根據(jù)影子判斷地理位置

1、太陽影子定位模型建立摘要 本文討論求解了在直桿影子隨時間變化過程中，在知道日期、桿位置、影子坐標(biāo)、時間等參數(shù)條件中的某幾個前提下，設(shè)計了確定型模型進行求解。 分析太陽方位與直桿影子關(guān)系，首先，將地球自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)視為地球不動太陽動，利用立體幾何知識得出太陽高度角與影子長度關(guān)系。問題一的關(guān)鍵在于太陽高度角與日期、竿位置、時間參數(shù)的關(guān)系。問題二中我們將立體平面化，把太陽與地球的運動關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面上的角度關(guān)系，使模型簡明直接。在模型求解時，我們把各解看為離散型隨機變量，對解進行權(quán)重處理，最后求得較精準(zhǔn)的解。問題三，先結(jié)合前兩題的模型預(yù)處理，再利用matlab據(jù)最小二乘法原理，來對目標(biāo)函數(shù)進行曲線擬合求解。

2、對問題四中視頻進行分段截取照片處理，用photoshop軟件測量影子長度與時間關(guān)系，再結(jié)合前幾題模型與求解方法，可求得結(jié)果。問題被函數(shù)化，模型簡明直接，提高了確定性。 關(guān)鍵詞：太陽高度角，立體平面化，權(quán)重處理，matlab曲線擬合 問題重述 確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。 通過影子長度變化建立數(shù)學(xué)模型，分析影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用建立的模型畫出某時間段某地某固定直桿的太陽影子長度的變化曲線。 根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的

3、地點。并利用模型對附件1的影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)進行求解，求出若干個可能的地點。根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點和日期。將模型分別應(yīng)用于附件的影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，求出若干個可能的地點與日期。根據(jù)一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，直桿的高度為2米。建立確定視頻拍攝地點的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個可能的拍攝地點。日期未知下再嘗試求解。問題分析 根據(jù)影子變化來確定時間地點和時間，我們把地球自轉(zhuǎn)看成太陽繞地球轉(zhuǎn)，可以轉(zhuǎn)化為太陽方位與地球各地點和時間的關(guān)系問題。 對于問題一：可以把影子長度變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為光線與水平面夾角的變化規(guī)律。我們根據(jù)地球自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)規(guī)律

4、和立體幾何知識建立模型，且該模型得能體現(xiàn)光線和地面的夾角與日期時間、地理位置的關(guān)系，最后通過matlab畫出影子長度隨時間的變化曲線。對于問題二：問題二相比問題一缺少一個已知量，無法通過問題一中的模型來求解，我們把太陽與直桿影子的關(guān)系轉(zhuǎn)化為了平面角度關(guān)系，進而簡便有效地求出桿的位置。對于問題三：已知量較前一問更少，故我們先結(jié)合問題一和二建立的模型，再應(yīng)用matlab進行曲線擬合求得參數(shù)解。 對于問題四：通過提取視頻特定幀，測量出桿的影子隨時間變化的實際長度數(shù)據(jù)，與問題三類似，結(jié)合模型用matlab曲線擬合求解即可，或者取多組數(shù)據(jù)用lingo軟件求解方程組。模型假設(shè)1. 假設(shè)地球公轉(zhuǎn)軌跡近似為圓

5、。2. 忽略太陽光線進入大氣層時的折射誤差。3. 假設(shè)地面是水平的且直桿垂直地面。4. 忽略太陽直射點緯度一天內(nèi)的變化。5. 假設(shè)所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可靠。 定義和符號說明H：桿長 L：桿的影長n：為從1月1號開始的天數(shù)N：為當(dāng)?shù)亟?jīng)度：為當(dāng)?shù)鼐暥萾：時間（小時）：時角：區(qū)間均值：解出現(xiàn)在某區(qū)間的頻率模型建立與求解 問題一：在水平地面上，垂直豎桿與在地面上的影長是一個直角三角形的兩條直角邊，而太陽高度角是桿長H的對角，運用正切公式可得： 這樣就把影長問題轉(zhuǎn)化成了高度角問題。 一、構(gòu)造高度角與各參數(shù)的關(guān)系圖: 二、高度角與各參數(shù)關(guān)系模型構(gòu)建 影響高度角的參數(shù)有太陽時角、赤緯角、桿的位置（經(jīng)度、緯度）、時間

