傳染病數(shù)學(xué)模型實(shí)用教案

1、傳染病的隨機(jī)(su j)感染模型在人群(rnqn)中有病人(帶菌者)和健康人(易感人群(rnqn)，任何兩個人之間的接觸都是隨機(jī)(su j)的。當(dāng)然健康人與非健康人之間的接觸時是否被感染也是隨機(jī)的。這時如何估計平均每天有多少健康人被感染？ 第1頁/共12頁第一頁，共13頁。接觸(jich)概率感染(gnrn)概率總的感染(gnrn)人數(shù)一個健康人被其他的所有病人感染的概率一個健康人被一名指定病人感染的概率第2頁/共12頁第二頁，共13頁。人群(rnqn)中只分為健康人和病人兩種 isn人群中任何兩人的接觸(jich)是相互獨(dú)立的。每人平均每天與 m人接觸。 當(dāng)一健康人與一病人接觸(jich)時

2、，健康人被感染的概率為 模型假設(shè)第3頁/共12頁第三頁，共13頁。接觸(jich)概率p接觸人數(shù)(rn sh)服從二項(xiàng)分布m (1)np感染(gnrn)概率1p1p 一健康人被一指定病人感染的概率1mpn一健康人被感染的概率2p 11(1)ip健康人被感染的人數(shù)也服從二項(xiàng)分布，每天被感染的人數(shù) 也服從二項(xiàng)分布2sp21(1)mipn()minin第4頁/共12頁第四頁，共13頁。離散(lsn)連續(xù)(linx)變化(binhu)是時間的函數(shù)人群中只分為健康人和病人兩種或者易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）.病人數(shù)和健康人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記為 ( )( )1

3、s ti t人群中任何兩人的接觸是相互獨(dú)立的。每個病人平均每天的有效接觸為常數(shù) 第5頁/共12頁第五頁，共13頁。( )s tNdidtiN(0)i0i01( )11(1)ti tei101ln(1)mti12i 變化最大？it 1具有(jyu)免疫性SIR 不具有(jyu)免疫性SIS 0(1)(0)diiiidtii()10101() ,( )1() ,teii tti 第6頁/共12頁第六頁，共13頁。0(1)(0)diiiidtii()10101() ,( )1() ,teii tti 1( )1i tt 1( )0i t 00(1)(0), (0)diiiidtdssidtii ss

4、 0011s sdsdisii0001()lnsisiss 第7頁/共12頁第七頁，共13頁。隨著時間(shjin)的變化, ,s i r如何變化?0011s sdsdisiidridtdssidt r單調(diào)(dndio)遞增s單調(diào)(dndio)遞減?i0( )rrrt則i 0110s1s1sri 01s110dsdis 則i先單調(diào)遞增1si達(dá)到最大值1si減小且趨向于零011ln0sss第8頁/共12頁第八頁，共13頁。0011s sdsdisiidridtdssidt r單調(diào)(dndio)遞增s單調(diào)(dndio)遞減0i01si減小且趨向于零s單調(diào)(dndio)遞減至s穩(wěn)定性理論設(shè)微分方程

5、，方程右邊不顯含自變量 稱之為自治方程。 ( )( )x tf xt第9頁/共12頁第九頁，共13頁。( )0f x 的實(shí)根0,xx顯然(xinrn)也是該方程的解，稱為(chn wi)方程(fngchng)的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)）如果存在某個鄰域，使得該方程的解在鄰域內(nèi)的某個點(diǎn)(0)x出發(fā)，滿足0lim ( ),tx tx則稱平衡點(diǎn) 為0 x穩(wěn)定點(diǎn)判定0 x是否為穩(wěn)定點(diǎn)，主要利用直接法若0()0,fx則0 x為穩(wěn)定點(diǎn)若0()0,fx則0 x非穩(wěn)定點(diǎn)00( )()()x tfxxx0()0( )fxtx tcex第10頁/共12頁第十頁，共13頁。112212(,)(,)xf x xxg x x121

6、20(,)0(,)f x xg x x001122,xxxx的兩個實(shí)根稱為(chn wi)該微分方程的平衡點(diǎn)001122lim( ),lim( )ttx txx tx 則稱該點(diǎn)為穩(wěn)定(wndng)點(diǎn),f g是非線性，這時應(yīng)用泰勒公式，只保留其線性主部，而這時的新方程和原來(yunli)的方程有相同的穩(wěn)定性。 當(dāng)特征根為負(fù)數(shù)或者有負(fù)實(shí)部時，該點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)，否則該點(diǎn)為非穩(wěn)定點(diǎn)。第11頁/共12頁第十一頁，共13頁。感謝您的觀看(gunkn)！第12頁/共12頁第十二頁，共13頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)傳染病的隨機(jī)感染模型。在人群中有病人(帶菌者)和健康人(易感人群)，。任何兩個人之間的接觸(jich)都是隨機(jī)的。與非健康人之間的接觸(jich)時是否被感染也是隨機(jī)的。一個健康人被其他的所有病人感染的概率。人群中任何兩人的接觸(jich)是相互獨(dú)立的。當(dāng)一健康人與一病人接