2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學(課標全國卷)文 (2)

1、1 / 9 12 課標全國課標全國(文文) 1.(2012 課標全國,文 1)已知集合 a=x|x2-x-20,b=x|-1x1,則( ). a.ab b.ba c.a=b d.ab= b 由題意可得,a=x|-1x2, 而 b=x|-1xb0)的左、右焦點,p為直線 x=32a上一點,f2pf1是底角為 30的等腰三角形,則 e 的離心率為( ). a.12 b.23 c.34 d.45 c 設直線 x=32a與 x 軸交于點 m,則pf2m=60, 在 rtpf2m中,pf2=f1f2=2c,f2m=32a-c,故 cos 60=22mfpf=3ac22c=12, 解得ca=34,故離心率

2、 e=34. 5.(2012 課標全國,文 5)已知正三角形 abc的頂點 a(1,1),b(1,3),頂點 c在第一象限,若點(x,y)在abc內部,則 z=-x+y 的取值范圍是( ). a.(1-3,2) b.(0,2) c.(3-1,2) d.(0,1+3) 2 / 9 a 由頂點 c 在第一象限且與 a,b 構成正三角形可求得點 c 坐標為(1+3,2),將目標函數化為斜截式為 y=x+z,結合圖形可知當 y=x+z 過點 c 時 z 取到最小值,此時 zmin=1-3,當 y=x+z過點 b時 z取到最大值,此時 zmax=2,綜合可知 z 的取值范圍為(1-3,2). 6.(20

3、12 課標全國,文 6)如果執(zhí)行下邊的程序框圖,輸入正整數 n(n2)和實數 a1,a2,an,輸出 a,b,則( ). a.a+b為 a1,a2,an的和 b.2ab+為 a1,a2,an的算術平均數 c.a 和 b分別是 a1,a2,an中最大的數和最小的數 d.a和 b分別是 a1,a2,an中最小的數和最大的數 c 隨著 k 的取值不同,x 可以取遍實數 a1,a2,an,依次與 a,b 比較,a 始終取較大的那個數,b 始終取較小的那個數,直到比較完為止,故最終輸出的 a,b 分別是這 n 個數中的最大數與最小數,故選 c. 7.(2012 課標全國,文 7)如圖,網格紙上小正方形的

4、邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為( ). a.6 b.9 c.12 d.18 3 / 9 b 由三視圖可推知,幾何體的直觀圖如右圖所示,可知 ab=6,cd=3,pc=3,cd垂直平分 ab,且 pc平面 acb,故所求幾何體的體積為1316 32 3=9. 8.(2012 課標全國,文 8)平面 截球 o的球面所得圓的半徑為 1,球心 o 到平面 的距離為2,則此球的體積為( ). a.6 b.43 c.46 d.63 b 設球 o的半徑為 r,則 r=221( 2)+=3,故 v球=43r3=43. 9.(2012 課標全國,文 9)已知 0,0,直線 x=4和

5、 x=54是函數 f(x)=sin(x+)圖像的兩條相鄰的對稱軸,則 =( ). a.4 b.3 c.2 d.34 a 由題意可知函數 f(x)的周期 t=2544=2,故 =1, f(x)=sin(x+).令 x+=k+2, 將 x=4代入可得 =k+4, 0,=4. 10.(2012 課標全國,文 10)等軸雙曲線 c的中心在原點,焦點在 x軸上,c與拋物線 y2=16x 的準線交于a,b 兩點,|ab|=43,則 c的實軸長為( ). a.2 b.22 c.4 d.8 c 設雙曲線的方程為22xa-22ya=1,拋物線的準線為 x=-4,且|ab|=43, 故可得 a(-4,23),b(

6、-4,-23), 將點 a的坐標代入雙曲線方程得 a2=4,故 a=2,故實軸長為 4. 11.(2012 課標全國,文 11)當 0 x12時,4xlogax,則 a的取值范圍是( ). a.20,2 b.2,12 c.(1,2) d.(2,2) b 由 04x0,可得 0a1, 由124=loga12可得 a=22. 4 / 9 令 f(x)=4x,g(x)=logax,若 4xlogax, 則說明當 022. 綜上可得 a 的取值范圍是2,12. 12.(2012 課標全國,文 12)數列an滿足 an+1+(-1)nan=2n-1,則an的前 60 項和為( ). a.3 690 b.