6、。 時角 ，地球自轉(zhuǎn)每小時15度，北京時間是以東經(jīng)120度的為準(zhǔn)的，故考慮時差問題，可得:，赤緯角是地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角，也就是太陽直射點的緯度。是因為地球公轉(zhuǎn)形成的，因為地軸方向不變，所以赤緯角隨地球在運行軌道上的不同點具有不同的數(shù)值。赤緯角以年為周期，在南北緯23.45度范圍內(nèi)移動，考慮其一年內(nèi)運動規(guī)律，得赤緯角：， 結(jié)合當(dāng)?shù)鼐暥?，得太陽高度角與各參數(shù)間的關(guān)系模型（推算過程請見附件）：，影子長度與各參數(shù)關(guān)系模型： 聯(lián)合公式可得：3、 根據(jù)模型求解： 將問題一中的地點位置，日期，桿長代入式中，用matlab軟件畫出了直桿影子從9：00到15：00的長度變化曲線。（代碼

7、請見附件）。 影長曲線與時間的關(guān)系圖如下圖所示： 問題二：根據(jù)影子頂點數(shù)據(jù)來求地點，由于直桿高度無法確定，所以很難根據(jù)影子長度來求太陽高度角問題，于是我們利用頂點坐標(biāo)的軌跡來解決。利用matlab將題中給出桿的影子頂點運動軌跡擬合了出來，如圖所示，其中坐標(biāo)原點為桿的位置。可知影子發(fā)生了角度變化，以此來確定影子頂點與太陽的運動關(guān)系。1、 立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題 我們通過將太陽與地面直桿的立體方位關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系來建立模型，把地球的自轉(zhuǎn)看成太陽在直射點軌跡上方繞地球轉(zhuǎn)，并且短時間內(nèi)可近似看作太陽是作由東向西的直線運動。并且存在兩個關(guān)于直射點線（圖中太陽運動軌跡）對稱的位置，它們的影子變化規(guī)律也是

8、對稱的。以下模型建立是視y軸指向北，x軸指向東（若y軸以南為正方向，x軸以東為正方向，模型建立同理）。 如上圖所示，此圖可看作從太陽方向往地平面方向看去的俯視圖，當(dāng)太陽從A點運動到B點時，桿影頂點從a移動到b，O點為桿的位置。由于太陽、桿頂、影子頂點永遠在一條直線上，據(jù)對頂角相等原理，可知太陽在時間段內(nèi)移動過的經(jīng)度差等于影子前后轉(zhuǎn)動的角度差。從而可以根據(jù)角度關(guān)系來確定桿位置。2、 模型建立 設(shè)北京時間t1t2時刻太陽從A到B，可知太陽轉(zhuǎn)過的經(jīng)度為15（t2-t1）， 由于北京時間12點時太陽所在的經(jīng)度為東經(jīng)120度，所以t1時刻太陽所在A點經(jīng)度為120-15（t1-12）。 太陽運動軌跡為直射

9、點軌跡，根據(jù)問題一中的公式:可知太陽運動路線的緯度。 影子從a點(x1,y1)到b點(x2,y2) ，可知，。 假設(shè)經(jīng)度差為N，緯度差為， 由三角關(guān)系解方程組： ， 又因桿位置緯度+, 經(jīng)度N=15（t2-t1）+, 解得桿位置與參數(shù)間的關(guān)系模型： 故若一直影子頂點坐標(biāo)隨時間變化的數(shù)據(jù)和日期，則可通過模型求出桿的位置。3、 模型求解 我們把題中給出的影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)和日期代入模型進行求解，每相鄰兩組坐標(biāo)數(shù)據(jù)求一次解，利用matlab軟件求得各組解的坐標(biāo)分布圖，如圖所示： 由于各解的分布為離散型，所以我們對解進行權(quán)重處理。我們把各解的坐標(biāo)看為離散型隨機變量，利用刻畫離散型隨機變量概率分布的方法來

