(人教版)二分法求方程的近似解講解

1、9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法；年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法； 1545年意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾的名著年意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾的名著大術(shù)大術(shù)一書(shū)中，把塔爾塔利一書(shū)中，把塔爾塔利亞的解法加以發(fā)展，并記載了費(fèi)拉里的四次方程的一般解法。亞的解法加以發(fā)展，并記載了費(fèi)拉里的四次方程的一般解法。 1824年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒(méi)有根年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒(méi)有根式解，也就是說(shuō)沒(méi)有

2、求根公式。式解，也就是說(shuō)沒(méi)有求根公式。 雖然指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程不能用代數(shù)運(yùn)算求解，但其雖然指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程不能用代數(shù)運(yùn)算求解，但其數(shù)值解法卻隨著現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展得到了廣泛的應(yīng)用，如數(shù)值解法卻隨著現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展得到了廣泛的應(yīng)用，如 、牛頓法、弦截法等。、牛頓法、弦截法等。二分法二分法第一頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。 CCTV2“幸運(yùn)幸運(yùn)52”片段片段 ： 主持人李詠說(shuō)道主持人李詠說(shuō)道:猜一猜這架家用型數(shù)碼相機(jī)的猜一猜這架家用型數(shù)碼相機(jī)的價(jià)格價(jià)格. 觀眾甲觀眾甲:2000!李詠李詠:高了高了! 觀眾乙觀眾乙:1000

3、! 李詠李詠:低了低了! 觀眾丙觀眾丙:1500! 李詠李詠:還是低了還是低了!問(wèn)題問(wèn)題2:你知道這件商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)嗎你知道這件商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)嗎?問(wèn)題問(wèn)題3:若接下來(lái)讓你猜的話若接下來(lái)讓你猜的話,你會(huì)猜多少價(jià)格比較你會(huì)猜多少價(jià)格比較合理呢合理呢?答案答案:1500至至2000之間之間問(wèn)題情境問(wèn)題情境第二頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。 2008 2008年初我國(guó)南方遭遇了年初我國(guó)南方遭遇了5050年不遇的雪災(zāi)，雪災(zāi)發(fā)生后停水?dāng)嚯?，年不遇的雪?zāi)，雪災(zāi)發(fā)生后停水?dāng)嚯?，交通受阻。一日，某市交通受阻。一日，某市A A地到地到B B地的電話線路發(fā)生了故障，這是一條地的電話線路發(fā)生了故障

4、，這是一條10km10km長(zhǎng)的線路，每隔長(zhǎng)的線路，每隔50m50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？段段；段段正正常常，斷斷定定故故障障在在開(kāi)開(kāi)始始查查起起，若若發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)如如圖圖，首首先先從從中中點(diǎn)點(diǎn)BCACC段段；段段正正常常，則則故故障障在在檢檢查查，若若段段中中點(diǎn)點(diǎn)再再到到BDCDDBC檢檢查查段段中中點(diǎn)點(diǎn)再再到到EBD在在。，即即可可迅迅速速找找到到故故障障所所ABCDE出出故故障障。之之間間，就就可可以以快快速速地地查查的的范范圍圍減減小小到到過(guò)過(guò)七七次次以以后后即即可可將將檢檢查查查查的的范范圍圍逐逐漸漸縮縮小小，經(jīng)經(jīng)依依次次下下去去，就就可可

5、以以將將檢檢m10050第三頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。ab)(bf)(af0 x ,cba的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取c)(cf的的零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間所所以以函函數(shù)數(shù))( xf判斷：判斷：)()(cfaf ,0 )()(bfcf , 0 中中；bc , ,dbc的的中中點(diǎn)點(diǎn)同同理理，取取d)(df判斷：判斷：0)()(, 0)()( bfdfdfcf ;,)(中中的的零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間所所以以dcxf依此進(jìn)行下去，漸漸逼近了函數(shù)的零點(diǎn)依此進(jìn)行下去，漸漸逼近了函數(shù)的零點(diǎn)第四頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。 對(duì)于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 的函 數(shù) ，通過(guò)不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使

6、區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做0)()(bfaf)(xfy )(xf第五頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。1.下列函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn),判斷哪些能用二分法求零點(diǎn)，哪些不能？y0 x（2）（1）0 xy0 xy（3）0 xy（4）第六頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。 對(duì)于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 的函 數(shù) ，通過(guò)不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做0)()(bfaf)(xfy )(xf 二分法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)（即零點(diǎn)兩側(cè)某區(qū)域內(nèi)二分法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)（即零點(diǎn)兩側(cè)某區(qū)域內(nèi)函數(shù)值異號(hào)）適用，并且要求函數(shù)在

7、零點(diǎn)附近是連續(xù)不函數(shù)值異號(hào)）適用，并且要求函數(shù)在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的。斷的。二分法的適用條件：二分法的適用條件：第七頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。.1.00(62)ln()(1）精精確確度度的的零零點(diǎn)點(diǎn)、求求函函數(shù)數(shù)例例 xxxf ，計(jì)算得，計(jì)算得的中點(diǎn)的中點(diǎn)取取084. 0)5 . 2(.52, fba解：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間 有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為 ，精確度為，精確度為0.01 3,20 x0)3()5 . 2( ff ;3,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) ,512.0)75.2(5.72.5,32 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)75.2()5

8、.2( ff ;75.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) ,215.0)625.2(25.6275.5,2.2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)625.2()5.2( ff ;625.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) 5 . 035 . 2 25. 075. 25 . 2 125. 0625. 25 . 2第八頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。 ,066.0)5625.2(,5625.2625.2 ,5 .2 f計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,5.2,0)5.2()5625.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,009. 0)53125. 2(3125.525625. 2 , 5 . 2 f，計(jì)計(jì)算算得得