7、3 660 c.1 845 d.1 830 d an+1+(-1)nan=2n-1, a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=115-a1, a1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60) =10+26+42+234=15 (10234)2+=1 830. 13.(2012 課標全國,文 13)曲線 y=x(3ln x+1)在點(1

8、,1)處的切線方程為 . 4x-y-3=0 因為 y=3ln x+4,故 y|x=1=4,所以曲線在點(1,1)處的切線方程為 y-1=4(x-1),化為一般式方程為 4x-y-3=0. 14.(2012 課標全國,文 14)等比數列an的前 n項和為 sn,若 s3+3s2=0,則公比 q= . -2 由 s3=-3s2,可得 a1+a2+a3=-3(a1+a2), 即 a1(1+q+q2)=-3a1(1+q), 化簡整理得 q2+4q+4=0,解得 q=-2. 15.(2012 課標全國,文 15)已知向量 a,b 夾角為 45,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|= . 32 a,

9、b的夾角為 45,|a|=1, a b=|a| |b|cos 45=22|b|, |2a-b|2=4-422|b|+|b|2=10, |b|=32. 16.(2012 課標全國,文 16)設函數 f(x)=22(1)sin1xxx+的最大值為 m,最小值為 m,則m+m= . 2 f(x)=22(1)sin1xxx+=1+22sin1xxx+, 5 / 9 設 g(x)=22sin1xxx+,則 g(-x)=-g(x), g(x)是奇函數. 由奇函數圖象的對稱性知 g(x)max+g(x)min=0, m+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2. 1

10、7.(2012 課標全國,文 17)已知 a,b,c 分別為abc三個內角 a,b,c的對邊,c=3asin c-ccos a. (1)求 a; (2)若 a=2,abc 的面積為3,求 b,c. 解:(1)由 c=3asin c-ccos a 及正弦定理得 3sin asin c-cos asin c-sin c=0. 由于 sin c0,所以 sin6a=12. 又 0a,故 a=3. (2)abc 的面積 s=12bcsin a=3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos a,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 18.(2012 課標全國,文 18)某花店每天以每枝 5

11、元的價格從農場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝 10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購進 17枝玫瑰花,求當天的利潤 y(單位:元)關于當天需求量 n(單位:枝,nn)的函數解析式; (2)花店記錄了 100 天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 頻數 10 20 16 16 15 13 10 假設花店在這 100 天內每天購進 17枝玫瑰花,求這 100 天的日利潤(單位:元)的平均數; 若花店一天購進 17枝玫瑰花,以 100 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當天的利潤不少于

12、 75 元的概率. 解:(1)當日需求量 n17時,利潤 y=85. 當日需求量 n0)的焦點為 f,準線為 l.a為 c 上一點,已知以 f 為圓心,fa為半徑的圓 f 交 l于 b,d兩點. (1)若bfd=90,abd 的面積為 42,求 p 的值及圓 f 的方程; (2)若 a,b,f 三點在同一直線 m 上,直線 n與 m平行,且 n與 c 只有一個公共點,求坐標原點到 m,n 距離的比值. 解:(1)由已知可得bfd為等腰直角三角形,|bd|=2p,圓 f 的半徑|fa|=2p. 由拋物線定義可知 a到 l的距離 d=|fa|=2p. 因為abd 的面積為 42, 所以12|bd|