10、處理結(jié)果。把解出現(xiàn)在劃分的區(qū)間的個數(shù)作為該區(qū)間的頻數(shù)，頻率作為所占的權(quán)重（在某區(qū)間出現(xiàn)的頻率越大，則區(qū)間所占的權(quán)重越大），為該區(qū)間的均值，最后結(jié)果為 對經(jīng)度處理： 區(qū)間 頻數(shù) 頻率 (110,111 1 0.05 (111,112 1 0.05 (112,113 3 0.15 (113,114 3 0.15 (114,115 3 0.15 (115,116 9 0.45最后計算得經(jīng)度=114.15同理可求得緯度=27.27，此處不贅述。經(jīng)查詢，經(jīng)緯度為114.15和27.27的地點位于江西吉安市安?？h。 若影子頂點坐標(biāo)y軸是以南為正方向，x軸以東為正方向。則該桿位置與上述求得的位置關(guān)于直射點軌

11、跡對稱，計算得桿位置為 經(jīng)度N=114.15 緯度=6.25。位于印度尼西亞。 四、模型檢驗 將問題中的問題三：問題三中已知的參數(shù)只有影子定點坐標(biāo)和時間，所以無法利用問題二中的模型來求桿的具體位置。我們聯(lián)合問題一和問題二建立的模型（以下分別稱為模型一、模型二），然后用matlab對坐標(biāo)數(shù)據(jù)進行曲線擬合，得出影長與時間的關(guān)系式，從而確定各參數(shù)值。1、 模型結(jié)合 模型一： 模型二：因為已經(jīng)知道影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，故利用模型二先進行預(yù)處理，可以得到桿位置經(jīng)度N，由于日期未知，故模型二無法確定緯度。把求得的經(jīng)度代入模型一，可整理成函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合以下公式 輸入影長與時間關(guān)系的數(shù)據(jù)利用matlab，據(jù)最小

12、二乘法原理來進行曲線擬合，并且關(guān)系式為給定的模型一，根據(jù)擬合結(jié)果確定參數(shù)、。 則桿子位置的經(jīng)緯度和日期就可以求得。 2、 模型求解 (一)附件二求解（1)、利用模型二求經(jīng)度 求題方法于問題二中已說明，此處不詳解。將題給的附件二中坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入模型二求解，整理得經(jīng)度概率分布表：區(qū)間頻數(shù) 頻率(80,853 0.15(85,906 0.3(90,954 0.2(95,1005 0.25(100,1052 0.1計算得經(jīng)度N=91.75度。（2）利用模型一擬合曲線 首先，把坐標(biāo)數(shù)據(jù)處理成影長隨時間的關(guān)系，如下所示，為題中給出的附件2影長與時間關(guān)系數(shù)據(jù)表格： 時間/h12.6813.6814.6815.

13、6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.68影長/m13.6814.6815.6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.6823.68時間/h14.6815.6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.6823.68影長/m15.6816.6817.6818.6819.6820.6821.6822.6823.6824.68 把求得的經(jīng)度N=91.75影長與時間的關(guān)系式L=，用matlab軟件擬合曲線，進行參數(shù)估計，擬合結(jié)果如下圖， 擬合結(jié)果得出了參數(shù)緯度=5.326度、天數(shù)n=357，從而就確定了桿位置為經(jīng)度N