9、的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,53125.2,0)5625.2()53125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,029. 0)546875. 2(46875.525625. 2 ,53125. 2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;546875.2,53125.2,0)53125.2()546875.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 10. 0)5390625. 2(390625.5246875,2.53125.52 f，計(jì)計(jì)算算得得中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5390625.2,53125.20)5390625.2()53125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 01.00078125.053125.25390625.2又又

10、.53125. 2)( xxf零零點(diǎn)點(diǎn)的的近近似似值值為為函函數(shù)數(shù) 0625. 05625. 25 . 2 03125. 05625. 253125. 2 015625. 0546875. 253125. 2第九頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。.1.00(62)ln()(1）精精確確度度的的零零點(diǎn)點(diǎn)、求求函函數(shù)數(shù)例例 xxxf ，計(jì)計(jì)算算得得，的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取084. 0)5 . 2(.52, fba解：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間 有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為有零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為 ，精確度為，精確度為0.01 3,20 x0)3()5 . 2( ff ;3,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn)

11、 ,512.0)75.2(5.72.5,32 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)75.2()5.2( ff ;75.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn) ,215.0)625.2(25.6275.5,2.2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取0)625.2()5.2( ff ;625.2,5.20 x零零點(diǎn)點(diǎn)2424123 5 . 035 . 24 25. 075. 25 . 2 125. 0625. 25 . 2第十頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。 ,066.0)5625.2(,5625.2625.2 ,5 .2 f計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,5.2,0)5.2()5625.2(0

12、xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,009. 0)53125. 2(3125.525625. 2 , 5 . 2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5625.2,53125.2,0)5625.2()53125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) ,029. 0)546875. 2(46875.525625. 2 ,53125. 2 f，計(jì)計(jì)算算得得的的中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;546875.2,53125.2,0)53125.2()546875.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 10. 0)5390625. 2(390625.5246875,2.53125.52 f，計(jì)計(jì)算算得得中中點(diǎn)點(diǎn)取取 ;5390625.2,53125.20)5390

13、625.2()53125.2(0 xff零零點(diǎn)點(diǎn) 01.00078125.053125.25390625.2又又.53125. 2)( xxf零零點(diǎn)點(diǎn)的的近近似似值值為為函函數(shù)數(shù)24242424 0625. 05625. 25 . 2 03125. 05625. 253125. 2 015625. 0546875. 253125. 2第十一頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。計(jì)算 ：)(cf若 ，則 就是函數(shù)的零點(diǎn)； 0)( cfc求區(qū)間 的中點(diǎn) ；c),(ba確定區(qū)間 ,驗(yàn)證 ，給定精確度 ；0)()(bfaf ba,若 ，則令 （此時(shí)零點(diǎn) ）； 0)()(cfafcb ),(0cax 若 ，

14、則令 （此時(shí)零點(diǎn) ）. 0)()(bfcfca ),(0bcx判斷是否達(dá)到精確度 ：即若 ，則得到零點(diǎn)近似值 ；否則重復(fù)步驟24 。 ba)(ba 或已知精確度 ，用二分法求解函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟： 第十二頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。 baxxbax00,，都都有有對(duì)對(duì)于于任任意意的的 的的近近似似值值的的滿滿足足精精確確度度中中任任意意一一個(gè)個(gè)值值都都是是零零點(diǎn)點(diǎn)區(qū)區(qū)間間 0,xba作作為為零零點(diǎn)點(diǎn)近近似似值值?；蚧螯c(diǎn)點(diǎn)為為方方便便，統(tǒng)統(tǒng)一一取取區(qū)區(qū)間間端端)(ba ？為什么？為什么？作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值中的任意一個(gè)中的任意一個(gè)、能不能取、能不能取xba,20)()

15、(,)()(,3bfafbfafba且易于計(jì)算、量的小，并且使，應(yīng)使區(qū)間的長(zhǎng)度盡、在選取區(qū)間的的基基本本原原理理：、用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)1逼逼近近的的思思想想。方方法法函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)存存在在性性的的判判定定,第十三頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看. .同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間. .重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口. .第十四頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。則則下下列列命命題題正正確確的的是是

16、且且的的圖圖像像是是連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的，、若若函函數(shù)數(shù)例例, 0)4()2()1(, 0)0()(2 ffffxf( ) 內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù),40)(D.,20)(.,21)(B.,10)(.xfxfCxfxfAD第十五頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。據(jù)據(jù)如如下下：的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，其其參參考考數(shù)數(shù)、用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)例例43)(4 xxfx003. 0)5625. 1(200. 0)6000. 1( ff029. 0)55625. 1(1333. 0

17、)5875. 1( ff060. 0)5500. 1(067. 0)5750. 1( ff）精精確確度度的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)近近似似值值為為由由函函數(shù)數(shù)1.00_(043)( xxfx0029. 0003. 0)55625. 1()5625. 1( ff解解：01.000625.055625.15625.1 。的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)近近似似值值為為625.5143)( xxfx1.5625第十六頁(yè)，編輯于星期一：七點(diǎn) 三十五分。二分法的優(yōu)劣：優(yōu)點(diǎn)：二分法是求實(shí)根的近似計(jì)算中行之有效的最簡(jiǎn)單的方法，思想方法非常簡(jiǎn)明，它只要求函數(shù)是連續(xù)的，因此它的適用范圍很廣，且便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)；缺點(diǎn)：為了提高近似解的