2019年全國卷Ⅲ理數(shù)高考試題文檔版（含答案）

1、1 / 13 絕密絕密啟用前啟用前 2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1已知集合2 1,0,1,21abx x= =，則ab = a1,0,1 b0,1 c1,1 d0,1,2 2若

2、(1 i)2iz+=，則 z= a1i b1+i c1 i d1+i 3西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了 100 學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有 90 位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 80 位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 60 位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為 a0.5 b0.6 c0.7 d0.8 4（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中 x3的系數(shù)為 2 / 13 a12 b16 c20 d24 5已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前 4項(xiàng)為和為 15，且

3、 a5=3a3+4a1，則 a3= a 16 b 8 c4 d 2 6已知曲線elnxyaxx=+在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為 y=2x+b，則 ae1ab= ， ba=e，b=1 c1e1ab=， d1ea=，1b = 7函數(shù)3222xxxy=+在6,6的圖象大致為 a b c d 8如圖，點(diǎn) n 為正方形 abcd 的中心，ecd 為正三角形，平面 ecd平面 abcd，m 是線段 ed 的中點(diǎn)，則 3 / 13 abm=en，且直線 bm、en是相交直線 bbmen，且直線 bm，en 是相交直線 cbm=en，且直線 bm、en 是異面直線 dbmen，且直線 bm，en 是異面直線

4、 9執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的為 0.01，則輸出s的值等于 a.4122 b.5122 c.6122 d.7122 10雙曲線 c：2242xy=1的右焦點(diǎn)為 f，點(diǎn) p在 c的一條漸進(jìn)線上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若=popf，則pfo 的面積為 a3 24 b3 22 c2 2 d3 2 11設(shè)( )f x是定義域?yàn)?r 的偶函數(shù)，且在()0,單調(diào)遞減，則 af（log314）f（322）f（232） bf（log314）f（232）f（322） cf（322）f（232）f（log314） 4 / 13 df（232）f（322）f（log314） 12設(shè)函數(shù)( )f x=sin（5x+）(

5、0)，已知( )f x在0,2有且僅有 5 個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論： ( )f x在（0,2）有且僅有 3 個極大值點(diǎn) ( )f x在（0,2）有且僅有 2 個極小值點(diǎn) ( )f x在（0,10）單調(diào)遞增 的取值范圍是12 295 10，) 其中所有正確結(jié)論的編號是 a b c d 二、填空題：本題共 4小題，每小題 5分，共 20 分。 13已知 a，b為單位向量，且 ab=0，若25=cab，則cos,=a c_. 14記 sn為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，12103aaa= ，則105ss=_. 15設(shè)12ff，為橢圓 c:22+13620 xy=的兩個焦點(diǎn)，m 為 c 上一點(diǎn)且在第一象限

6、.若12mff為等腰三角形，則 m的坐標(biāo)為_. 16學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用 3d打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體1111abcdabc d挖去四棱錐 oefgh 后所得幾何體，其中 o 為長方體的中心，e，f，g，h 分別為所在棱的中點(diǎn)，16cm4cmab= bc=, aa =，3d 打印所用原料密度為 0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_. 5 / 13 三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共 60分。 17（12分）

7、 為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將 200 只小鼠隨機(jī)分成 a、b 兩組，每組 100 只，其中 a 組小鼠給服甲離子溶液，b 組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記 c 為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”，根據(jù)直方圖得到 p（c）的估計(jì)值為 0.70 （1）求乙離子殘留百分比直方圖中 a，b 的值； （2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表） 18（12分） abc 的內(nèi)角 a、b、c的對

8、邊分別為 a、b、c，已知sinsin2acaba+= 6 / 13 （1）求 b； （2）若abc為銳角三角形，且 c=1，求abc面積的取值范圍 19（12分） 圖 1 是由矩形 adeb、rtabc 和菱形 bfgc 組成的一個平面圖形，其中 ab=1，be=bf=2，fbc=60 ，將其沿 ab，bc折起使得 be 與 bf 重合，連結(jié) dg，如圖 2. （1）證明：圖 2中的 a，c，g，d四點(diǎn)共面，且平面 abc平面 bcge； （2）求圖 2中的二面角 b-cg-a的大小. 20（12分） 已知函數(shù)32( )2f xxaxb=+. （1）討論( )f x的單調(diào)性； （2）是否存在

9、 , a b，使得( )f x在區(qū)間0,1的最小值為1且最大值為 1？若存在，求出, a b的所有值；若不存在，說明理由. 21已知曲線 c：y=22x，d 為直線 y=12上的動點(diǎn)，過 d作 c 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 a，b. （1）證明：直線 ab過定點(diǎn)： （2）若以 e(0，52)為圓心的圓與直線 ab 相切，且切點(diǎn)為線段 ab的中點(diǎn)，求四邊形 adbe的面積. 7 / 13 （二）選考題：共 10分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分） 如圖，在極坐標(biāo)系 ox 中，(2,0)a，( 2,)4b，( 2