13、 d=42, 7 / 9 即12 2p2p=42, 解得 p=-2(舍去),p=2. 所以 f(0,1),圓 f 的方程為 x2+(y-1)2=8. (2)因為 a,b,f三點在同一直線 m上, 所以 ab 為圓 f 的直徑,adb=90. 由拋物線定義知|ad|=|fa|=12|ab|, 所以abd=30,m的斜率為33或-33. 當 m 的斜率為33時,由已知可設 n:y=33x+b,代入 x2=2py得 x2-2 33px-2pb=0. 由于 n 與 c只有一個公共點,故 =43p2+8pb=0. 解得 b=-6p. 因為 m的截距 b1=2p,1|bb=3,所以坐標原點到 m,n距離的

14、比值為 3. 當 m 的斜率為-33時,由圖形對稱性可知,坐標原點到 m,n 距離的比值為 3. 21.(2012 課標全國,文 21)設函數 f(x)=ex-ax-2. (1)求 f(x)的單調區(qū)間; (2)若 a=1,k為整數,且當 x0 時,(x-k)f(x)+x+10,求 k 的最大值. 解:(1)f(x)的定義域為(-,+),f(x)=ex-a. 若 a0,則 f(x)0,所以 f(x)在(-,+)單調遞增. 若 a0,則當 x(-,ln a)時,f(x)0, 所以,f(x)在(-,ln a)單調遞減,在(ln a,+)單調遞增. (2)由于 a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=

15、(x-k)(ex-1)+x+1. 故當 x0 時,(x-k)f(x)+x+10 等價于 k0). 令 g(x)=1e1xx+x, 則 g(x)=2e1(e1)xxx+1=2e (ex2)(e1)xxx. 由(1)知,函數 h(x)=ex-x-2 在(0,+)單調遞增. 而 h(1)0, 所以 h(x)在(0,+)存在唯一的零點. 8 / 9 故 g(x)在(0,+)存在唯一的零點. 設此零點為 ,則 (1,2). 當 x(0,)時,g(x)0. 所以 g(x)在(0,+)的最小值為 g(). 又由 g()=0,可得 e=+2,所以 g()=+1(2,3). 由于式等價于 kg(),故整數 k

16、的最大值為 2. 22.(2012 課標全國,文 22)選修 41:幾何證明選講 如圖,d,e 分別為abc邊 ab,ac 的中點,直線 de交abc 的外接圓于 f,g兩點.若 cfab,證明: (1)cd=bc; (2)bcdgbd. 證明:(1)因為 d,e 分別為 ab,ac的中點, 所以 debc. 又已知 cfab,故四邊形 bcfd 是平行四邊形, 所以 cf=bd=ad. 而 cfad,連結 af, 所以 adcf是平行四邊形,故 cd=af. 因為 cfab,所以 bc=af,故 cd=bc. (2)因為 fgbc,故 gb=cf. 由(1)可知 bd=cf,所以 gb=bd

17、. 而dgb=efc=dbc,故bcdgbd. 23.(2012 課標全國,文 23)選修 44:坐標系與參數方程 已知曲線 c1的參數方程是2cos ,3sinxy=( 為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線 c2的極坐標方程是 =2.正方形 abcd的頂點都在 c2上,且 a,b,c,d 依逆時針次序排列,點 a的極坐標為2,3. (1)求點 a,b,c,d的直角坐標; (2)設 p 為 c1上任意一點,求|pa|2+|pb|2+|pc|2+|pd|2的取值范圍. 9 / 9 解:(1)由已知可得 a2cos,2sin33, b2cos,2sin3232+, c2cos ,2sin33+, d332cos,2sin3232+, 即 a(1,3),b(-3,1),c(-1,-3),d(3,-1). (2)設 p(2cos ,3sin ),令 s=|pa|2+|pb|2+|pc|2+|pd|2, 則 s=16cos2+36sin2+16=32+20sin2. 因為 0sin21,所以 s 的取值范圍是32,52. 24.(2012 課標全國,文 24)選修 45:不等式選講 已知函數 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)當 a=-3時,求不等式 f(x)3的解集; (2)若 f(x)|