出現(xiàn)在定積分應(yīng)用中的題目，根據(jù)已知條件求出面積或體積，從而得到一

20、個(gè)關(guān)于面積或體積的目標(biāo)函數(shù)，但是其中是含有參數(shù)的，這是由于題目中給的某些條件中就含有了參數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出最大值或最小值等等。3.知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系舉例 我們上面說過了，由函數(shù)引出的各種知識(shí)點(diǎn)之間是相互聯(lián)系的，那么它們?cè)诳荚囍杏质侨绾谓⑵饋淼哪兀肯旅嫖覀兣e兩個(gè)例子，給出題目最終要求解的問題，然后看看它們彼此間是如何聯(lián)系起來的。求函數(shù)表達(dá)式滿足一個(gè)微分方程得到一個(gè)微分方程根據(jù)題目條件建立等式；求求函數(shù)表達(dá)式利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用建立參數(shù)滿足的方程是一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)；求求函數(shù)表達(dá)式利用連續(xù)或可導(dǎo)的性質(zhì)求出參數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中含有參數(shù)；求求函數(shù)表達(dá)式（）利用分析的方法求出參數(shù)已知一個(gè)函數(shù)的極限值，但是函數(shù)中含有參數(shù) 像上面的這些形式其實(shí)可以寫出很多很多，比如再聯(lián)系到定積分的應(yīng)用，或者二重積分都可以，無非就是一些排列組合的問題，只要同學(xué)們對(duì)個(gè)部分知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)基本概念做到