10、,)4c，(2, )d，弧ab，bc，cd所在圓的圓心分別是(1,0)，(1,)2，(1, )，曲線1m是弧ab，曲線2m是弧bc，曲線3m是弧cd. （1）分別寫出1m，2m，3m的極坐標(biāo)方程； （2）曲線m由1m，2m，3m構(gòu)成，若點(diǎn)p在 m 上，且|3op =，求 p的極坐標(biāo). 23選修 4-5：不等式選講（10 分） 設(shè), ,x y zr，且1xyz+=. （1）求222(1)(1)(1)xyz+的最小值； （2）若2221(2)(1)()3xyza+成立，證明：3a 或1a . 2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題 1a 2d 3c 4a 5c 6d

11、 7b 8b 9c 10a 11c 12d 二、填空題 1323 144 15(3, 15) 16118.8 8 / 13 三、解答題 17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10 （2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 2 0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05 乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 3 0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00 18解：（1）由題設(shè)及正弦定理得sinsinsinsin2acaba+= 因?yàn)閟in

12、a0，所以sinsin2acb+= 由180abc+=，可得sincos22acb+=，故cos2sincos222bbb= 因?yàn)閏os02b，故1sin22b=，因此b=60 （2）由題設(shè)及（1）知abc的面積34abcsa= 由正弦定理得()sin 120sin31sinsin2tan2ccaaccc=+ 由于abc為銳角三角形，故0 a90 ，0 c90 ，由（1）知a+c=120 ，所以30 c0，則當(dāng)(,0),3ax +時，( )0fx；當(dāng)0,3ax時，( )0fx故( )f x在(,0),3a+單調(diào)遞增，在0,3a單調(diào)遞減； 若 a=0，( )f x在(,) +單調(diào)遞增； 若 a0

13、，則當(dāng),(0,)3ax +時，( )0fx；當(dāng),03ax時，( )0fx故( )f x在,(0,)3a+單調(diào)遞增，在,03a單調(diào)遞減. （2）滿足題設(shè)條件的 a，b 存在. （i）當(dāng) a0 時，由（1）知，( )f x在0，1單調(diào)遞增，所以( )f x在區(qū)間0，l的最小值為(0)=fb，最大值為(1)2fab=+.此時 a，b 滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)1b = ，21ab+=，即a=0，1b = （ii）當(dāng) a3 時，由（1）知，( )f x在0，1單調(diào)遞減，所以( )f x在區(qū)間0，1的最大值為(0)=fb，最小值為(1)2fab=+此時 a，b 滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)21ab+= ，b=1，即a

14、=4，b=1 （iii）當(dāng) 0a3 時，由（1）知，( )f x在0，1的最小值為3327aafb= +，最大值為 b 或2ab+ 若3127ab+= ，b=1，則33 2a =，與 0a3 矛盾. 若3127ab+= ，21ab+=，則3 3a =或3 3a = 或 a=0，與 0a3矛盾 11 / 13 綜上，當(dāng)且僅當(dāng) a=0，1b = 或 a=4，b=1 時，( )f x在0，1的最小值為1，最大值為 1 21解：（1）設(shè)()111,2d ta x y，則2112xy=. 由于yx=，所以切線da的斜率為1x，故11112yxxt+= . 整理得1122 +1=0. txy 設(shè)()22,

15、b xy，同理可得2222 +1=0txy. 故直線ab的方程為2210txy+ =. 所以直線ab過定點(diǎn)1(0, )2. （2）由（1）得直線ab的方程為12ytx=+. 由2122ytxxy=+=，可得2210 xtx =. 于是()2121212122 ,1,121xxtx xyyt xxt+= +=+ =+， ()()2222121212|11421abtxxtxxx xt=+=+=+. 設(shè)12,d d分別為點(diǎn)d，e到直線ab的距離，則212221,1dtdt=+=+. 因此，四邊形adbe的面積()()22121|312sabddtt=+=+. 設(shè)m為線段ab的中點(diǎn)，則21,2m t

16、 t+. 12 / 13 由于emab，而()2,2emt t=，ab與向量(1, ) t平行，所以()220ttt+=.解得t=0或1t = . 當(dāng)t=0時，s=3；當(dāng)1t = 時，4 2s =. 因此，四邊形adbe的面積為3或4 2. 22.解：（1）由題設(shè)可得，弧,ab bc cd所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos=，2sin=，2cos= . 所以1m的極坐標(biāo)方程為2cos04=，2m的極坐標(biāo)方程為32sin44=，3m的極坐標(biāo)方程為32cos4= . （2）設(shè)( , )p ，由題設(shè)及（1）知 若04，則2cos3=，解得6=； 若344，則2sin3=，解得3=或23=； 若34，則2cos3=，解得56=. 綜上，p的極坐標(biāo)為3,6或3,3或23,3或53,6. 23解：（1）由于2(1)(1)(1)xyz+ 222(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx=+ 2223 (1)(1)(1)xyz+， 故由已知得2224(1)(1)(1)3x