第一講：反比例函數(shù)的概念和圖像性質(zhì)

1、第一講：反比例函數(shù)概念一、一般地，形如xky（k為常數(shù)，且0k）的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。注意：分母中含有自變量x，且指數(shù)為 1 .比例系數(shù)0k自變量x的取值為一切非零實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)表達(dá)式的三種形式xkykxy1kxy二、求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法對(duì)于解析式xky，中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)的x、y的值即可。例 1 ：下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的有xy5；xy4.0；2xy；2xy；xy；xy5；12xy； 31xy；)0(2aaxay為常數(shù)且；xy52；例 2：如果函數(shù)222kkkxy是反比例函數(shù)，那么k=_，此函數(shù)的解析式是；如果自變量取值為 1 時(shí)，函數(shù)值為 2，次反比例函數(shù)

2、的關(guān)系式是；例 3：計(jì)劃修建鐵路 1200km，那么鋪軌天數(shù) y （天）是每日鋪軌量x的反比例函數(shù)嗎？解：因?yàn)?，所?y 是 x的反比例函數(shù)；例 4：一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)為a米，寬為b米，面積為 8 平方米，那么，列出 a關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式為例 5 ：在某一電路中，保持電壓v（伏特）不變，電流i （安培）與電阻r （歐姆）成反比例，當(dāng)電阻 r=5時(shí)，電流 i=2 安培。 （1）求 i 與 r之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)電流 i=0.5 安培時(shí)，求電阻 r的值。思考：你還能舉出哪些生活中的反比例函數(shù)例子？提升訓(xùn)練：1 . 已知：,21yyy1y與2x成正比例，2y與x成反比例，且當(dāng)3,1 yx；當(dāng)1

3、, 1 yx，求21x時(shí)，y的值？2 .已知 y 與 x-1 成反比例，并且 x-2 時(shí) y7，求： (1) 求 y 和 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 當(dāng) x=8時(shí)，求 y 的值(3)y -2 時(shí)，x 的值。3. 已知 yy1y2，y1與x成正比例， y 與 x 成反比例，且當(dāng) x1 時(shí)，y14，x4 時(shí)，y3求(1) y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 (2) 自變量 x 的取值范圍 (3) 當(dāng) x14時(shí)，y 的值第二講：反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1 .通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)xy2和xy3的函數(shù)圖像2. 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線。有函數(shù)關(guān)系式分析可知：當(dāng)ok時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)

4、，y值隨x的增大而減?。▁越大y越小，x越小y越大） 。當(dāng)ok時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大（x越大y越大，x越小y越?。?。反比例函數(shù)要點(diǎn)：雙曲線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斷開(kāi)的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像是是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是xy。3. 反比例函數(shù)xky（0k）中比例系數(shù)k的幾何意義是：過(guò)雙曲線xky（0k）上任意一點(diǎn)向x軸與y軸作垂線，所得矩形面積為k。典型例題一：確定反比例函數(shù)的解析式例 1 ：已知函數(shù)3422mmxmy)(（1）m是何值時(shí)，它是反比例函數(shù)？（2）它的圖像位于哪些象限？y 值怎樣隨 x 的變化而

5、變化？同類(lèi)訓(xùn)練： 1 . 反比例函數(shù) y21039nnx的圖象每一象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大，則n_2. 如果函數(shù)222kkkxy的圖像是雙曲線，且在第二，四象限內(nèi)，那么的值是多少？例 2 ：如圖， p是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)p 到 x 軸的距離為 3，到 y 軸的距離為 2，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式例 3：當(dāng) a 取何值時(shí)，函數(shù)2aaxy為反比例函數(shù)，且其圖像同一支上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，寫(xiě)出此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式，它的圖像在哪個(gè)象限。典型例題 2：反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)例 1：已知反比例函數(shù)xmy2的圖像過(guò)點(diǎn)（ -3，-12） ，且雙曲線xmy位于第二、四象限，求m的值

6、。例 2：已知反比例函數(shù)xky2的圖像位于第一、三象限，則k 的取值范圍是。例 3：已知反比例函數(shù) （k為常數(shù)）則該反比例函數(shù)位于第象限。典型例題 3：反比例函數(shù)的幾何意義例 1：如圖， p是反比例函數(shù)圖象在第二象限上的一點(diǎn)，且矩形peof 的面積為 8，則反比例函數(shù)的表達(dá)式是 _例 2 ：如圖，若點(diǎn)a在反比例函數(shù)(0)kykx的圖象上， amx軸于點(diǎn)m，amo的面積為 3，則 k例 3 ：如圖所示， a（1x，1y） 、b（2x，2y） 、c （3x，3y）是函數(shù)xy1的圖象在第一象限分支上的三個(gè)點(diǎn)，且1x2x3x，過(guò) a、b、c三點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，得矩形adoh 、beon 、cfop