14、=91.75,緯度=5.326。日期為12月22日。 與問題二同理，赤緯角=21.8，存在關(guān)于太陽直射點軌跡的對稱點 =38.3，N=91.75。（二）附件三求解 附件三數(shù)據(jù)求解過程與附件二同理，此處不贅述。（詳情見附錄）求解結(jié)果為 桿位置經(jīng)度N=115.8，緯度=5.6 日期為12月20日。問題四 首先，根據(jù)視頻中可得在40分鐘里直桿在太陽下影長變化規(guī)律。每隔兩分鐘截一張圖可得20張圖片。利用photoshop軟件中的度量工具可得圖片中直桿的高度與影子的長度可得一組數(shù)據(jù)。由于直桿的高度為2米，可得實際影長的長度數(shù)據(jù)如下： 時間/h8:558:578:599:019:039:059:079:0

15、99:119:13影長/m2.402.382.352.322.292.272.242.202.182.15時間/h9:159:179:199:219:239:259:279:299:319:33影長/m2.122.102.072.052.011.991.971.941.911.89 （1） 日期已知，為7月13日，將天數(shù)n代入，用matlab軟件對影長與時間的關(guān)系式進行曲線擬合，確定關(guān)系式 得曲線圖： 得參數(shù)經(jīng)度N=-18.23度 緯度=21.86度 （2） 日期不確定，則有三個不確定的參數(shù)，三個未知量可用三個方程組求得解。用lingo軟件輸入三組數(shù)據(jù)，即可確定三個參數(shù)。 誤差分析：1、不同時

16、刻大氣對光線的折射率不同；2、地球表面不是完全水平面；3、量取視頻中影子長度時由于影子是斜的和視角問題，所量值非其實際值；4、數(shù)據(jù)計算取小數(shù)保留；5、曲線擬合存在誤差；模型評價 模型優(yōu)點：1、 簡潔性：模型原理簡易，不需要太復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，易為大眾所了解掌握。2、 確定性：模型基本都是由公式組成，有較強的嚴(yán)謹(jǐn)性，計算出的都是確定的解。3、 可靠性，模型建立在堅實可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上。 模型局限性： 1. 計算公式過于繁瑣，必要時得依賴計算機求解。2. 模型只是建立的假設(shè)條件只在短時間內(nèi)成立。3. 應(yīng)用曲線擬合只是大體上估計，存在較大偏差，只能擬合出大概解。 模型改進與推廣： 模型建立條件是沒有考慮

17、大氣層的折射問題，這可能在一定程度上影響模型準(zhǔn)確度。所以應(yīng)該在這方面改進，使其更接近于現(xiàn)實。參考文獻：【1】方榮生，太陽能應(yīng)用技術(shù)，北京：中國農(nóng)業(yè)機械出版社，1985?！?】王松桂，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，北京：科學(xué)出版社，2011?！?】楊長青. 正午太陽高度角模型”的設(shè)計、制作與運用. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院 2011-08-01 ?！?】 王國安. 太陽高度角和日出日落時刻太陽方位角一年變化范圍的計算. 河南省氣候中心 2007-09-15?！?】劉衛(wèi)國，MATLAB程序設(shè)計教程，北京：中國水利水電出版社，2005。附錄 問題一相關(guān)代碼：b=9:0.05:15;c=15*(b-12)-(1

18、20-116.39139);a=23.45*sin(2*3.1415926*(284+295)/365);i=39.907222;t=sind(i)*sind(a)+cosd(i)*cosd(a)*cosd(c);x=asind(t);d=3./tand(x);plot(b,d)問題二相關(guān)代碼： x=1.0365 1.0699 1.1038 1.1383 1.1732 1.2087 1.2448 1.2815 1.3189 1.3568 1.3955 1.4349 1.4751 1.516 1.5577 1.6003 1.6438 1.6882 1.7337 1.7801 1.8277;y=0

19、.4973 0.5029 0.5085 0.5142 0.5198 0.5255 0.5311 0.5368 0.5426 0.5483 0.5541 0.5598 0.5657 0.5715 0.5774 0.5833 0.5892 0.5952 0.6013 0.6074 0.6135;t=14.7 14.75 14.8 14.85 14.9 14.95 15 15.05 15.1 15.15 15.2 15.25 15.3 15.35 15.4 15.45 15.5 15.55 15.6 15.65 15.7;for i=1:20e(i)=120-(t(i)-12)*15+15*(t(2