7、 ，它們的面積分別為 s1、s2、s3，則下列結(jié)論中正確的是（）a. s1s2s3 bs3 s2 s1 c s2 s3s1 d s1=s2=s3 典型例題 4：同一坐標(biāo)系畫(huà)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像例 1：如圖，函數(shù)xkyxky與)1(在同一坐標(biāo)系中，圖象只能是下圖中的（）例 2：已知關(guān)于 x 的函數(shù) y=k（x+1）和 y=-kx（k0）它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖象是（? ） 例 3：函數(shù)xky的圖象經(jīng)過(guò)（ 1，)1，則函數(shù)2kxy的圖象是（）例 4：在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)xky和3kxy的圖像大致是（）典型例題 5：比較函數(shù)值或自變量的大小例 1：在反比例函數(shù)xy1的圖像上有三點(diǎn)1x，1y，2

8、x，2y，3x，3y。若3210 xxx則下列各式正確的是（）a213yyy b123yyy c321yyy d231yyy例 2：若點(diǎn)（ x1，y1） 、 （x2，y2） 、 （x3，y3）都是反比例函數(shù)xy1的圖象上的點(diǎn)，并且x10 x2x3，則下列各式中正確的是（）a、y1y2y3 b、y2y3y1 c、y3y2y1 d 、y1y3y2例 3：已知點(diǎn) a（-3，y1） ，b（-2，y2） ，c（3，y3）都在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，則（） ay1y2y3 by3y2y1 cy3y1y2 dy2y1y32222-2-2-2-2ooooyyyyxxxxabcd例 4：已知雙曲線xky經(jīng)過(guò)

9、點(diǎn)（ 1，3） ，如果 a(11, ba) ，b(22, ba) 在該雙曲線上，且1a2a0，那么1b2b例 5：點(diǎn) a（a,b ） 、b（a1，c）均在函數(shù)xy1的圖象上，若 a0，則與的大小關(guān)系例 6：已知反比例函數(shù))0(kxky的圖像上有兩點(diǎn) a(1x，1y)，b(2x，2y)，21xx，則21yy的值是（）（a）正數(shù)（b）負(fù)數(shù)（c ）非正數(shù)（d）不能確定例 7：設(shè)有反比例函數(shù)xky1， （x1，y1） 、 （x2，y2）為其圖象上兩點(diǎn)，若x10 x2，y1y2，則 k 的取值范圍。動(dòng)態(tài)函數(shù)問(wèn)題：1、如圖，在梯形abcd 中，ad bc ，a=60 ，動(dòng)點(diǎn) p從 a點(diǎn)出發(fā)，以 1cm/s

10、 的速度沿著 abcd的方向不停移動(dòng)，直到點(diǎn)p到達(dá)點(diǎn) d后才停止已知 pad的面積 s（單位： cm2 ）與點(diǎn) p移動(dòng)的時(shí)間（單位： s）的函數(shù)如圖所示，則點(diǎn)p 從開(kāi)始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了秒（結(jié)果保留根號(hào)） 2、（2011?衡陽(yáng)）如圖 1 所示，在矩形 abcd 中，動(dòng)點(diǎn) p從點(diǎn) b出發(fā)，沿 bc 、cd 、da運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) a停止，設(shè)點(diǎn) p運(yùn)動(dòng)的路程為 x，abp的面積為 y，如果 y 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象如圖 2 所示，那么 bc的長(zhǎng)為多少？ abc的面積是3、 （2013?尤溪縣質(zhì)檢）如圖所示，已知正方形abcd 的邊長(zhǎng)為 4，e是 bc邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， ae ef，且 ef 交 dc于點(diǎn) f，設(shè) be=x ，fc=y ，那么當(dāng)點(diǎn)e 從點(diǎn) b 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) c 時(shí)，y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為4、已知?jiǎng)狱c(diǎn) p以每秒 2cm的速度沿圖甲的邊框按從bcdefa的路徑移動(dòng)，相應(yīng)的 abp的面積 s關(guān)于時(shí)間 t 的函數(shù)圖象如圖乙，若ab=6cm ，試回答下列問(wèn)題：（1）圖甲中 bc的長(zhǎng)度是？（2）圖乙中 a所表示的數(shù)是？（3）圖甲中的圖形面積是？（4）圖乙中 b所表示的數(shù)是？