20、)-t(1)*x(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);n(i)=10.5109+15*(t(2)-t(1)*y(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);endscatter(e,n,'r*')figurescatter(n,e,'b*')桿位置離散圖： 區(qū)間 頻數(shù)頻率 (110,11110.05 (111,11210.05 (112,11330.15 (113,11430.15 (114,11530.15 (115,11690.45問題三中附件二桿位置離散圖：區(qū)間頻數(shù) 頻率(80,853 0.15(

21、85,906 0.3(90,954 0.2(95,1005 0.25(100,1052 0.1相關(guān)代碼：x=1.2352 1.2081 1.18131.15461.12811.10181.07561.04961.02370.9980.97240.9470.92170.89650.87140.84640.82150.79670.77190.74730.7227;y=0.173 0.1890.20480.22030.23560.25050.26530.27980.2940.3080.32180.33540.34880.36190.37480.38760.40010.41240.42460.4366

22、0.4484;t=12.6833333312.7333333312.7833333312.8333333312.8833333312.9333333312.9833333313.0333333313.0833333313.1333333313.1833333313.2333333313.2833333313.3333333313.3833333313.4333333313.4833333313.5333333313.5833333313.6333333313.68333333;for i=1:20e(i)=120-(t(i)-12)*15-15*(t(2)-t(1)-15*(t(2)-t(1)

23、*x(i+1)*y(i)/(y(i+1)*x(i)-x(i+1)*y(i);n(i)=15*(t(2)-t(1)*y(i)*y(i+1)/(y(i+1)*x(i)-x(i+1)*y(i);endstem(e,n,'r*')figurestem(n,e,'b*')y=1.2472562051.222794591.1989214861.1754289641.1524395731.129917471.107835481.0862542061.0650810721.0444462651.0242641261.0046403140.9854909080.966790494

24、0.9485847350.9309278810.913751750.8971090510.8809737620.8654922590.850504468;x=12.6833333312.7333333312.7833333312.8333333312.8833333312.9333333312.9833333313.0333333313.0833333313.1333333313.1833333313.2333333313.2833333313.3333333313.3833333313.4333333313.4833333313.5333333313.5833333313.633333331

25、3.68333333;y=h*(1-(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+91.75)2)(1/2)/(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+91.75)附件三中位置離散圖：附件三相關(guān)代碼：x=1.1637 1.2

26、2121.27911.33731.3961.45521.51481.5751.63571.6971.75891.82151.88481.94882.01362.07922.14572.21312.28152.35082.4213;y=3.3363.32993.32423.31883.31373.30913.30483.30073.29713.29373.29073.28813.28593.2843.28243.28133.28053.28013.28013.28043.2812;t=13.1513.213.2513.313.3513.413.4513.513.5513.613.6513.713

27、.7513.813.8513.913.951414.0514.114.15;for i=1:20e(i)=120-(t(i)-12)*15+15*(t(2)-t(1)*x(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);n(i)=15*(t(2)-t(1)*y(i)*y(i+1)/(y(i)*x(i+1)-x(i)*y(i+1);endstem(e,n,'k*')figurestem(n,e,'k*')y=3.5331421843.5467680293.5617976433.5781007153.5957507833.614934283.6

28、354259833.6572182723.6805411153.7051678363.7312780253.7589179113.7880878883.8187010153.8508096193.884585223.9199118283.9568759923.995534794.0357508354.077863059;x=13.1513.213.2513.313.3513.413.4513.513.5513.613.6513.713.7513.813.8513.913.951414.0514.114.15;y=h*(1-(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*

29、(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+115.8)2)(1/2)/(sind(a)*sind(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)+cosd(a)*cosd(23.45*sin(2*3.1415926*(284+n)/365)*cosd(15*(x-12)-120+115.8)問題四相關(guān)代碼：x=8.9166666678.958.9833333339.0166666679.059.0833333339.1166666679.159.1833333339.2166666679.259.2833333339.3166666679.359.3833333339.41